2020-2021人教版数学4教师用书：第2章 2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年人教A版数学必修4教师用书：第2章2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2。4。2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角学习目标核心素养1.掌握平面向量数量积的坐标表示及其运算．(重点)2.会运用向量的坐标运算求解向量垂直、夹角等相关问题．(难点）3.分清向量平行与垂直的坐标表示．(易混点）1.通过平面向量数量积的坐标表示，培养学生的数学运算素养。2.借助向量的坐标运算求向量的夹角、长度以及论证垂直问题,提升学生逻辑推理和数学运算素养.1．平面向量数量积的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝（x2,y2），a与b的夹角为θ。数量积a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝02.向量模的公式设a＝（x1，y1)，则｜a｜＝eq\r（x\o\al(2，1）＋y\o\al（2，1)）.3．两点间的距离公式若A(x1，y1）,B(x2，y2），则|eq\o（AB,\s\up6（→）)｜＝eq\r（x2－x12＋y2－y12)。4．向量的夹角公式设两非零向量a＝(x1,y1)，b＝(x2，y2）,a与b夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·b,|a｜｜b｜）＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al（2,1））\r（x\o\al(2,2)＋y\o\al（2,2）)).思考:已知向量a＝（x,y)，你知道与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标又是什么？［提示］设与a共线的单位向量为a0,则a0＝±eq\f（1，|a｜）a＝±eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(x,｜a｜)，\f（y,|a|)）)＝±eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(x,\r（,x2＋y2）)，\f（y，\r(，x2＋y2））)），其中正号、负号分别表示与a同向和反向．易知b＝（－y，x)和a＝（x，y)垂直，所以与a垂直的单位向量b0的坐标为±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（－y，\r(，x2＋y2））,\f（x，\r（，x2＋y2））))，其中正、负号表示不同的方向．1．若向量a＝(x,2），b＝(－1,3)，a·b＝3，则x等于（)A．3 B．－3C.eq\f（5,3） D．－eq\f(5,3)A[a·b＝－x＋6＝3，x＝3，故选A。］2．已知a＝（2，－1)，b＝(2，3），则a·b＝________，|a＋b|＝________。12eq\r（5）［a·b＝2×2＋（－1)×3＝1，a＋b＝（4，2)，｜a＋b|＝eq\r(42＋22）＝2eq\r(5）.]3．已知向量a＝(1,3）,b＝(－2，m）,若a⊥b，则m＝______.eq\f（2，3）［因为a⊥b，所以a·b＝1×(－2)＋3m＝0，解得m＝eq\f(2，3）.]4．已知a＝（3，4），b＝(5,12），则a与b夹角的余弦值为________．eq\f(63，65)［因为a·b＝3×5＋4×12＝63,｜a｜＝eq\r(32＋42）＝5，｜b｜＝eq\r(52＋122）＝13,所以a与b夹角的余弦值为eq\f(a·b,|a｜｜b|）＝eq\f(63,5×13）＝eq\f（63，65).］平面向量数量积的坐标运算【例1】(1)如图,在矩形ABCD中，AB＝eq\r（2），BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若eq\o(AB，\s\up6（→))·eq\o(AF，\s\up6(→))＝eq\r（2),则eq\o（AE，\s\up6（→)）·eq\o(BF,\s\up6（→)）的值是________．(2）已知a与b同向,b＝（1,2)，a·b＝10。①求a的坐标；②若c＝（2，－1)，求a（b·c）及(a·b)c。思路点拨：（1)（2)①先由a＝λb设点a坐标，再由a·b＝10求λ。②依据运算顺序和数量积的坐标公式求值．(1）eq\r（2)[以A为坐标原点,AB为x轴、AD为y轴建立平面直角坐标系，则B（eq\r（2）,0)，D(0，2）,C(eq\r（2)，2)，E(eq\r（2),1）．可设F（x，2），因为eq\o（AB,\s\up6（→）)·eq\o(AF，\s\up6(→））＝(eq\r（2），0)·（x,2)＝eq\r(2)x＝eq\r(2)，所以x＝1,所以eq\o(AE，\s\up6(→))·eq\o(BF，\s\up6(→））＝（eq\r(2),1)·（1－eq\r（2)，2）＝eq\r（2)。]（2）［解］①设a＝λb＝(λ，2λ）(λ＞0)，则有a·b＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a＝（2,4)．②∵b·c＝1×2－2×1＝0，a·b＝10,∴a(b·c)＝0a＝0，（a·b）c＝10(2,－1)＝(20，－10)．数量积运算的途径及注意点1进行向量的数量积运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质,解题时通常有两条途径:一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算;二是先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算。2对于以图形为背景的向量数量积运算的题目，只需把握图形的特征，并写出相应点的坐标即可求解。eq\o（[跟进训练］）1．向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2），则(2a＋b)·a＝（）A．－1 B．0C．1 D．2C[∵a＝(1,－1），b＝（－1,2），∴（2a＋b)·a＝（1,0)·(1，－1)＝1。］2．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，eq\o（AB，\s\up6（→）)＝(1，－2），eq\o（AD，\s\up6（→))＝(2，1)，则eq\o（AD,\s\up6(→））·eq\o（AC，\s\up6(→））＝()A．5 B．4C．3 D．2A［由eq\o(AC,\s\up6（→))＝eq\o（AB，\s\up6（→))＋eq\o（AD,\s\up6(→))＝（1，－2）＋（2，1)＝(3，－1),得eq\o(AD，\s\up6(→））·eq\o（AC,\s\up6（→））＝（2,1)·（3,－1)＝5.］向量模的坐标表示【例2】(1）设平面向量a＝(1,2）,b＝(－2，y）,若a∥b，则｜2a－b|等于（）A．4 B．5C．3eq\r(5) D．4eq\r(5）（2）若向量a的始点为A(－2,4），终点为B（2,1),求：①向量a的模；②与a平行的单位向量的坐标；③与a垂直的单位向量的坐标．思路点拨：综合应用向量共线、垂直的坐标表示和向量模的坐标表示求解．（1)D[由a∥b得y＋4＝0，∴y＝－4，b＝(－2，－4），∴2a－b＝（4,8)，∴|2a－b｜＝4eq\r(5）。故选D。］(2）［解]①∵a＝eq\o（AB,\s\up6(→））＝(2,1）－(－2,4）＝（4，－3），∴|a|＝eq\r(42＋－32)＝5.②与a平行的单位向量是±eq\f(a,｜a|）＝±eq\f(1，5）（4,－3）,即坐标为eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4，5)，－\f(3，5)）)或eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（4，5），\f（3,5)））。③设与a垂直的单位向量为e＝(m,n)，则a·e＝4m－3n＝0，∴eq\f（m，n)＝eq\f（3,4）。又∵|e｜＝1,∴m2＋n2＝1.解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(m＝\f（3,5），，n＝\f（4,5）)）或eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（m＝－\f(3,5），，n＝－\f（4,5)，））∴e＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3,5)，\f(4,5)））或e＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(3，5)，－\f（4，5）)).求向量的模的两种基本策略1字母表示下的运算：利用|a｜2＝a2,将向量模的运算转化为向量与向量的数量积的问题.2坐标表示下的运算：若a＝x，y，则a·a＝a2＝|a|2＝x2＋y2，于是有｜a｜＝eq\o([跟进训练]）3．已知平面向量a＝（3，5),b＝(－2，1）．(1)求a－2b及其模的大小;(2）若c＝a－（a·b)b,求｜c｜。［解]（1）a－2b＝(3，5）－2(－2,1)＝（7,3），|a－2b｜＝eq\r（,72＋32)＝eq\r（,58).(2)a·b＝（3，5）·（－2,1）＝3×（－2)＋5×1＝－1，∴c＝a－（a·b）b＝(3,5）＋(－2，1）＝（1，6），∴｜c｜＝eq\r(,1＋62）＝eq\r（,37).向量的夹角与垂直问题［探究问题］1．设a，b都是非零向量，a＝（x1，y1),b＝（x2，y2），θ是a与b的夹角，那么cosθ如何用坐标表示？提示:cosθ＝eq\f(a·b，｜a｜|b|）＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r（x\o\al(2，1）＋y\o\al(2,1））·\r（x\o\al（2,2)＋y\o\al（2,2))).2．已知向量a＝(1，2),向量b＝(x,－2），且a⊥(a－b)，则实数x等于？提示：由已知得a－b＝(1－x,4)．∵a⊥（a－b)，∴a·(a－b）＝0。∵a＝(1,2),∴1－x＋8＝0，∴x＝9.【例3】（1）已知向量a＝(2,1)，b＝（1，k)，且a与b的夹角为锐角，则实数k的取值范围是(）A．(－2，＋∞) B。eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（－2，\f(1，2)））∪eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,2）,＋∞))C．(－∞，－2） D．(－2,2)（2)已知在△ABC中，A(2，－1）,B(3,2），C（－3，－1)，AD为BC边上的高,求|eq\o(AD，\s\up6(→))|与点D的坐标．思路点拨：(1）可利用a,b的夹角为锐角⇔eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a·b>0，,a≠λb））求解．(2）设出点D的坐标，利用eq\o（BD,\s\up6（→）)与eq\o(BC,\s\up6（→))共线，eq\o（AD,\s\up6（→))⊥eq\o（BC,\s\up6（→)）列方程组求解点D的坐标．(1）B[当a与b共线时，2k－1＝0，k＝eq\f(1,2)，此时a,b方向相同,夹角为0°,所以要使a与b的夹角为锐角，则有a·b>0且a，b不同向．由a·b＝2＋k>0得k>－2，且k≠eq\f(1，2),即实数k的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－2,\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（1，2),＋∞)),选B。]（2)［解］设点D的坐标为(x，y）,则eq\o(AD,\s\up6(→））＝(x－2，y＋1），eq\o(BC,\s\up6(→））＝（－6，－3)，eq\o(BD，\s\up6（→）)＝(x－3，y－2)．∵点D在直线BC上,即eq\o（BD，\s\up6（→））与eq\o（BC，\s\up6(→）)共线，∴存在实数λ，使eq\o（BD，\s\up6（→）)＝λeq\o(BC,\s\up6（→)），即（x－3，y－2）＝λ(－6,－3),∴eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x－3＝－6λ,,y－2＝－3λ，))∴x－3＝2（y－2），即x－2y＋1＝0。①又∵AD⊥BC，∴eq\o(AD，\s\up6（→))·eq\o（BC，\s\up6(→））＝0，即（x－2，y＋1）·（－6,－3)＝0,∴－6（x－2)－3（y＋1）＝0，②即2x＋y－3＝0.由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝1,））即D点坐标为(1,1)，eq\o(AD，\s\up6（→））＝(－1，2）,∴|eq\o(AD,\s\up6(→)）|＝eq\r（－12＋22）＝eq\r(5)，综上，|eq\o（AD，\s\up6（→))|＝eq\r(5)，D(1，1）．1．将本例(1)中的条件“a＝（2,1）”改为“a＝(－2，1)”，“锐角"改为“钝角",求实数k的取值范围．［解]当a与b共线时,－2k－1＝0，k＝－eq\f(1，2)，此时a与b方向相反，夹角为180°，所以要使a与b的夹角为钝角，则有a·b＜0，且a与b不反向．由a·b＝－2＋k＜0得k＜2.由a与b不反向得k≠－eq\f（1,2)，所以k的取值范围是eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（－∞,－\f（1,2）)）∪eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f（1，2），2)).2．将本例（1）中的条件“锐角”改为“eq\f(π，4)”，求k的值．[解]coseq\f（π，4)＝eq\f(a·b，｜a||b｜）＝eq\f(2＋k，\r(5)·\r(1＋k2）)，即eq\f（\r(2）,2)＝eq\f(2＋k，\r(5）·\r（1＋k2))，整理得3k2－8k－3＝0，解得k＝－eq\f（1,3)或3.1．利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤（1)求向量的数量积．利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积．(2）求模．利用｜a｜＝eq\r（x2＋y2)计算两向量的模．(3）求夹角余弦值．由公式cosθ＝eq\f（x1x2＋y1y2，\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al（2，1）)·\r（x\o\al(2，2)＋y\o\al（2,2))）求夹角余弦值．（4)求角．由向量夹角的范围及cosθ求θ的值．2．涉及非零向量a,b垂直问题时，一般借助a⊥b⇔a·b＝x1x2＋y1y2＝0来解决．1．平面向量数量积的定义及其坐标表示，提供了数量积运算的两种不同的途径．准确地把握这两种途径,根据不同的条件选择不同的途径，可以优化解题过程．同时，平面向量数量积的两种形式沟通了“数”与“形”转化的桥梁，成为解决距离、角度、垂直等有关问题的有力工具．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．3．注意区分两向量平行与垂直的坐标形式，二者不能混淆,可以对比学习、记忆．若a＝（x1，y1），b＝(x2，y2），则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0。4．事实上应用平面向量的数量积公式解答某些平面向量问题时,向量夹角问题却隐藏了许多陷阱与误区，常常会出现因模糊“两向量的夹角的概念”和忽视“两向量夹角"的范围,稍不注意就会带来失误与错误．1．若a＝(x1，y1)，b＝（x2,y2），下列命题错误的是（）A．a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0B．a·b＜0⇔a与b的夹角为钝角C．若a·b≠0,则a与b不垂直D．|eq\o(AB,\s\up6（→)）｜表示A,B两点之间的距离B［当a与b共线且反向时,a·b＜0,故B不正确．］2．已知a＝(3，－1),b＝(1，－2），则a与b的夹角为(）A。eq