高考数学总复习第46讲解析几何3椭圆与方程

④离心率e：ec1b(0e椭圆具有圆锥曲线统一的定义，椭圆是平面内到一个定点F和到一条定直线l（Fl上）的距离的比等于常数e0e1的点的轨迹。其中e是椭圆的离心率，定点F是椭圆的焦点，定直线l是椭圆的准线。椭圆的第二定义具有涉及焦半径（PF）的“斜直转化”特色（即把解决焦半PF转化为解决PKPKl。x2

1

ab

c2a2b2 y2

1

ab

c2a2b2

x2y2（参数 0 1 ∴x2a2，y2b2，

xa

yb，得axabybxayb所围成的矩形框yy方程不变，所以若点xyx，yy方程也不变，则曲线关于原点对称。x0ybB10,bB20,by轴的两个交点。y0xaA1a,0A2a,0x轴的两个交点。别为2a和2ba和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。RtOB2F2中，|BF|2|OB|2|OF|2，即a2b2c22 c椭圆的焦距与长轴的比e ae越接近于0c就越接近于0，从而b越接近于a特殊地，当且仅当abc0x2y2a2PxyF、

y2 (ab0

2 122 122 00P00

x2 (ab0

aey0

aey0PFc,0的距离和它到定直线lx

的距离的比是常数(ac0)时，这个点的 x2y2

b2a2

（其中

根据图形的对称性，椭圆有两条准线，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆，与焦点F1c,0F2c,0x

,xa2c对于中心在原点，焦点在y轴上的椭圆，与焦点F10,cF20,c)对应的准线方程分别为。ya2,y。

,

分 oo oo oo

,y（如0,0），将其坐标代入椭圆方程 a2b21 o o1或oo1 22

y2

若o o1则点P在椭圆上 若oo1P 若oo1P 分

相 两组相 一组相 无交 无 已知椭圆Ca2b21，直线l:AxByC022

y b2

ACxa2C

a2b2

0

4a2b2B2a2A2+b2B2C2当0时，椭圆与直线相交于两点；当0时，椭圆与直线相切于一点；当0时，椭圆与直,1k1kx11k1kx1 11k

|y1y2

11ky1 4y1 x1xy1y1

a2

设椭圆Ca2

1，直线l:AxByC0A2椭圆的最短与最远的距离。即求dAx0By0A22：如图，平行于直线l的动直线l'：AxBy0R与椭圆C相切时，平行线l与x Ⅱ、如图，设椭圆C： 1的点Px,y，圆C'：xm

y2r2O'P与圆C O'P2xm2 b2

a2

2mxmb,axa b2O

的最值转化为求二次函数1

x22mxm2b2a2P'PminO'Pminr,P'PmaxO'PmaxrⅢ、若椭圆C用参数方程ybsin

O'P2xm2c2cos22amcosm2b2tcos,t1,1

0,2O'P2c2t22amtm2b2,tO'P2的最值转化为求二次函数c2t22amtm2b2在区间1,1上的最值。于是 P' O' r,P' O' r x Ⅳ、如图，设椭圆C： 1的点Px,y，圆C'：xym

r2O'P与圆C O'P2x2ym b2

a2

2mymb,bx b2O

的最值转化为求二次函数1

y22mym2b2a2 P' O' r

P' O' r 229

y 1的焦点为F1,F2，点P在椭圆上，若|PF1|4，则|PF2 y 同时由余弦定理求得F1PF2的大小。答案：a2解：如图，∵a29b2a27∴c ∴F1F2 PF14PF1PF22a6，∴

2224227在FPF中，由余弦定理，得cosFPF

1

∴F1PF2120，故填2,120

1(ab

0的四个顶点，F 答案：e 解：如图，∵直线AB的方程为

y11 xy x2ac y设Tx,y y

解得

abac a∴∴2acb(aca a∵M为线段OT的中点，∴M( , )ac2(ac b(ac Ma2b21ab0c2c∴(ac

(ac4(ac

1，化简得

10ac

0即即e210e30e2750,1（e275舍去e275求椭圆C是否存在平行于OAl，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OAl4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。y3xt，那么它既要与椭圆相交，又要与直线OA4，按这要求研究t2

（2）

1(ab0)在RtAFF'中，∵AF'2

F'F2

AF2423225，∴

52aAF'AF538a43又a2b2c2，∴b 3x y∴椭圆C的方程为 （2）假设存在所求的直线lyy3xt

3xt2yy

2 3x23txt2120 33t243t2120，解得3∵直线OA与l

t 33t32t32

43,43 案例3：已知椭圆C:a2b21ab0

FlC32A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离 22求a、bCPl绕F转到某一位置时，有OPOAOB成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。 和原点O到l的距离 22 坐标与直线l的参数的关系，从而确定直线l的参数，求出点22 2（Ia 3,b （IIP( ),l:x y1 ),l:x y12 , 解：（I）Fc0，直线lxyc0

∵坐标原点O到l的距离为 2 2 22

c12又∵ec ，∴a 3,b 2 x2y21 my（II）l0，∴不妨设l:xmymyAx1y1Bx2y2，∵椭圆C3

x2y1 ∴x2

3)

4my40，显然0 定理yy ，yy 2m2 1 2m2P，使OPOAOB成立，即OPx1x2y1y2P的坐标为x1x2y1y2(xx (yy∵点P在椭圆上 1 化简得2x23y22x23y24xx6yy6 1 1A、B2x23y262x23y26 ∴2x1x23y1y230∵xx(my1)(my1)m2yym(yy)1 1 4m

，2m2 2m2 2m2236m23

2 2m2

2m23

0，解得 2 ∴x1x22m2322，y1y2

或2 2

322，即 )22 m2时,P(3

2),l:x

2y1 m

2时,P(3,2),l:x 2y1 小值为1；求椭圆C若直线l:ykxm与椭圆CA、B两点（A、B不是左右顶点AB为直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标。I（ （II） ,0

1(ab

0)3ac3 1

c1.b （II）Ax1y1B(x2y2ykx由x2

1得34k

8mkx4(

3)064m2k21634k2m230，即34k2m20

4(m23且xx ,xx 34k

34k 1 ∴yy(kxm)(kxm)k2xxmk(x 1 ABD2,0ADBD

3(m24k2。34k∴

1，即y1 1，