线代总复习题

总复习题

1.设A,3都是3阶方阵，且A=2,B=3,则

2532

2AB{=o=3

2.设矩阵A满足A2-A-8E=O,则

（A-2E）-1=1（A+E）。

3.已知矩阵&X5和矩阵纭x4,且一（4）=2,矩阵纭区的列向

量均是Ax=O的解,贝I）r（B）的最大值

为3o

4.设A=22,人6=£,其中石为单位矩阵，则

731

；22J

V22J

5.设5为三阶方阵，且忸|二—2,则卜夕*）卜108:

6.齐次线性方程组AX=0有非零解，且其系数矩阵A为〃阶方

阵，则A的一个特征值必为0o

7.设3阶矩阵A特征值为1,2,2,则447一£=3

102

8.如果x31的代数余子式42=-1，则代数余子式

4x5

&~______2____°

9.设X为三维单位向量，则矩阵泥一的秩为

1.如果矩阵A,B,A+B,AT+5T均可逆，则

(A+B)-1=D

(A)A-1+Bx(B)5®+A」，'A

(C)A+B(D)1(5-1+4-1)一»

2.设A,B为2阶可逆方阵，且A=Q,B=b,分块矩阵

(OA\C

则M:o

\2BO)

(A)-2ab(B)lab

(C)4ab(D)-4ab

地、

a2b2

3.矩阵A=a2b]a2b3,且qw0,Z?w0,i=1,2,3,则矩

3bla3b2a3b3>

阵A的秩为_____B

(A)0(B)1

(C)2(D)3

4.设4阶矩阵A的秩r(A)=3,四,%为4维非零列向量，且满足

4aI=0,A”2=“2，人为任意常数，则非齐次方程组A%=g%的

通解为Ao

(A)女名+巴旦(B)左/+歪马

1212

(C)ka?+01+%(D)ka2+———

222

5.设A为〃阶矩阵(n>3)，下列命题正砥的

是c。

(A)若存在数4和向量“，使得A”=2”成立，

则向量〃是矩阵A的属于特征值％的特征向量

(B)矩阵A的两个不同的特征值可以有同一个特征向量

(C)若存在数4和非零向量”，使得(A—2£)“=0成立，

则％是矩阵A的特征值

(D)若4,4,4是A的三个互不相同的特征值，^，出，电分别是矩阵A

的属于特征值4,4,%的特征向量，贝U四,出，的必线性相关

6.下列矩阵中不能对角化的是Do

实对称矩阵可以对角化。

「10-PA:

(A)023

B:是下三角矩阵，主对角线上元素即为特征值，有三个

35,不同的特征值，必可以对角化。

」00、

C:秩为1,特征值为4,0,0,对于二重特征根0有

(B)230

r(0E—A)=l齐次方程组(0£—4)x=0基础解系有2

、-15-17

/10-1、个线性无关的解向量，即0有两个线性无关的特征向量,

C也可以对角化。

(C)20-2

1303,

D:上三角矩阵特征值为主对角线上元素1为二重特征

口23、值，r(E—4)=2知齐次方程组(£—4)X=0只有1个

(D)013

线性无关的解，即特征值1只有一个线性无关的特征向

<0o-b量，故不能对角化。

7.设A,5为〃阶方阵，P,。为〃阶可逆矩阵，下列命题不法

确的是c。

(A)若b=A0,则A的列向量组与5的列向量组等价

(B)若5=P4，则A的行向量组与3的行向量组等价

(C)若5=240,则A的行(列)向量组与5的行(列)

向量组等价

(D)若5=240,则矩阵A与B相抵(等价)

8.下列命题中正确的是D

o(AB)1=B1A1=AB

(1)如果矩阵=则A可逆且4一1二3

：.BABA=BB1A-iA=E

(2)如果〃阶矩阵A,3满足(Ab)2=E,则(A4)2=E

(3)如果矩阵A,5均为〃阶不可逆方阵，则A+3必不可逆

(4)如果矩阵A,〃均为〃阶不可逆方阵，则A3必不可逆

(A)(1)(2)(B)(1)(4)

(C)(2)(3)(D)(2)(4)

9.设A为〃阶方阵，r(A)=H-3,且囚,。2，。3是心=0的3个线性

无关的解向量，则Ax=0的基础解系为A0

(A)/+必(B)a2-a^a3-a^ax-a3

(C)2a2-ax,—a3-a2.ax-a3(D)ax+a2+a3,a3-a2,-ax-2a3

10.设A,万为〃阶方阵，£,8、分别为A,b对应的伴随矩

(A

阵，分块矩阵。二O}

I。则C的伴随矩阵

c=B

(AA*O)(B4*O

(A)(B)

I0BOAB^'J

(ABO(BB*O}

(C)(D)

OBAJ［。AA*J

p11、,110、

三.已知三阶矩阵A=11-1与笈=011

1_11

V1117、。。1J

1

满足2AX=X+32,且矩阵。=(2A-E),

3

(I)试验证C为正交矩阵，即C=。一1。

(II)计算X。

解答:

22)

ii

(I)C=(2A-E)=21-2

12

(122Y122\(\0。、

Tl

CC=21-221-2=010

9

-21人2-21J1°01,

C为正交矩阵，即。丁二。一1

解答:

(II)由2AX=X+62得(2A—团聚二加

1

即CX=B2

3

(122V1ioYfi47、

1211

X=CB=21-2011=252

391J[o9

-20”2-b

%—2%2+&+4%4二—4

—2%]+5%2—7%4—8

四.求非齐次线性方程组的通解。

X-+4%——5

JL乙I,

-+3%2—4%4—5

解答：对方程组的增广矩阵进行初等变换如下:

，1-214—4(1-214-4、

-250-7801210

(A)=»

1-304—5口+彳0—1—10—1

<-130—457<01101>

q-214-4、q-214-4、

0121001210

Q+G

r+r

0-1-10-1320011-1

<01100000,

-214-4、q0011

01210010—1:2

»4一2以>

0011-1Aj+2/2-5/30011-1

<0000<000007

其系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,则方程组有解,其

通解形式如下:

c{eR

五.设方阵A满足条件ATA=£，其中是A的转置矩阵，E

为单位阵。设；I是A的特征值，%=(不看,・・・,男尸是属于力的

实特征向量

试证明：

(I)A2xTX=xTX

(IDA的实特征向量所对应的特征值的绝对值等于1。

解答:

（I）丸是A的特征值，1=（不工2,…，当尸是属于4的

实特征向量，则=xwO（1）

两边取转置有xrAr=AxT（2）

⑴、（2）两式相乘得XTATAX=A2xTx,

因为ALA.-E,故A2xTx=xTx,

（II）因此有（A2—1）”7工=0

因为X—X；+x；+••,+X；>0,从而％?—1=0,即丸=1o

六.设4为3阶方阵，向量四，电是A的分别属于特征值-1，1

的特征向量，向量%满足A%="2+”3；试证明：

(I)向量组囚,。2，“3线性无关；

(II)令尸，求尸一4尸。

解答:

(I)方法一：向量四,“2是A的分别属于特征值-1，1

的特征向量，则“1，出线性无关，且人"1=一"1，

Aa2=

设

kxa}+k2a2+k3a3=0

两边同时乘A得：

A(左］%++左3a3)=

k1az+k2Aa2+k3Aa3

=-k{a{+k2a2+k3(%+?)②

+化+&)&+

=-kxaxk3a3=0

解答：

(I)方法一：①-②得2ki%-k3a2=0。

由“1，”2线性无关知左1=攵3=°，再代入①式，可得k2a2=0，

又由于以2。0，则有左2=0，所以向量组以1，a2，”3线性无关。

解答：方法二：（反证法）

fa

若“1,电，“3线性相关则存在4,，2使得“3=ii+12a2，

贝1］由已知条件得Aa3=“2+”3="2+4%+12a2③

又有Aa3=A{t}a}+?2a2）=-1^+t2a2④

③-④得2，］四+“2=。，与四,外线性无关矛盾。

故向量组”1，”2,“3线性无关。

解答：（II）P=[a^a2.a3],由（I）得尸可逆，且

-100

AP=A[apa2,a3]=[AapAa2,Aa3]=[apa2,a3]Oil

001

-100

=P011

001

-100—100

PAP=PP011011

001001

七.已知向量组

rn(3'(2、

-31