复变函数积分与级数习题课_第1页
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复变函数积分与级数习题课一、复积分重点与难点重点：难点：1.复积分的基本定理；2.柯西积分公式与高阶导数公式复合闭路定理与复积分的计算（1）.积分的定义1、复积分基本定理（2）.积分存在的条件及线积分的计算（a）化成线积分（b）用参数方程将积分化成定积分(3).积分的性质(4)柯西定理由定理得(5).原函数的定义(牛顿-莱布尼兹公式)(6).闭路变形原理(7).复合闭路定理一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.那末(7).柯西积分公式一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.(8).高阶导数公式二、复积分典型例题例1计算的值，其中C为1）沿从到的线段：2）沿从到的线段：与从到的线段所接成的折线.解解例2计算被积函数奇点不在积分区域内，解解法一利用柯西定理及重要公式由柯西定理有解法二利用柯西积分公式因此由柯西积分公式得解分以下四种情况讨论：解为大于1的自然数.

例5计算下列积分高阶导数公式应用三、复变函数级数重点与难点重点：难点：1、幂级数收敛半径2、函数展开成泰勒级数与洛朗级数函数展开成洛朗级数称为这级数的部分和.

级数最前面项的和1.复变函数项级数其中各项在区域D内有定义.表达式称为复变函数项级数,记作

四、内容提要2.幂级数1)在复变函数项级数中,形如的级数称为幂级数.----阿贝尔Abel定理如果级数在收敛,那末对的级数必绝对收敛,如果在级数发散,那末对满足的级数必发散.满足3.收敛定理方法1:比值法方法2:

根值法4.收敛半径的求法那末收敛半径那末收敛半径5.复变幂级数在收敛圆内的解析性设幂级数的收敛半径为那末是收敛圆内的解析函数.它的和函数即(1)(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,即(3)在收敛圆内可以逐项积分,即或6.泰勒级数其中泰勒级数

1)定理设在区域内解析,为

内的一为到的边界上各点的最短距离,那末点,时,成立,当2)常见函数的泰勒展开式7.洛朗级数定理C为圆环域内绕

的任一正向简单闭曲线.为洛朗系数.1)根据正、负幂项组成的的级数的唯一性,可用代数运算、代换、求导和积分等方法去展开.(2)间接展开法2)将函数展为洛朗级数的方法(1)直接展开法例1求下列幂级数的收敛半径解三、典型例题例2展开函数成的幂级数到项.解由此得所以解析函数展为幂级数的方法利用定义来求.分析：采用间接法即利用已知的展开式来求.解例3求在的泰勒展式.例4分析：利用逐项求导、逐项积分法.解所以例5解利用微分方程法

对上式求导得由此可得故例6分析:利用部分分式与几何级数结合法.即把函数

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