反三角函数概念和性质

反三角函的概念和性一．基本知识：1．正确理解反三角函数的定义把握三角函数与反三角函数的之间的反函数关系；2握反三角函数的定义域和值arcsin,∈[1,1],∈[，],＝arccos,x∈[－1],∈[0,π],在三角函数中，定义域和值域的作用更为明显，在研究问题时，一定要先看清楚变量的取值范围；3．符号arcsin可理解为－，]上的一个角或弧，也可以理解为区－，]上的一个实数；同样符号arccos可以理解[，π]上一个角或弧，也可以理解为区间[0，]上的一个实数；4＝arcsinx等价于sin＝x,∈[－，],＝arccos等于cos＝,π],这两个等价关系是解反三角函数问题的主要依据；5．意恒等式sin(arcsin)＝x,x－1,1],cos(arccos)＝xx∈[－1,1],arcsin(sin＝,∈[－，],arccos(cos)＝x,x∈[0,π]运用的条件；6．掌握反三角函数的奇偶性、减性的判断，大多数情况下，可以与相应的三角函数的图象及性质结合起来理解和应用；7．注意恒等式arcsin＋arccosx＝例一．下列各式中成立的是（

,arctg＋arcctg＝

的应用。（）arcctg(1)＝－（）arccos(－)＝－C）sin[arcsin(－)]＝（）arctg(tg1/6

π)＝

π

解：()(中都是值域出现了问题，即arcctg(－1)∈(0,π),arccos()∈[0,],(D)中，arctg(tg

π)－,],而

π

[－，],∴()(B)(D都不正确。例二．下列函数中，存在反函数的是D（）＝sin,x－π,0]（）y＝sin∈[,]（）＝sin,x,]（）y＝sinx,∈[,]解：本题是判断函数y＝sin在个区间上是单调函数，由于y＝在区间[上是单调递减函数，所选。例三．arcsin(sin10)等于（（）π－（B）10－π（）π－（）－π

,]解：本题是判断哪个角度的正弦值与sin10等，且该角度[－,]上。由于sin(3－10)sin(π－10)＝sin10,且π－10－例四．求出下列函数的反函数，并求其定义域和值域。

,],所以（）(＝2sin2,∈[,];（2）(x)＝＋arccos2x.解：∈[,],2x,],2－π∈[,],－2y≤22/6

由＝2sin2x,得sin2＝,sin(2－π)＝－sin2＝,∴2x－＝－),∴＝－arcsin,∴f

()＝－arcsin,－2xy∈[,].(2)f＝＋,x∈[－,],y∈[,],∴arccos2＝－,2xcos(y－),x＝cos(－)＝sin,∴

()＝sinx∈[,],y∈[－,].例五．求下列函数的定义域和值域：(1)＝arccos;(2)y＝arcsin(－＋);(3)y＝arcctg(2－1),解：＝arccos,0<≤1,∴x≥1,∈[0,).(2)＝arcsin(＋),－1x＋≤1,∴≤≤,由于－1＝－－)＋,∴－1≤－x＋≤,∴－≤≤arcsin.(3)＝arcctg(2－1),由2例六．求下列函数的值域：

－1>－1,∴0<arcctg(2－1)<,xR,∈(0,

).3/6

(1)＝arccos(sin),∈(,);(2)＝arcsinxarctg解：(1)∵∈(－,),∴sin∈(,1],∴y∈[0,).(2)∵＝arcsin＋arctgxx∈[－1],且arcsin与arctgx都是增函数∴－≤arcsin≤,－≤arctg≤,∴∈[].例七．判断下列函数的奇偶性：(1)f＝xarcsin(sin);(2)(x)＝－x.解：f()的定义域是R，(－)＝－)arcsin[sin(－)]＝)＝(),∴f()是偶函数(2)f的定义域是Rf()＝－arcctg(－＝－π－x＝arcctgx－＝(－),∴f)是奇函数例八．作函数＝x),∈[－π,π]的象.解：y＝arcsin(sin),x∈[－π,π],得,图象略。例九．比较arcsin,arctgarccos(的大小。4/6

解：<,arctg<,arccos()>－)最大,设β<α,

＝α，sin＝,设arctg＝,tgβ＝,∴sinβ＝<sin,∴∴arctg<arcsin<arccos().例．解不等式：(1)x<arccos;(2)3arcsin－arccos>.解：∈[1,1],＝是减函数，

时arcsin＝arccos,又是增数arccosx∴当x∈[－)时,arcsin<arccos.(2)∵arccos＝－arcsin,∴原式简得4arcsin>,∴arcsin>＝arcsin,∵是函数,∴二．基础知识自测题：

<≤1.1．函数y＝的义域是[－1,1]，值域是.2．函数y＝的义域是[－1,1]，域是[0,π]3．函数y＝arctgx的定义域是，域是.5/6

4．函数y＝的义域是，域是(0,π).5－)＝;arccos()arctg(1)＝;arcctg(－)＝.6．sin(arccos)＝;－)];tg(arctg)＝;cos(arcctg)＝.7．若cos＝,∈(,π)，x＝.8．若sin＝,∈(－,0)，则＝.9．若3ctgx＋＝0,∈(0,)，则＝三．基本技能训练题：1．下列关系式总成立的是B

.（）πar