人教B版选择性必修第一册2.8直线与圆锥曲线的位置关系(二)作业

直线与圆锥曲线的位置关系(二)课时对点练1．直线2x－y－4＝0与抛物线y2＝6x交于A，B两点，则线段AB的长度为()A．8B.eq\f(\r(285),2)C.eq\f(\r(305),2)D.eq\f(\r(335),2)★[答案]B★[解析]联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝6x，,2x－y－4＝0，))消去y并整理得2x2－11x＋8＝0，Δ>0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(11,2)，x1x2＝4，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq\r(1＋4)×eq\r(\f(121,4)－4×4)＝eq\f(\r(285),2).2．已知P为抛物线y2＝4x上一点，Q为圆(x－6)2＋y2＝1上一点，则|PQ|的最小值为()A.eq\r(21)－1B．2－eq\f(\r(5),5)C．2eq\r(5)－1D．21－4eq\r(5)★[答案]C★[解析]设点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m2，m))，圆(x－6)2＋y2＝1的圆心坐标为A(6,0)，∴|PA|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)m2－6))2＋m2＝eq\f(1,16)(m2－16)2＋20≥20，∴|PA|≥2eq\r(5)，∵Q是圆(x－6)2＋y2＝1上任意一点，∴|PQ|的最小值为2eq\r(5)－1.3．已知离心率为2的双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx与双曲线C交于A，B两点，若|AB|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|，则k等于()A．±eq\r(3)B．±1C．±2D．±3★[答案]B★[解析]由双曲线C的离心率为2，可得eq\f(\r(a2＋b2),a)＝2，故b2＝3a2，故双曲线的方程可化为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3a2)＝1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx，,\f(x2,a2)－\f(y2,3a2)＝1，))可得x2＝eq\f(3a2,3－k2)和y2＝eq\f(3a2k2,3－k2)，设A(x，y)，则B(－x，－y)，故|AB|＝2eq\r(x2＋y2)＝2eq\r(3)aeq\r(\f(1＋k2,3－k2))，而|F1F2|＝2eq\r(a2＋b2)＝4a，由|AB|＝eq\f(\r(3),2)|F1F2|，可得2eq\r(3)aeq\r(\f(1＋k2,3－k2))＝eq\f(\r(3),2)×4a，则k＝±1.4．椭圆eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,b2)＝1，过原点O斜率为eq\r(3)的直线与椭圆交于C，D，若|CD|＝4，则椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,4)＝1B.eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,3)＝1C.eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,6)＝1 D.eq\f(x2,7)＋eq\f(2y2,7)＝1★[答案]D★[解析]由题意可知，直线CD的方程为y＝eq\r(3)x，直线倾斜角为eq\f(π,3)，不妨设C点在第一象限，则OC＝2，因此可得C(1，eq\r(3))，又点C在椭圆eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,b2)＝1上，所以eq\f(1,7)＋eq\f(3,b2)＝1?b2＝eq\f(7,2)，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,7)＋eq\f(2y2,7)＝1.5．若直线y＝x＋t与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，当|t|变化时，|AB|的最大值为()A．2B.eq\f(4\r(5),5)C.eq\f(4\r(10),5)D.eq\f(8\r(10),5)★[答案]C★[解析]联立两个方程化为5x2＋8tx＋4t2－4＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－eq\f(8,5)t，x1x2＝eq\f(4,5)(t2－1)，∴|AB|＝eq\r(2[?x1＋x2?2－4x1x2])＝eq\r(2[?－\f(8,5)t?2－\f(16,5)?t2－1?])＝eq\f(4,5)eq\r(10－2t2)，而Δ＝(8t)2－4×5×(4t2－4)>0，解得0≤t2<5.∴取t2＝0得|AB|max＝eq\f(4\r(10),5).6．(多选)设椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1的右焦点为F，直线y＝m(0<m<eq\r(3))与椭圆交于A，B两点(xA<xB)，则()A．|AF|＋|BF|为定值B．△ABF的周长的取值范围是[6,12]C．当m＝eq\f(\r(3),2)时，△ABF为直角三角形D．当m＝1时，△ABF的面积为eq\r(6)★[答案]ACD★[解析]设椭圆的左焦点为F′，则|AF′|＝|BF|，∴|AF|＋|BF|＝|AF|＋|AF′|＝6为定值，A正确；△ABF的周长为|AB|＋|AF|＋|BF|，∵|AF|＋|BF|为定值6，|AB|的取值范围是(0,6)，∴△ABF的周长的取值范围是(6,12)，B错误；将y＝eq\f(\r(3),2)与椭圆方程联立，可解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(3),2)，\f(\r(3),2)))，又∵F(eq\r(6)，0)，∴eq\o(AF,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)＋\f(3\r(3),2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(6)－\f(3\r(3),2)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＝0，∴△ABF为直角三角形，C正确；将y＝1与椭圆方程联立，解得A(－eq\r(6)，1)，B(eq\r(6)，1)，∴S△ABF＝eq\f(1,2)×2eq\r(6)×1＝eq\r(6)，D正确．7．过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝________.★[答案]4eq\r(3)★[解析]由双曲线方程可得右焦点为(2,0)，渐近线方程为y＝±eq\r(3)x，把x＝2代入渐近线方程，得y＝±2eq\r(3)，故|AB|＝4eq\r(3).8．已知椭圆两顶点A(－1,0)，B(1,0)，过焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C，D两点，当|CD|＝eq\f(3\r(2),2)时，直线l的方程为________________．★[答案]eq\r(2)x－y＋1＝0或eq\r(2)x＋y－1＝0★[解析]由题意得b＝1，c＝1.∴a2＝b2＋c2＝1＋1＝2.∴椭圆方程为eq\f(y2,2)＋x2＝1.当直线l的斜率不存在时，|CD|＝2eq\r(2)，不符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝kx＋1，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＋2x2＝2，))得(k2＋2)x2＋2kx－1＝0.Δ＝8(k2＋1)>0恒成立．设C(x1，y1)，D(x2，y2)．∴x1＋x2＝－eq\f(2k,k2＋2)，x1x2＝－eq\f(1,k2＋2).∴|CD|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq\f(2\r(2)?k2＋1?,k2＋2).即eq\f(2\r(2)?k2＋1?,k2＋2)＝eq\f(3\r(2),2)，解得k2＝2，∴k＝±eq\r(2).∴直线l的方程为eq\r(2)x－y＋1＝0或eq\r(2)x＋y－1＝0.9．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))在椭圆上，且有|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(2).(1)求椭圆C的标准方程；(2)过F2的直线l与椭圆交于A，B两点，求△AOB面积的最大值．解(1)由|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(2)，得2a＝2eq\r(2)，∴a＝eq\r(2).将Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(\r(2),2)))代入eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得b2＝1.∴椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1.(2)由已知，直线l的斜率为零时，不符合题意；设直线方程为x－1＝my，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,x2＋2y2＝2，))得(m2＋2)y2＋2my－1＝0，由根与系数的关系，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y1＋y2＝－\f(2m,m2＋2)，,y1y2＝－\f(1,m2＋2)，))∴S△AOB＝eq\f(1,2)|OF2|·|y1－y2|＝eq\f(1,2)eq\r(?y1＋y2?2－4y1y2)＝eq\f(1,2)eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,m2＋2)))2－4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,m2＋2))))＝eq\r(2)×eq\r(\f(m2＋1,m4＋4m2＋4))＝eq\r(2)×eq\r(\f(m2＋1,?m2＋1?2＋2?m2＋1?＋1))＝eq\r(2)×eq\r(\f(1,?m2＋1?＋\f(1,m2＋1)＋2))≤eq\r(2)×eq\r(\f(1,2\r(?m2＋1?·\f(1,m2＋1))＋2))＝eq\f(\r(2),2)，当且仅当m2＋1＝eq\f(1,m2＋1)，即m＝0时，等号成立．∴△AOB面积的最大值为eq\f(\r(2),2).10.如图，已知抛物线y2＝4x，其焦点为F.(1)求以M(1,1)为中点的抛物线的弦所在的直线方程；(2)若互相垂直的直线m，n都经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点和C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．解(1)由题意知，中点弦所在的直线斜率存在．设所求直线交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则yeq\o\al(2,1)＝4x1，yeq\o\al(2,2)＝4x2，kPQ＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(4,y1＋y2)＝2，∴所求直线方程为2x－y－1＝0.(2)依题意知，直线m，n的斜率存在，设直线m的方程为y＝k(x－1)，与抛物线方程联立，由抛物线的定义可知，|AB|＝2＋x3＋x4＝eq\f(4,k2)＋4，同理，|CD|＝4k2＋4，∴四边形ACBD的面积S＝eq\f(1,2)(4k2＋4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,k2)＋4))＝8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋k2＋\f(1,k2)))≥32.当且仅当k＝±1时取得最小值．11．斜率为1的直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋y2＝1相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A.eq\f(4\r(5),5)B.eq\f(4\r(10),5)C.eq\f(8\r(10),5)D.eq\f(8\r(5),5)★[答案]B★[解析]设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为y＝x＋m，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋m，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消去y得5x2＋8mx＋4(m2－1)＝0，Δ＝(8m)2－4×5×4(m2－1)＝80－16m2>0，即0≤m2<5.则x1＋x2＝－eq\f(8m,5)，x1x2＝eq\f(4?m2－1?,5).∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(?x1＋x2?2－4x1x2)＝eq\r(2)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(8m,5)))2－\f(16?m2－1?,5))＝eq\f(4\r(2),5)·eq\r(5－m2)，∴当m＝0时，|AB|取得最大值eq\f(4\r(10),5).12．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为()A．4B．8C．16D．32★[答案]B★[解析]∵C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴双曲线的渐近线方程是y＝±eq\f(b,a)x，∵直线x＝a与双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点，不妨设D在第一象限，E在第四象限，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝\f(b,a)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝b，))故D(a，b)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝－\f(b,a)x，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝a，,y＝－b，))故E(a，－b)，∴|ED|＝2b，∴S△ODE＝eq\f(1,2)a×2b＝ab＝8.∵双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，∴其焦距为2c＝2eq\r(a2＋b2)≥2eq\r(2ab)＝2eq\r(16)＝8，当且仅当a＝b＝2eq\r(2)时取等号，∴C的焦距的最小值为8.13．已知双曲线C：x2－y2＝2，过右焦点的直线交双曲线于A，B两点，若线段AB中点的横坐标为4，则弦AB的长为()A．3eq\r(2)B．4eq\r(2)C．6D．6eq\r(2)★[答案]D★[解析]双曲线C：eq\f(x2,2)－eq\f(y2,2)＝1，则c2＝4，∴右焦点为F(2,0)，根据题意易得过F的直线斜率存在，设方程为y＝k(x－2)，A(xA，yA)，B(xB，yB)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k?x－2?，,x2－y2＝2，))化简得(1－k2)x2＋4k2x－4k2－2＝0，∴xA＋xB＝eq\f(－4k2,1－k2)，xAxB＝eq\f(－4k2－2,1－k2).∵线段AB中点的横坐标为4，∴xA＋xB＝eq\f(－4k2,1－k2)＝8，解得k2＝2，∴xAxB＝eq\f(－4k2－2,1－k2)＝10，则(xA－xB)2＝(xA＋xB)2－4xAxB＝82－4×10＝24，则|AB|＝eq\r(?1＋k2??xA－xB?2)＝eq\r(3×24)＝6eq\r(2).14．已知抛物线y2＝4x，过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值是________．★[答案]32★[解析]设AB的方程为x＝my＋4，代入y2＝4x得y2－4my－16＝0，Δ>0，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－16，所以yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＝(y1＋y2)2－2y1y2＝16m2＋32，当m＝0时，yeq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)的最小值为32.15．已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－2)2＋y2＝6相交于A，B两点，且|AB|＝4，则此双曲线的离心率为()A．2B.eq\f(5\r(3),3)C.eq\f(3\r(5),5)D.eq\r(2)★[答案]D★[解析]设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为bx－ay＝0，∵|AB|＝4，r＝eq\r(6)，∴圆心(2,0)到渐近线的距离为eq\r(2)，即eq\f(2b,\r(b2＋a2))＝eq\r(2)，解得b＝a，∴c＝eq\r(a2＋b2)＝eq\r(2)a，∴此双曲线的离心率为e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2).16．已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点分别为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(5，eq\r(23))在双曲线C上．(1)求双曲线C的方程；(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点A，B，若△OA