高考数学一轮复习专题十计数原理2二项式定理综合篇课件新人教A版

考点二项式定理1.二项式定理公式(a+b)n=

an+

an-1b1+…+

an-kbk+…+

bn(n∈N*)叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式,其中各项的系数

(k=0,1,…,n)叫做①二项式系数

,式中的

an-kbk叫做二项展开式的通项,用Tk+1表示,即通项为展开式的第②

k+1

项.2.二项展开式形式上的特点(1)项数为n+1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n,即a与b的指数的和为n.(3)字母a按降幂排列,从第一项开始,次数由n逐项减1直到0,字母b按升幂

排列,从第一项起,次数由零逐项增1直到n.考点清单(4)二项式系数为

,

,…,

,

.3.二项式系数的性质(1)对称性:与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等,即③

=

.

.(2)增减性与最大值:对于二项式系数

(r=0,1,2,…,n),当r<

时,二项式系数是递增的;当r>

时,二项式系数是递减的.当n是偶数时,二项展开式的中间一项

的二项式系数最大,即最大的二项式系数为④

.当n是奇数时,二项展开式的中间两项

的二项式系数相等且最大,即最大的二项式系数为⑤

和⑥

.(3)二项式系数的和(a+b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n,即⑦

+

+

+…+

+

…+

=2n.二项展开式中,偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和,

即

+

+

+…=

+

+

+…=⑧2n-1

.考法一求二项展开式中特定项或特定项的系数知能拓展例1(1)(2019安徽合肥第一次教学质量检测,8)若

的展开式的常数项是60,则a的值为

()A.4

B.±4

C.2

D.±2(2)(2021届江西南昌莲塘二中3月阶段性测试)

的展开式的中间一项为

.解题导引(1)常数项是指x0项的系数,展开式的通项是什么?化简通项时

用到什么运算,指数幂的运算性质有哪些?根式如何化成指数幂形式?结

合指数幂运算化通项为最简形式再求解.(2)共有7项,由通项公式求出中间项T4.解析(1)

的展开式的通项为Tr+1=

(ax)6-r·

=(-1)ra6-r·

,令6-

r=0,解得r=4.∴常数项为(-1)4a6-4·

=15a2=60.∴a=±2,故选D.(2)

的展开式有7项,中间项为第4项,即T4=

=-

.答案(1)D(2)-

方法总结求二项展开式中的特定项,一般是利用通项公式进行,化简通

项后,令字母的指数符合要求(求常数项时,指数为零;求有理项时,指数为

整数等),解出r,代回通项即可.考法二求二项式系数和与展开式中各项系数和例2(1)(2019陕西师大附中模拟)在二项式(1-2x)n的展开式中,偶数项的

二项式系数之和为128,则展开式的中间项的系数为

()A.-960

B.960C.1120

D.1680(2)若

的展开式中含x的项为第6项,设(1-3x)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则a1+a2+…+an的值为

.解析(1)根据题意,奇数项的二项式系数之和也应为128,所以在(1-2x)n的

展开式中,二项式系数之和为256,即2n=256,n=8,则(1-2x)8的展开式的中间项为第5项,且T5=

(-2)4x4=1120x4,所以展开式的中间项的系数为1120.(2)

的展开式的通项为Tr+1=

(x2)n-r·

=

(-1)rx2n-3r,因为含x的项为第6项,所以r=5,2n-3r=1,解得n=8,令x=1,得a0+a1+…+a8=(1-3)8=28,令x=0,

得a0=1,所以a1+a2+…+a8=28-1=255.答案(1)C(2)255方法总结1.“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要的方法,对形如

(ax+b)n(a、b∈R)的式子,求展开式中各项系数之和常用赋值法,只需令x=

1即可;对形如(ax+by)n(a、b∈R)的式子,求展开式中各项系数之和,只需令

x=y=1即可.2.一般地,对于多项式(a+bx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,令g(x)=(a+bx)n,则(a+bx)n的展开式中各项系数的和为g(1),(a+bx)n的展开式中奇数项的系数和为

[g(1)+g(-1)],(a+bx)n的展开式中偶数项的系数和为

[g(1)-g(-1)].经典例题以下为教师用书专用例在(2x-3y)9的展开式中,求:(1)二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和;(4)各项系数绝对值的和.解析设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(1)二项式系数之和为

+

+

+…+

=29.(2)令x=1,y=1得各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)令x=1,y=-1得a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=59,由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1,两式相加得a0+a2+a4+a6+a8=

.故所有奇数项系数之和为

.(4)∵Tr+1=

(2x)9-r(-3y)r=(-1)r29-r·3r·

x9-r·yr,∴a1<0,a3<0,a5<0,a7<0,a9<0,∴|a0|+|a1|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9.令x=1,y=-1得|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=59.例

(2020山东济南外国语学校9月月考,16)已知x(x-2)8=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2

+…+a9(x-1)9,则a1+a2+…+a9=

,a2=

.解析令x=1,得a0=1,令x=2,得a0+a1+a