六年级奥数,牛吃草问题,教师讲义

牛草题义牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是：（）的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃较多天数－吃的较少天数（）有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；（）的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度（）头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设"1"，解题关键是弄清已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总求的问题。牛吃草问题是经典的奥数题型之一我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题大家开拓一下思先先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点特点：在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题工作总量是不固定的，一直在均匀变化。典例评析例、一匀生的场可1头牛2天或供2头吃0，么它供头吃0？例、于气渐起，场的不不长反以定速在少如某草上草25头吃天或供6牛6，那可1头吃少？小学六年级奥数第-1-页页

例、一片速长草，以18牛4天，或供2牛与6羊2天，如头牛每的草相当3羊天吃量请：片地1头牛多只一吃刚1天完？牧上满草每都速长这牧可2头吃6或3牛9。可2头吃几？【分析这牧场上的牧草的数量每天在变化题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变;，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我解题的关键。这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设1”。我们设牛每天吃草数量份，具体1份是多少我们不知道，也用管它，【思考】片草地，每天都匀速长出青草，如果可头吃天20头牛吃0天，那么可18牛吃几天？设头牛1天吃的草1份。则每新生的草量是20×10-24×）÷(10-6)=14份，原来的草量是（24-14）×6=60份。可1头牛60（18-14）=15天例因气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可33牛吃天，可供24头牛吃天照此计算，个牧场可供多少头牛1天【分析】与1不同的是，不但有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量【思考】于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可20牛吃天，或可供6头牛吃6天。那么，可11头牛吃几天？8天，设一头牛一天吃的草量为份。牧场每天减少的草量×5-16×6）÷（）=4份，原的草量+4）×5=120份，可供11头牛吃20(11+4)=8天。总结想办法从变化中找到不变量场上原有的草是不变的长的草虽然在变化是为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎而解。知识衍变小学六年级奥数第-2-页页

牛吃草基本问题就先介绍到这望家掌握这种方法后出现样吃草问题吃草问题也知道么做至以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法例自扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟级阶，小丽每分钟20级台阶，结果小明用了分钟，丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？【分析】在这道题中草”变成了“扶梯的台阶总级数成了“台阶成“速度,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。【思考】只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的一只每天爬0分米，另一只每天爬15分米黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰用昼夜到达井底，另一只恰好用6个夜到达井底。那么，井深多少米？大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？15米。蜗牛每夜下降××）÷6-5=10分米所以井深20+105=150分=15例一船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果12人水，小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。现在要想2小舀完，需要多少人？【分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键【思考】个水池，池底有泉水不断涌出，1部抽水机0小时可以把水抽干，用15部同的抽水机小时可把水抽干。那么2部样的抽机多少小时可以把水抽干？5小时。设一台抽水机一小时抽一份。则每小时涌出的水量是10-15×10）÷(20-10)=5，池内原有的水是20=100份所用2部抽水机需:100(25-5)=5小思维拓展例有牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可头牛吃0天，可19头牛吃4天，在有若干头牛在吃草，天后，头死亡，余下的牛吃天将草吃完，问原来有牛多少头？【分析吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。【思考】个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可头牛吃天或23头牛吃天现一群牛吃4天后卖掉头，余下的牛又吃了天将草吃完。这群牛原来有多少头？25头。设每头牛每天的吃草量1份。每天新生的草量为×9-27×）÷20-10份原的草量为27-15）×6=72份如两头牛不卖掉，这群牛天内吃草量2+15×8+2×4=200份所以这群牛原来200÷=25头例有块草地，面积分别为5顷6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供1头牛吃10天，第二块草地可1头牛1天。第三块草地可供19头牛吃多少天？【分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面统一起来。例一牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知2头，6天草吃尽，同样一片牧场，2头，9天小学六年级奥数第-3-页页

把草吃尽。如果有牛1头，几天能把草吃尽？摘录条件：27头6天23头9天21头？

原有草6天生长草原有草9天生长草原有草？天生长草小学解答：解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。1头牛天吃的草为1"，由条件知，前后两次青草的问题相差为2-27×6=45为什么会多出45呢？这是第二次比第一次多的9-63天生长出来的，所以每天生长的青草为5÷3=15现从另一个角度去理解这牧每天生长的青草正好可以满1头吃由我可以把每次来吃草的牛分为两组一组是抽出的15头来吃当天长出的青草另组来吃是原来牧场上的青草么这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？（27-15）×6=72那么：第一次吃草量7×6=162二次吃草量23×9=207每天生长草量45÷3=15原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=7221头牛分两组，15头去吃生长的，其6头去吃原有的草那么2÷6=12（天）初中解答：假设原来有的草为x份，每天长出来的草为y份，头牛每天吃1份。那么可以列方程：x+6y=27×6x+9y=23×9解得x=72,y=15若放21头牛，设天以吃完，则：72+15n=21nn=12例一库原有存水量一定，河水每天入库台抽水机连续0天抽干，台同样的抽水机连续5天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的水机？摘录条件：5台20天6台15天？台6天

原有水20天库量原有水15天库量原有水6天入库量小学解答：1台天抽水量为1"第一次总量为5×20=100，第二次总量为×15=90小学六年级奥数第-4-页页

每天入库量(100-90)÷(20-15)=220天入库2×20=40，原有100-40=6060+2×6=7272÷6=12（台）初中解答：假设原来有的水为x份，每天流进来的水为y份，台机器抽出的水1个单位。那么可以列方程：x+20y=20×5x+15y=6×15解得x=60,y=2若要6天抽完，设n台器可以完，则：60+6×2=6nn=12巩固练习1.一块牧场长满了草，每天均匀长。这块牧场的草可供10头牛吃40天供15头牛20天可供25头吃＿＿天。（）A.10B.5C.20A假1头天吃的量为1。每天新生的草量为(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份么愿草量为：×40-40×（排头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头吃200÷（25-5）（天2.一块草地上的草以均匀的速度长，如果20只天可以将草地上的草和新长出的草全部吃，而14只羊则要10天吃光。那么想用天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿羊。（）A.22B.23C.24B假只1天草的量为1份。每天新生草量是×10-20×）÷（10-5）（）原草是：20×5-8×＝（）安排8只羊专门吃每天新长出来的草4天时吃光这块草地共需羊60＝23（只）3．画展9时开，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一多。如果开3个场口，点9分不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点＿分。（）A.10B.12C.15C假每个人口每分钟进入的观量是份。每分钟来的观众人数为（3×9-5×）÷9-5=0.5（份）到9时止已来的观众人数为：×9-0.5＝22.5（份）第一个观众来到时比9时前了22.50.545（分）所以第一个观众到达的时间是9时45分=8时15分。4.经算，地球上的资源可供100亿人活100，或可供80亿生活300年假设地球新成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活（）人。70设1亿1年消耗的资源1那么地球上每年新生成的资源量为×100（）（）只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时球上的资源才不至于逐渐减少能足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活701=70（亿人）5.快中、慢三车同时从A地发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米小学六年级奥数第-5-页页

20千千车追上自行用了6小时追上自行车用了10小车追上自行车）小时。12自车的速度是×10-24×）÷10-6）（千米小时）三车出发时自行车距A地6==60千米）慢车追上自行车所用的时间为60÷（19-14（小时）6.一池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用2根抽管水，6小可以把池中的水抽干，那用16根水管）时可将可将水池中的水抽干。18设1根水管每小时抽水量为。（）水管每小时卸货量是×8-24×6）÷（8-6=12份）（）池中原有的水量为：218-12×＝72（份）（）根抽管，要将水池中水全部抽干需÷（16-12）=18（时）7.某头剖不断有货轮卸下货物不断用汽车把货物运走用9辆汽小时可以把它们完，如果用8辆车16小可以把它们运完。如果开始只用3辆汽，10小后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（）。19设两汽车每小时运的货物为1份（）水管每小时的进水量为16-9×12）÷16-12）=5（）（）头原有货物量是9×12-12×＝48份）（）辆车运10小时还有货物量是48+5-3）×10=68份）（）来增加的汽车辆数是5）÷4-3=19辆）8．有一片草地，每天都在匀速长，这片草可供16头牛吃20天，供80只羊12天如果一头牛的吃草量等于4只的吃草量，么10头与60羊一起吃可以吃多少天？8天（）牛的吃草量来计算，80只羊相当于804=20（头）牛。（）1头1天吃草量为1份（）求出这片草地每天新生长的草量×20-20×12）÷（20-12）=10（）（）求出草地上原有的草量1620-10×20120份）（）后求出10头与60只一起吃的天数：120÷（÷4-10）（）9.某库建有10个洪闸现水库的水位已经超过安全警戒线游河水还在按一不变的度增加。为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸10小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？4个设1个洪闸1小的泄水量为。（）库中每小时增加的上游河水量30-2×10）÷（30-10）=0.5（份）（）库中原有的超过安全线的水量为1×30-0