2023高考数学一轮复习第8章平面解析几何第1节直线的倾斜角与斜率、直线的方程教师用书文北师大版

PAGEPAGE8第八章平面解析几何[深研高考·备考导航]为教师备课、授课提供丰富教学资源[五年考情][重点关注]综合近5年全国卷高考试题，我们发现高考命题在本章呈现以下规律：1．从考查题型看：一般有2个客观题，1个解答题；从考查分值看，在22分左右．根底题主要考查对根底知识和根本方法的掌握程度，中档题主要考查运算能力和逻辑推理能力，难题考查综合应用能力．2．从考查知识来看：主要考查直线的方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系、圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)的定义、标准方程及性质、直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线的综合应用．突出对数形结合思想、函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想以及探究、创新能力的考查．3．从命题思路上看：(1)直线方程与其他知识相结合．(2)圆的方程的求解以及直线与圆的位置关系，弦长以及参数的求解．(3)对圆锥曲线的考查，大多以圆锥曲线的性质为依托，结合运算推理来解决，要求能够比拟熟练地运用性质进行有关数值、代数式的运算及推理．(4)对于直线与圆锥曲线的位置关系的考查，大多数是将直线与圆锥曲线方程联立求解，还有求三角形面积的值、线段的长度、直线方程、参数值，以及定点、定值、最值以及探究性问题等．[导学心语]1．抓主线，构建知识体系：对直线、圆及圆锥曲线的根本定义、标准方程和相关性质应熟练掌握，如对直线与圆锥曲线的位置关系的解法及解题思想应灵活掌握．2．依托根底知识，强化思想方法训练：直线、圆及圆锥曲线是数与形结合的完美载体，要熟练运用坐标法和“数形结合〞思想，另外，函数与方程的思想是本章学习的另一个重点，应加强运用．3．加强纵横联系，强化综合应用意识：在知识的交汇处命题，已成为高考的一大亮点，尤其应加强该局部知识与向量、函数、方程及不等式间的内在联系，同时解题中立足通性、通法、淡化技巧以到达优化解题思路，简化解题过程的目的．4．突出重点，热点考查内容的复习：如弦长问题，对称问题，定值(点)问题、范围问题，开放和探索性问题及向量与解析几何的综合应用问题等等．第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程[考纲]1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系．1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角①定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线l，把x轴(正方向)按逆时针方向绕着交点旋转到和直线l重合所成的角，叫作直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行时，它的倾斜角为0°.②倾斜角的范围为0°≤α<180°.(2)直线的斜率①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫作这条直线的斜率，斜率常用小写字母k表示，即k＝tan_α，倾斜角是90°的直线斜率不存在．②斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).2．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)不含直线x＝x1(x1≠x2)和直线y＝y1(y1≠y2)截距式eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面内所有直线都适用1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．()(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．()(3)过定点P0(x0，y0)的直线都可用方程y－y0＝k(x－x0)表示．()(4)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．()[答案](1)√(2)×(3)×(4)√2．(教材改编)直线eq\r(3)x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A．30° B．60°C．150° D．120°B[直线的斜率为k＝tanα＝eq\r(3)，又因为0°≤α＜180°，那么α＝60°.]3．(2022·福建高考)直线l过圆x2＋(y－3)2＝4的圆心，且与直线x＋y＋1＝0垂直，那么直线l的方程是()A．x＋y－2＝0 B．x－y＋2＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝0D[圆x2＋(y－3)2＝4的圆心为点(0,3)，又因为直线l与直线x＋y＋1＝0垂直，所以直线l的斜率k＝1.由点斜式得直线l：y－3＝x－0，化简得x－y＋3＝0.]4．直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，那么实数a＝________.【导学号：66482370】1或－2[令x＝0，那么l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋eq\f(2,a).依题意2＋a＝1＋eq\f(2,a)，解得a＝1或a＝－2.]5．(2022·西安模拟)过点P(2,3)，并且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程为________．3x－2y＝0或x－y＋1＝0[当直线过原点时，方程为y＝eq\f(3,2)x，即3x－2y＝0.当直线l不过原点时，设直线方程为eq\f(x,a)－eq\f(y,a)＝1.将P(2,3)代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.]直线的倾斜角和斜率(1)直线x－ycosθ＋1＝0(θ∈R)的倾斜角α的取值范围是________．(2)(2022·郑州模拟)假设直线l过点P(－3,2)，且与以A(－2，－3)，B(3,0)为端点的线段相交，那么直线l的斜率的取值范围是________．(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－5，－\f(1,3)))[(1)当θ＝kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，cosθ＝0，直线为x＋1＝0，其倾斜角为eq\f(π,2).当θ≠kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)时，直线l的斜率为tanα＝eq\f(1,cosθ)∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)，所以直线l的倾斜角的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4))).综上，α的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4))).(2)因为P(－3,2)，A(－2，－3)，B(3,0)，那么kPA＝eq\f(－3－2,－2－－3)＝－5，kPB＝eq\f(0－2,3－－3)＝－eq\f(1,3).如下图，当直线l与线段AB相交时，直线l的斜率的取值范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－5，－\f(1,3))).][规律方法]1.(1)任一直线都有倾斜角，但斜率不一定都存在；直线倾斜角的范围是[0，π)，斜率的取值范围是R.(2)正切函数在[0，π)上不单调，借助图像或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围．2．第(2)问求解要注意两点：(1)斜率公式的正确计算；(2)数形结合写出斜率的范围，切莫误认为k≤－5或k≥－eq\f(1,3).[变式训练1](1)(2022·惠州质检)直线l经过点A(1,2)，在x轴上的截距的取值范围是(－3,3)，那么其斜率k的取值范围是()【导学号：66482371】A．－1＜k＜eq\f(1,5) B．k＞1或k＜eq\f(1,2)C．k＞eq\f(1,5)或k＜1 D．k＞eq\f(1,2)或k＜－1(2)直线l经过A(3,1)，B(2，－m2)(m∈R)两点，那么直线l的倾斜角α的取值范围是________．(1)D(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))[(1)设直线的斜率为k，那么直线方程为y－2＝k(x－1)，直线在x轴上的截距为1－eq\f(2,k).令－3＜1－eq\f(2,k)＜3，解不等式得k＜－1或k＞eq\f(1,2).(2)直线l的斜率k＝eq\f(1＋m2,3－2)＝1＋m2≥1，所以k＝tanα≥1.又y＝tanα在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))上是增函数，因此eq\f(π,4)≤α＜eq\f(π,2).]求直线的方程(1)过点A(1,3)，斜率是直线y＝－4x的斜率的eq\f(1,3)的直线方程为________．(2)假设A(1，－2)，B(5,6)，直线l经过AB的中点M且在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．(1)4x＋3y－13＝0[设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×eq\f(1,3)＝－eq\f(4,3).又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y－3＝－eq\f(4,3)(x－1)，即4x＋3y－13＝0.](2)法一：设直线l在x轴，y轴上的截距均为a.由题意得M(3,2).2分假设a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，所以直线l的方程为y＝eq\f(2,3)x，即2x－3y＝0.5分假设a≠0，设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1，因为直线l过点M(3,2)，所以eq\f(3,a)＋eq\f(2,a)＝1，8分所以a＝5，此时直线l的方程为eq\f(x,5)＋eq\f(y,5)＝1，即x＋y－5＝0.综上，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.12分法二：易知M(3,2)，由题意知所求直线l的斜率k存在且k≠0，那么直线l的方程为y－2＝k(x－3).2分令y＝0，得x＝3－eq\f(2,k)；令x＝0，得y＝2－3k.5分所以3－eq\f(2,k)＝2－3k，解得k＝－1或k＝eq\f(2,3).8分所以直线l的方程为y－2＝－(x－3)或y－2＝eq\f(2,3)(x－3)，即x＋y－5＝0或2x－3y＝0.12分[规律方法]1.截距可正、可负、可为0，因此在解与截距有关的问题时，一定要注意“截距为0”的情况，以防漏解．2．求直线方程的方法主要有两种：直接法与待定系数法．运用待定系数法要先设出直线方程，再根据条件求出待定系数．利用此方法，注意各种形式的适用条件，选择适当的直线方程的形式至关重要．[变式训练2]求过点A(－1，－3)且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍的直线方程．[解]由设直线y＝3x的倾斜角为α，2分那么所求直线的倾斜角为2α.5分∵tanα＝3，∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝－eq\f(3,4).8分又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－eq\f(3,4)(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.12分直线方程的综合应用直线l过点M(1,1)，且与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，O为坐标原点．求：(1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l的方程；(2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程．[解](1)设A(a,0)，B(0，b)(a＞0，b＞0)．设直线l的方程为eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1，那么eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝1，所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)))＝2＋eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)≥2＋2eq\r(\f(b,a)·\f(a,b))＝4，3分当且仅当a＝b＝2时取等号，此时直线l的方程为x＋y－2＝0.5分(2)设直线l的斜率为k，那么k＜0，直线l的方程为y－1＝k(x－1)，那么Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,k)，0))，B(0,1－k)，7分所以|MA|2＋|MB|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－1＋\f(1,k)))2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋eq\f(1,k2)≥2＋2eq\r(k2·\f(1,k2))＝4.10分当且仅当k2＝eq\f(1,k2)，即k＝－1时，上式等号成立．所以当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l的方程为x＋y－2＝0.12分[规律方法]1.求解此题的关键是找出|OA|＋|OB|与|MA|2＋|MB|2取得最小值的求法，恰当设出方程的形式，利用均值不等式求解，但一定要注意等号成立的条件．2．利用直线方程解决问题，为简化运算可灵活选用直线方程的形式．一般地，一点通常选择点斜式；斜率选择斜截式或点斜式；截距选择截距式．[变式训练3]直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴正半轴围成一个