2023高考数学大一轮复习第十二章推理与证明、算法、复数课时达标检测（六十）合情推理与演绎推理理

PAGEPAGEPAGE7课时达标检测〔六十〕合情推理与演绎推理[练根底小题——强化运算能力]1．(1)a是三角形一边的长，h是该边上的高，那么三角形的面积是eq\f(1,2)ah，如果把扇形的弧长l，半径r分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为eq\f(1,2)lr；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n－1＝n2，那么(1)(2)两个推理过程分别属于()A．类比推理、归纳推理 B．类比推理、演绎推理C．归纳推理、类比推理 D．归纳推理、演绎推理解析：选A(1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，应选A.2．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是指数函数(小前提)，所以y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))x是增函数(结论)〞，上面推理的错误在于()A．大前提错导致结论错B．小前提错导致结论错C．推理形式错导致结论错D．大前提和小前提都错导致结论错解析：选Ay＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错误．3．观察以下各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，那么a10＋b10＝()A．121B．123解析：选B令an＝an＋bn，那么a1＝1，a2＝3，a3＝4，a4＝7，…，得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.4．下面图形由小正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是________．解析：由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，那么第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2).答案：eq\f(nn＋1,2)5．在平面几何中：△ABC中∠C的角平分线CE分AB所成线段的比为eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE).把这个结论类比到空间：在三棱锥A­BCD中(如图)，DEC平分二面角A­CD­B且与AB相交于E，那么得到类比的结论是_____________________．解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).答案：eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：①“假设a，b∈R，那么a－b＝0⇒a＝b〞类比推出“a，b∈C，那么a－b＝0⇒a＝b〞；②“假设a，b，c，d∈R，那么复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d〞类比推出“a，b，c，d∈Q，那么a＋beq\r(2)＝c＋deq\r(2)⇒a＝c，b＝d〞；③“a，b∈R，那么a－b＞0⇒a＞b〞类比推出“假设a，b∈C，那么a－b＞0⇒a＞b〞；④“假设x∈R，那么|x|＜1⇒－1＜x＜1”类比推出“假设z∈C，那么|z|＜1⇒－1＜z＜1”．其中类比结论正确的个数为()A．1B．2解析：选B类比结论正确的有①②.复数不能比拟大小，③④错误．2．“整数对〞按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，那么第60个“整数对〞是()A．(7,5)B．(5,7)C．(2,10) D．(10,1)解析：选B依题意，把“整数对〞的和相同的分为一组，不难得知第n组中每个“整数对〞的和均为n＋1，且第n组共有n个“整数对〞，这样的前n组一共有eq\f(nn＋1,2)个“整数对〞，注意到eq\f(10×10＋1,2)＜60＜eq\f(11×11＋1,2)，因此第60个“整数对〞处于第11组(每个“整数对〞的和为12的组)的第5个位置，结合题意可知每个“整数对〞的和为12的组中的各对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60个“整数对〞是(5,7)．3．观察以下各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125，……，那么52016的末四位数字为()A．3125 B．5625C．0625 D．8125解析：选C55＝3125,56＝15625,57＝78125,58＝390625，59＝1953125，……，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m(k∈N*，m＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2016＝4×502＋8，所以52016与54．假设数列{an}是等差数列，那么数列{bn}eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(bn＝\f(a1＋a2＋…＋an,n)))也为等差数列．类比这一性质可知，假设正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，那么dn的表达式应为()A．dn＝eq\f(c1＋c2＋…＋cn,n)B．dn＝eq\f(c1·c2·…·cn,n)C．dn＝eq\r(n,\f(c\o\al(n,1)＋c\o\al(n,2)＋…＋c\o\al(n,n),n))D．dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)解析：选D假设{an}是等差数列，那么a1＋a2＋…＋an＝na1＋eq\f(nn－1,2)d，∴bn＝a1＋eq\f(n－1,2)d＝eq\f(d,2)n＋a1－eq\f(d,2)，即{bn}为等差数列；假设{cn}是等比数列，那么c1·c2·…·cn＝ceq\o\al(n,1)·q1＋2＋…＋(n－1)＝ceq\o\al(n,1)·qeq\f(nn－1,2)，∴dn＝eq\r(n,c1·c2·…·cn)＝c1·qeq\f(n－1,2)，即{dn}为等比数列，应选D.5．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比方：他们研究过图1中的1,3,6,10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1,4,9,16，…，这样的数为正方形数．以下数中既是三角形数又是正方形数的是()A．289 B．1024C．1225 D．1378解析：选C观察三角形数：1,3,6,10，…，记该数列为{an}，那么a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.∴a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)，∴an＝1＋2＋3＋…＋n＝eq\f(nn＋1,2)，观察正方形数：1,4,9,16，…，记该数列为{bn}，那么bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.6．某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要限行一天，周末(周六和周日)不限行．某公司有A，B，C，D，E五辆车，保证每天至少有四辆车可以上路行驶．E车周四限行，B车昨天限行，从今天算起，A，C两车连续四天都能上路行驶，E车明天可以上路，由此可知以下推测一定正确的选项是()A．今天是周六 B．今天是周四C．A车周三限行 D．C车周五限行解析：选B因为每天至少有四辆车可以上路行驶，E车明天可以上路，E车周四限行，所以今天不是周三；因为B车昨天限行，所以今天不是周一，也不是周日；因为A，C两车连续四天都能上路行驶，所以今天不是周五，周二和周六，所以今天是周四，选B.二、填空题7．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数，观察以下等式：[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝3，[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝10，[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝21，……按照此规律第n个等式的等号右边的结果为________．解析：因为[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝1×3，[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝2×5，[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝3×7，……，以此类推，第n个等式的等号右边的结果为n(2n＋1)，即2n2＋n.答案：2n2＋n8．如果函数f(x)在区间D上是凸函数，那么对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，都有eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n))).假设y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值是________．解析：由题意知，凸函数满足eq\f(fx1＋fx2＋…＋fxn,n)≤feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋…＋xn,n)))，又y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，那么sinA＋sinB＋sinC≤3sineq\f(A＋B＋C,3)＝3sineq\f(π,3)＝eq\f(3\r(3),2).答案：eq\f(3\r(3),2)9．设函数f(x)＝eq\f(x,x＋2)(x>0)，观察：f1(x)＝f(x)＝eq\f(x,x＋2)，f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(x,3x＋4)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(x,7x＋8)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(x,15x＋16)，……根据以上事实，由归纳推理可得：当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝________.解析：根据题意知，各式中分子都是x，分母中的常数项依次是2,4,8,16，…，可知fn(x)的分母中常数项为2n，分母中x的系数为2n－1，故fn(x)＝f(fn－1(x))＝eq\f(x,2n－1x＋2n).答案：eq\f(x,2n－1x＋2n)10.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规那么标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，那么标签为20172的格点的坐标为________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1009，1008)处标20172.答案：(1009,1008)三、解答题11．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于D，求证：eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).在四面体ABCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜测？并说明理由．解：如下图，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(1,BD·DC)＝eq\f(BC2,BD·BC·DC·BC)＝eq\f(BC2,AB2·AC2).又BC2＝AB2＋AC2，∴eq\f(1,AD2)＝eq\f(AB2＋AC2,AB2·AC2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2).猜测，在四面体ABCD中，AB、AC、AD两两垂直，AE⊥平面BCD，那么eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).证明：如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.∵AB⊥AC，AB⊥AD，AC∩AD＝A，∴AB⊥平面ACD.∵AF⊂平面ACD，∴AB⊥AF.在Rt△ABF中，AE⊥BF，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AF2).∵AB⊥平面ACD，∴AB⊥CD.∵AE⊥平面BCD，∴AE⊥CD.又AB∩AE＝A，∴CD⊥平面ABF，∴CD⊥AF.∴在Rt△ACD中eq\f(1,AF2)＝eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2)，∴eq\f(1,AE2)＝eq\f(1,AB2)＋eq\f(1,AC2)＋eq\f(1,AD2).12．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°