数学中考专题训练-勾股定理的应用

中考专题训练——勾股定理的应用

1.如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接

触，求此时水杯中的水深为多少？（结果用根式表示）

三三；80°

［杯

2.《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过

70千米/时，如图，一辆小汽车在某城市街道直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面

车速检测仪A（观测点）正前方30米处的C处，过了2秒钟后，测得小汽车与车速检测

仪间的距离为50米，问：这辆小汽车超速了吗？（参考数据转换：lm/s=3.6h"〃?）

小汽车小汽车

布II点

3.数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂

到了地面还多1米，当同学们把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好接触地面，

请你根据题意画出图形，并求旗杆的高度.

4.如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处（图中B点位置）

就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多

长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在

这条路上通行吗？

|71号民楼

5.甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口A同时出发，甲以每小时15海里的速度

向北偏东40°方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到

达C岛，乙船到达B岛，已知8、C两岛相距100海里，判断乙船航行的方向，并说明

理由.

6.如图，有一个三角形花圃，NC=90°,AC=20m,BC=10m,两个人同时从点8处出

发，以相同速度沿着花圃四周散步，一个沿着BQ,D4方向走，另一个沿着BC,。方

向走，结果他们在点A处首次相遇，你能据此求出4。的长吗？试试看.

U

7.如图是校园内的一块菜地，数学活动小组的同学量得：/ADC=90°,40=40%,CD

=30m，BC=l20m,AB=130m,求这块菜地的面积.

8.如图，是位于公路边的电线杆，高为10米，为了使电线COE不影响汽车的正常行驶,

电力部门在公路的另一边竖立了一根水泥撑杆BD,用于撑起电线.已知两杆之间的距

离是8米，电线OE的长度为10米，求水泥撑杆的高度（电线杆、水泥杆的粗细忽

略不计）.

9.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，NACB=90°,AC=

80m,BC=f>0m.线段CD是一条水渠，且。点在边AB上，已知水渠的造价为1000元

/〃?，问：当水渠的造价最低时，CO长为多少米？最低造价是多少元？

10.如图，一棵树8,在其6〃?高的点B处有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其

中一只猴子沿树爬下走到离树12巾处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶。后直线跃向池

塘的A处.如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？

11.如图，是斜坡AC上的一根电线杆A8用钢丝绳BC进行固定的平面图.已知斜坡AC

的长度为4a，钢丝绳BC的长度为5MABLA。于点A,CCA。于点。，若8=2相，

则电线杆A8的高度是多少.（结果保留根号）

12.如图，要修建一个育苗棚，棚高人=3"?,棚宽〃=4〃3棚长4=12机，现要在育苗棚的

整个表面（除底面外所有的面）覆盖一层塑料薄膜，试求至少需要多少平方米塑料薄膜？

（接缝处不计）

13.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为5c7”，高为12c%,吸管放进杯

里，杯口外面露出5c,〃.问吸管要做多长？

14.如图，一架10米长的梯子AB,斜靠在一竖直的墙AC上，梯子的顶端距地面的垂直距

离为8米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米.

(1)求它的底端滑动多少米？

(2)为了防止梯子下滑，保证安全，小强用一根绳子连接在墙角C与梯子的中点。处,

你认为这样效果如何？请简要说明理由.

15.如图，已知AC、BO为数值的墙面，一架梯子从点。竖起，当靠在墙面AC上时，梯

子的另一端落在点A处，此时N4OC=60°,当靠在墙面上时，梯子的另一端落在

点3处，此时/8。。=45°,且。0=3加米.

(1)求梯子的长；

(2)求。C、AC的长.

16.如图一架云梯AB斜靠在一面墙上，梯子的底端B离墙根0的距离。8长为7米，梯子

的顶端A到地面的距离0A为24米.

(1)求这个梯子A8的长；

(2)如果梯子的顶端A下滑4米到A'点，梯子的底端B向右滑动到夕点，试求

的长.

17.如图，有两条公路OM,ON相交成30°角.沿公路0M方向离。点80米处有一所学

校A,当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区

域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车户与学校A的距离越近噪声影响越大.若已知重

型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.

(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；

(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.

18.某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自

沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海

里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.

(1)求PQ、PR的长.

(2)如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什

19.如图所示，A、8两块试验田相距200米，C为水源地，AC=160〃?，BC=120，m为了

方便灌溉，现有两种方案修筑水渠.

甲方案：从水源地C直接修筑两条水渠分别到A、&

乙方案；过点C作A8的垂线，垂足为H,先从水源地C修筑一条水渠到AB所在直线上

的“处，再从”分别向A、B进行修筑.

(1)请判断△48C的形状(要求写出推理过程)；

(2)两种方案中，哪一种方案所修的水渠较短？请通过计算说明.

20.中国对南沙群岛及其附近海域拥有无可争辩的主权.2015年10月27日，美国拉森号

军舰未经中国政府允许，非法进入中国南沙群岛有关岛礁邻近海域.中国海军盐城舰加

大南沙海域的巡航维权力度.如图，OALOB,OA=45海里，。8=15海里，渚碧礁位

于。点，盐城舰在点8处发现美国拉森号军舰，自4点出发沿着AO方向匀速驶向渚碧

礁所在地。点，盐城舰立即从8处出发以相同的速度沿某直线去拦截拉森号军舰，结果

在点C处截住了拉森号军舰.

(1)请用直尺和圆规作出C处的位置；

(2)求盐城舰行驶的航程的长.

B

A

参考答案：

I.如图，在把易拉罐中水倒入一个圆水杯的过程中，若水杯中的水在点P与易拉罐刚好接

触，求此时水杯中的水深为多少？（结果用根式表示）

【分析】直接利用勾股定理得出P8的长，再利用三角形面积求出答案.

【解答】解：过尸作于

在中，ZABP=30a

则AP=8X工=4

2

由勾股定理得：不=4y，

由得：

22

▲X8・PM=2X4X4\B，

22

解得：PM=?M'

故水深为(10-2)cm,

答：此时水杯中的水深为(10-2/§)cm.

2.《中华人民共和国道路交通管理条例》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过

70千米/时，如图，一辆小汽车在某城市街道直道上行驶，某一时刻刚好行驶到路对面

车速检测仪A(观测点)正前方30米处的C处，过了2秒钟后，测得小汽车与车速检测

仪间的距离为50米，问：这辆小汽车超速了吗？(参考数据转换：I〃?/s=3.6h"//i)

小汽车小汽车

B9--...........................<C

瀛点-

【分析】直角三角形48c中，有斜边AB的长，有直角边AC的长，那么BC的长就很容

易求得，根据小汽车用2s行驶的路程为BC,那么可求出小汽车的速度，然后再判断是

否超速了.

【解答】解：在RtZ\ABC中，AC=30m,AB=50m,

由勾股定理可得：BC=N/_蜕2=40(〃?)，

.•.小汽车的速度为.=40+2=20Cm/s)=20X3.6(.km/h)=72(km/h),

V72(.km/h)>70(.km/h'),

.•.这辆小汽车超速行驶.

答：这辆小汽车超速了.

3.数学活动课上，老师组织学生测量学校旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂

到了地面还多1米，当同学们把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好接触地面，

请你根据题意画出图形，并求旗杆的高度.

A

【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的

长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度.

【解答】解：设旗杆的高度为X米，则绳子的长度为（X+1）米，

根据勾股定理可得：/+5?=（x+1）2,

解得，X=}2.

答：旗杆的高度为12米.

4.如图，一幢居民楼与马路平行且相距9米，在距离载重汽车41米处（图中B点位置）

就会受到噪音影响，试求在马路上以4米/秒速度行驶的载重汽车，给这幢居民楼带来多

长时间的噪音影响？若影响时间超过25秒，则此路禁止该车通行，那么载重汽车可以在

这条路上通行吗？

马路

【分析】先根据勾股定理求出BC及。C的长，进而可得出的长，根据载重汽车的速

度是4m/s即可得出受噪音影响的时间，与25秒相比较即可得出结论.

【解答】解：如图，过点A作于点C,

;由题意得AC=9,AB=AD=A\,ACLBD,

.♦.RtZXACB中，此="]2_92,

AC。中，DC=y/4]2_铲,

.,.87）=80,

.*.804-4=20（s）,

受影响时间为20s；

V20<25,

可以通行.

5.甲、乙两船从位于南北走向的海岸线上的港口4同时出发，甲以每小时15海里的速度

向北偏东40°方向航行，乙船以每小时20海里的速度向另一方向航行，4小时后甲船到

达C岛，乙船到达B岛，已知B、C两岛相距100海里，判断乙船航行的方向，并说明

【分析】根据题意得出AC,AB的长，再利用勾股定理的逆定理得出aBAC是直角三角

形，进而得出答案.

【解答】解：由题意可得：

AC=15X4=60（海里），

48=20X4=80（海里），

AC2+,4B2=602+802=10000,

loooo,

故AC2+AB2=BC2,

••.△54C是直角三角形，

AZBAC=90°,

180°-40°-90°=50°,

，乙船航行的方向是南偏东50°.

6.如图，有一个三角形花圃，NC=90°,AC=20m,8c=10,〃，两个人同时从点8处出

发，以相同速度沿着花圃四周散步，一个沿着8。，D4方向走，另一个沿着BC,CA方

向走，结果他们在点A处首次相遇，你能据此求出AO的长吗？试试看.

【分析】设BL>=x,AD^y,再由BD+AO=BC+AC及勾股定理列出关于x、y的方程组,

求出y的值即可.

【解答】解：设B£)=x,AD=y,

'：BD+AD=BC+AC,AC1+CD1=ADL,AC=20m,BC=10，〃，

x+y=30

：.},解得y=25/n,即AO=25m.

,202+(10+x)2=y

7.如图是校园内的一块菜地，数学活动小组的同学量得：ZADC=90°,AD=4Qm,CD

=30m，8c=120"，AB=130/n,求这块菜地的面积.

【分析】连接AC,先根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△

ACB的形状，根据S四边彩ABC=SzsACB-SAACD即可得出结论

【解答】解：连接AC,

•.♦40=40,CD=30,NA£)C=90°,

：.AC^yJ4O2+3O2=50,

•.,AB=130,BC=120,

：.AC2+BC2=AB2,

.二△ACB是直角三角形，

2

ASraa®/iBC=SMCB-SAACD=—X50X120-Ax30X40=3000-600=2400(w),

22

答：这块菜地的面积为2400次.

8.如图，4E是位于公路边的电线杆，高为10米，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶,

电力部门在公路的另一边竖立了--根水泥撑杆BD,用于撑起电线.已知两杆之间的距

离是8米，电线。E的长度为10米，求水泥撑杆8力的高度(电线杆、水泥杆的粗细忽

略不计).

【分析】作于尸，在RtzXEF。中，。尸=AB=8,DE=10,由勾股定理求出E凡

即可得出结果.

【解答】解：作OFJ_AE于尸，如图所示：

则在RtZkE尸。中,DF=AB=&,DE=10,

22

：•EF=VDE-DF=V102-82=6,

：.BD=AF=AE-EF=\0-6=4（米）；

答：水泥撑杆B4的高度为4米.

9.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，ZACB=90°,AC=

80mBC=60/n.线段CD是一条水渠，且。点在边A8上，已知水渠的造价为1000元

/〃?，问：当水渠的造价最低时，CD长为多少米？最低造价是多少元？

【分析】当CD为斜边上的高时，CD最短，从而水渠造价最低，根据已知条件可将C。

的长求出，在RlZsAC。中运用勾股定理可将A力边求出.

【解答】解：当C。为斜边上的高时，CO最短，从而水渠造价最低，

VZACB=90°,AC=80米，8C=60米，

22

•MB=VAC+BC=7602+802=।。。米，

"：CD'AB=AC'BC,HPCD，100=80X60,

.\CD=48米，

...在RtZXAC。中，4c=80,CD=48,

所以，CO长为48米，水渠的造价最低，其最低造价为48000元.

10.如图，一棵树CD在其6m高的点8处有两只猴子，它们都要到A处池塘边喝水，其

中一只猴子沿树爬下走到离树12相处的池塘A处，另一只猴子爬到树顶。后直线跃向池

塘的A处.如果两只猴子所经过的路程相等，试问这棵树有多高？

【分析】由题意知AD+O8=BC+CA,设米，则A£)=(18-x)米，且在直角4

ACD中CD^C^^AD2,代入勾股定理公式中即可求x的值，树高CD=6+x.

【解答】解：由题意知AC+OB=BC+CA,且CA=12米，BC=6米，

设B£>=x米，则(18-%)米，

在RtZ\ACD中：。。2+°2=4。2,

即(18-%)2=(6+无)2+122,

解得x=3,

故树高为CD—6+3=9米.

答：树高为9米.

11.如图，是斜坡AC上的一根电线杆A8用钢丝绳BC进行固定的平面图.已知斜坡AC

的长度为4如钢丝绳BC的长度为5m。于点A,。于点。，若CO=2/n,

则电线杆AB的高度是多少.(结果保留根号)

B

【分析】过点C作CE//AD交AB于点E,得到矩形ADCE,那么AE=CD=2,CE=

AD.先在直角△ACO中利用勾股定理求出AQ,然后在直角△BCE中利用勾股定理求出

BE,那么4B=AE+BE,问题得解.

【解答】解：过点C作CE〃A。交AB于点E,

•.•A81.A。于点A,COJ_A。于点。，

四边形AOCE是矩形，

：.AE=CD=2,CE=AD.

在直角△ACD中，

VZADC=90°,

•，MD^VAC2-CD2=2e,

：.CE=AD=2\[2-

在直角△BCE中，；NBEC=9Q°,

22

BE="\/BC-CE=>

AB=AE+BE=2+2V13.

即电线杆AB的高度是（2+J石）m.

12.如图，要修建一个育苗棚，棚高〃=3机，棚宽4=4〃?，棚长d=12m,现要在育苗棚的

整个表面（除底面外所有的面）覆盖一层塑料薄膜，试求至少需要多少平方米塑料薄膜？

（接缝处不计）

【分析】在侧面的直角三角形中，由勾股定理可得，直角三角形的斜边长.棚顶是以侧

面的斜边为宽，棚的长为长的矩形，依据矩形的面积公式即可求解，进而可求出需要多

少平方米塑料薄膜.

【解答】解：'：h=3m,a=4m,

=VAC2+BC25（W）'

，需要多少平方米塑料薄膜=5X12+2X^X3X4+3X12=108（wi2）.

13.一种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面直径为5c,",高为12cm,吸管放进杯

里，杯口外面露出5cm.问吸管要做多长？

【分析】在吸管(杯内部分)、杯底直径、杯高构成的直角三角形中，由勾股定理可求

出杯内吸管部分的长度，再加上外露部分的长度即可求出吸管的总长.

【解答】解:如图所示：

,杯子底面直径为5cw,高为12c/n,

BC=5cm,AB—12crn,

：吸管、圆柱形杯内部底面直径与杯壁正好构成直角三角形，

•••AC=\AB2+BC2=13C，”,

；杯口外面至少要露出5cm,

吸管的长为：13+5=18。〃.

14.如图，一架10米长的梯子A8,斜靠在一竖直的墙AC上，梯子的顶端距地面的垂直距

离为8米，如果梯子的顶端沿墙下滑1米.

(1)求它的底端滑动多少米？

(2)为了防止梯子下滑，保证安全，小强用一根绳子连接在墙角C与梯子的中点。处，

你认为这样效果如何？请简要说明理由.

【分析】(1)在直角△ABC中，根据勾股定理求得BC的长度；然后在直角△AiBiC中，

根据勾股定理求得81c的长度，则88i=BC-8C；

(2)因为在直角三角形中：斜边上的中线等于斜边的一半，斜边为梯子的长度不变，所

以绳子的长度不变，并不拉伸，对梯子无拉力作用.

【解答】解：(1)在直角△A8C中，NAC8=90°,AB=10米，AC=8米，由勾股定

理得BC=\卜._氐2=6米.

在直角△4BC中，/ACBi=90°,AiBi=10,A\C=1,由勾股定理得BiC=J五.

所以BBi=BiC-BC=J^i-6

答：它的底端滑动(倔-6)米.

(2)并不稳当，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，梯子若下滑，绳子的长

度不变，并不拉伸，对梯子无拉力作用.

15.如图，已知4C、B0为数值的墙面，一架梯子从点。竖起，当靠在墙面4C上时，梯

子的另一端落在点A处，此时NAOC=60°,当靠在墙面上时，梯子的另一端落在

点8处，此时N8OD=45°,且。。=3近米.

(1)求梯子的长；

(2)求OC、4c的长.

【分析】(1)先根据题意得出△BOO是等腰直角三角形，再由勾股定理即可得出0B的

长；

(2)先根据直角三角形的性质求出0C的长，再由勾股定理即可得出AC的长.

【解答】解：(1)•・•由题意得，ZBDO=90°,NBOD=45：

：.ZB=45°.

.•.00=80=3&(米).

在RtZkOB。中，03=4002+802=6(米)，

梯子的长是6米；

(2)VZACO=90°,ZAOC=60°,OA=O8=6米，

；./CAO=30°,

；.OC=Lo=3米.

2

在RtAACO中，AC=^AQ2_QC2=折=3禽米.

16.如图一架云梯A8斜靠在一面墙上，梯子的底端B离墙根0的距离08长为7米，梯子

的顶端A到地面的距离0A为24米.

(1)求这个梯子AB的长；

(2)如果梯子的顶端4下滑4米到4'点，梯子的底端B向右滑动到B'点，试求88'

的长.

【分析】(1)在△RfAOB中依据勾股定理可知AB2=OA2-0^2=242+72=625,两边同时

开方即可求得AB的长；

(2)在RtZ\A'OB'中依据勾股定理可求得OB'的长，从而可求得8B'的长.

【解答】解：(1)在RtaAOB中，

；OA=24,0B=7,

由勾股定理得：-082=242+72=625=252,

."8=25；

(2),/0A1=OA-AA'=24-4=20,

在RtZ!vl'OB'中，

"：A'B'=25,OA'=20,

由勾股定理得：OB'2-OA'2=252-202=225=152,

：.OB'=15,

：.BB'=OB'-OB=15-7=8.

17.如图，有两条公路。M,ON相交成30°角.沿公路OM方向离。点80米处有一所学

校4当重型运输卡车尸沿道路ON方向行驶时，在以P为圆心50米长为半径的圆形区

域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大.若已知重

型运输卡车尸沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时.

(1)求对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离；

(2)求卡车尸沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间.

【分析】(1)作AO1.ON于。，求出AO的长即可解决问题.

(2)如图以A为圆心50w为半径画圆,交ON于8、C两点，求出BC的长，利用时间

=尊厚计算即可.

速度

【解答】解：（1）作ACON于。，

VZMON=3>0°,AO=80m,

.•.Ar>=」OA=40，〃，

2

即对学校A的噪声影响最大时卡车P与学校A的距离40m.

（2）如图以A为圆心50根为半径画圆，交ON于8、C两点，

HBC,

:.BD=CD=LBC,

2

在RtAABD中，BD={AB?-AD?=^502-40=3°加，

：.BC=60m,

•••重型运输卡车的速度为18千米/时=300米/分钟，

，重型运输卡车经过8c的时间=60+300=0.2分钟=12秒，

答：卡车尸沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒.

18.某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自

沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海

里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.

（1）求PQ、PR的长.

（2）如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什

【分析】（1）根据路程=速度X时间计算即可.

(2)利用勾股定理的逆定理证明NQPR=90°即可.

【解答】解：根据题意，得

(1)P(2=16X1.5=24(海里)，PR=12X1.5=18(海里)，

(2)VPg2+P/?2=242+182=900,QR2=900

；.PQ2+PR2=QR2,

；.NQPR=90°.

由“远航号”沿东北方向航行可知，ZQPS=45°,则N5PR=45°,即“海天”号沿

西北方向航行.

19.如图所示，A、8两块试验田相距20