2021-2022学年吉林省洮南市高二年级下册学期第一次考试数学试题【含答案】

2021-2022学年吉林省洮南市第一中学高二下学期第一次考试数学试题一、单选题1．设为可导函数，且满足，则函数在处的导数为（

）A． B．1 C．1或 D．以上答案都不对【答案】A【分析】由，代入即可求解.【详解】由题意，函数在处的导数为：.故选：A.2．的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为（

）A．540 B． C．162 D．【答案】D【解析】由二项式系数和求出，然后写出展开式的通项公式得常数项所在项数，从而得常数项．【详解】的展开式中各项系数之和为，解得所以的通项公式为：当时，为常数故选：D3．已知函数的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据原函数图象判断出函数的单调性，由此判断导函数的图象.【详解】原函数在上从左向右有增、减、增，个单调区间；在上递减.所以导函数在上从左向右应为：正、负、正；在上应为负.所以A选项符合.故选：A4．公历一年有12个月，其中1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月为31天，2月为28天(闰年为29天)，其余月份为30天．已知2020年为闰年，现从2020年的12个月份中任取3个月份，则这3个月份的天数之和不超过90的取法种数为（

）A．28 B．32 C．34 D．38【答案】D【分析】先根据条件得到3个月份的天数之和不超过90的取法有：①30天的取3个月，②30天的取两个月且取2月份，③30天的取一个月且取2月份，31天的取一个月，进而求解结论．【详解】∵2020年为闰年，∴1月、3月、5月、7月、8月、10月、12月为31天，2月为29天，其余4个月份均为30天，∴从2020年的12个月份中任取3个月份，则这3个月份的天数之和不超过90的取法有：①30天的取3个月，②30天的取两个月且取2月份，③30天的取一个月且取2月份，31天的取一个月，∴这3个月份的天数之和不超过90的取法种数为：故选：D．5．若曲线与有一条斜率为2的公切线，则=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由曲线与有一条斜率为2的公切线，求得切线方程，求出的导数，利用切线斜率求得切点的横坐标，代入求得切点坐标，再代入切线方程即可求得的值.【详解】由，由点斜式得切线方程：，对曲线，，代入得，，将代入，得：.故选：A.6．的展开式中x3y3的系数为（

）A．5 B．10C．15 D．20【答案】C【分析】求得展开式的通项公式为（且），即可求得与展开式的乘积为或形式，对分别赋值为3，1即可求得的系数，问题得解.【详解】展开式的通项公式为（且）所以的各项与展开式的通项的乘积可表示为：和在中，令，可得：，该项中的系数为，在中，令，可得：，该项中的系数为所以的系数为故选：C【点睛】本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，还考查了赋值法、转化能力及分析能力，属于中档题.7．由于新冠肺炎疫情，现有五名社区工作人员被分配到三个小区做社区监管工作，要求每人只能去一个小区，每个小区至少有一个人，则不同的分配方法有（

）A．150种 B．90种 C．60种 D．80种【答案】A【分析】本题考查排列组合的不均匀分配问题.先进行分组按照人数“3，1，1”模式或者“2，2，1”模式进行分组，再进行分配（乘以），即可求解.【详解】若分配的三组人数分别为3，1，1，则分配方法共有（种）；若分配的三组人数分别为2，2，1，则分配方法共有（种）；故共有种不同的分配方法.故选：A.8．已知函数的对称中心的横坐标为，且有三个零点，则实数的取值范围是A． B． C． D．【答案】B【详解】试题分析：由于因此函数有两个极值点,因,故,即,应选B.【解析】导数在研究函数的零点中的运用．二、多选题9．设函数，则下列命题中是真命题的是（

）A．是偶函数B．在单调递增C．相邻两个零点之间的距离为D．在上有个极大值点【答案】ACD【分析】利用函数奇偶性的定义可判断A选项的正误；利用函数的单调性与导数的关系以及函数的奇偶性可判断B选项的正误；解方程可判断C选项的正误；利用函数的极值点与导数之间的关系可判断D选项的正误.【详解】函数的定义域为，因为，所以为偶函数，A正确；当时，，，当时，，，，所以，单调递增，又因为为偶函数，所以在单调递减，B错误；令，则，所以相邻两个零点之间的距离为，C正确；当时，令，则，当时，，当时，，当时，，，所以是的一个极大值点，又因为是偶函数，所以在上有个极大值点，D正确，故选：ACD.10．已知二项式的展开式中共有8项，则下列说法正确的有（

）A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1C．二项式系数最大的项为第5项 D．有理项共3项【答案】AB【分析】二项式展开式共8项，则n＝7，然后利用二项式定理逐个选项分析即可得到答案﹒【详解】二项式的展开式中共有8项，则，选项A：所有项的二项式系数和为，故A正确；选项B：令，则，所以所有项的系数的和为1，故B正确；选项C：二项式系数最大的项为第4项和第5项，故C不正确；选项D：二项式的展开式的通项为，当时，二项式的展开式中对应的项均为有理项，所以有理项有4项，故D不正确．故选：AB﹒11．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（

）A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种C．甲乙不相邻的排法种数为72种D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种【答案】ABCD【分析】对于A利用捆绑法可求，对于B分成甲在左和乙在左两类进行排列，对于C采用插空法求解，对于D按定序问题即解.【详解】对于A，如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确，对于B，最左端排甲时，有种不同的排法，最左端排乙时，最右端不能排甲，则有种不同的排法，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有24+18=42种,故正确，对于C，因为甲乙不相邻，先排甲乙以外的三人，再让甲乙插空，则有种，故正确，对于D，甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故正确．故选：ABCD．12．已知定义在上的函数的导函数为，且，，则下列判断中正确的是（

）A． B．C． D．【答案】CD【解析】结合已知可构造，，结合已知可判断的单调性，结合单调性及不等式的性质即可判断．【详解】解：令，，因为，则，故在，上单调递减，因为，则，结合选项可知，，从而有，即，故错误，因为，结合在在，上单调递减可知，从而有，由可得，故错误；，从而有，且，即．故正确；，从而有即．故正确．故选：．【点睛】本题主要考查了利用函数的单调性比较函数值的大小，解题的关键是导数与函数知识的灵活利用，属于中档题．三、填空题13．函数在点处的切线方程为______．【答案】【分析】利用函数解析式求出切点坐标，利用导数求得切线斜率，利用点斜式求得切线方程.【详解】∵，,,,∴切线的方程为：，即,故答案为：.14．将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰好1个盒子放有2个连号小球的所有不同方法有_________种．（用数字作答）【答案】【详解】试题分析:由题意这四个数有,,；,,；,,三种分组方式，将其放入三个盒子有种方法，故应填答案.【解析】排列数公式及两个计数原理的综合运用．【易错点晴】两个计数原理和排列数公式及分类整合思想是高中数学的重要知识点和思想方法之一，也是历届高考必考的考点之一.本题以四个小球放入三个不同盒子的操作为背景，考查是分类计数原理和分布计数原理等知识在解决生活中的实际问题的应用能力和分析问题解决问题的能力．求解时先将四个数分组共有三种分组方式，再运用排列数公式进行计算，从而使得问题获解.15．某地区突发传染病公共卫生事件，广大医务工作者逆行而上，纷纷志愿去一线抗击疫情.某医院呼吸科共有名医生，名护士，其中名医生为科室主任，名护士为护士长.根据组织安排，从中选派人去支援抗疫一线，要求医生和护士均有，且科室主任和护士长至少有人参加，则不同的选派方案共有_____种.【答案】51【分析】对于特殊元素科室主任和护士长分类讨论，分别求出各种情况的选派方案数，再相加即可；【详解】解：选派人去支援抗疾一线，方案有下列三种情况：（1）科室主任和护士长都参加，有(种)选派方案，（2）科室主任参加，护士长不参加，有(种)选派方案，（3）科室主任不参加，护士长参加，有(种)选派方案，故符合条件的选派方案有(种).故答案为：5116．已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为_________．【答案】【分析】根据题意可以设，求其导数可知在上的单调性，由是上的奇函数，可知的奇偶性，进而可知在上的单调性，由可知的零点，最后分类讨论即可.【详解】设，则对，，则在上为单调递增函数，∵函数是上的奇函数，∴，∴，∴为偶函数，∴在上为单调递减函数，又∵，∴，由已知得，所以当时，；当时，；当时，；当时，；若，则；若，则或，解得或或；则的解集为.故答案为：.四、解答题17．已知函数在处的极值为10．（1）求，的值；（2）求函数在上的值域．【答案】（1），；（2）．【分析】（1）由和，可得答案；（2）求出，由、可得的单调性结合的范围可得答案.【详解】（1）由题意知，即，解得：或，而要在能取到极值，则，故舍去，∴，.（2）由（1）知，，令得或，当时，，函数是减函数，当时，，函数是增函数，∴时，函数取得最小值，而，，∴函数在上的值域为.18．用0，1，2，3，4这五个数字，可以组成没有重复数字的：（1）三位偶数有多少个？（2）能被3整除的三位数有多少个？（3）可以组成多少个比210大的三位数？【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）考虑个位是时，个位是时，个位是时，三种情况计算得到答案.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：；；；四种情况，分别计算得到答案.（3）考虑百位是时，百位是时，百位是时，三种情况，分别计算得到答案.【详解】（1）个位是时，有个；个位是时，有个；个位是时，有个.故共有个三位偶数.（2）能被3整除的三位数的数字组成共有：；；；四种情况.共有：个.（3）当百位是时，共有个；当百位是时，共有个；当百位是时，共有个；故共有个.【点睛】本题考查了排列组合的应用，分类计算是常用的数学方法，需要熟练掌握.19．已知函数．（1）当时，求的极值；（2）若对恒成立，求a的取值范围．【答案】（1）的极大值为，极小值为；（2）．【分析】（1）利用导数求解函数的极值即可.（2）首先利用导数求出函数的最小值，从而得到，再解不等式即可.【详解】（1）当时，，，令，解得或．当时，，单调递增；当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以的极大值为，极小值为．（2）．令，即，解得或．因为，所以当x变化，，的变化情况如下表：1+0-0+单调递增极大值单调递减极小值单调递增当时，有，，，所以，从而．又函数在处取得极小值，所以为函数在R上的最小值．因为不等式对恒成立，所以，解得．所以a的取值范围是．20．已知在的展开式中，第6项的系数与第4项的系数之比是.（1）求展开式中的系数；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）求的值.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，求出展开式中的第6项的系数与第4项的系数，列出方程求出的值，代入二项展开式的通项公式即可求解；（2）利用两边夹定理，设第项系数的绝对值最大，列出关于的不等式即可求解；（3）利用二项式定理求解即可.【详解】（1）由，得，通项，令，解得，展开式中的系数为.（2）设第项系数的绝对值最大，则，所以，系数绝对值最大的项为.（3）原式.【点睛】本题考查二项式定理的应用、二项展开式的通项公式和系数最大项的求解；考查运算求解能力和逻辑推理能力；熟练掌握二项展开式的通项公式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.21．为提高销量，某厂家拟投入适当的费用，对网上所售产品进行促销.经调查测算，该促销产品的销售量万件与促销费用(，为正常数)万元满足.已知生产该批产品万件需投入成本万元（不含促销费用），产品的销售价格定为元/件，假定厂家的生产能力完全能满足市场的销售需求.(1)将该产品的利润万元表示为促销费用万元的函数；(2)投入促销费用多少万元时，厂家获得的利润最大？【答案】(1)()；(2)答案见解析.【分析】(1)根据利润等于销售量与产品单价之积减去生产产品的成本和促销费用，利用已知条件表示出利润即可；(2)由(1)中结论，利用导数求最大值并讨论参数的范围即可求解.【详解】(1)由题意知，，将代入化简，得()；(2)由(1)中知，()，所以，若，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以当时，取极大值，也是最大值，所以投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大.若，因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，所以当时，函数有最大值，即投入促销费用万元时，厂家获得的利润最大，综上，当时，投入促销费用1万元时，厂家获得的利润最大；当时，投入促销费用万元时，厂家获得的利润最大.22．已知函数.(1)若函数的最大值为，求实数的值；(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1