华师大版七年级数学上册第4章 图形的初步认识 专训

专训一：常见立体图形的分类立体图形就是各部分不都在同一平面内的几何图形见的立体图形有柱体(圆柱、棱柱)、锥(圆锥、棱)、台(圆台、棱台)(以后将学)和球体(球四类．按柱、锥、球分类1如图所示，都为柱体的是)ABCD2在如图所示的图形中，是圆柱的________，是棱柱的________．(填序号)(第2题)3(1)把图中的立体图形按特征分类，并说明分类标准；(2)图中③与⑥各有什么特征？有哪些相同点和不同点？

(第3题)按有无曲面分类4下列几何体中表面都是平面的是)A．圆锥B．圆柱C．棱柱D．球体5把一个三角尺绕任意一条边所在直线旋转一周得到一个几何体，则这个几何体________曲面．(填“有”或“无”)6如图所示按组成的面来分类至少有一个面是平面的图形有，至少有一个面是曲面的图形有__________．(第6题)7将下列图按有无曲面分类．(第7题)

专训二：立体图形的展开与折叠一个立体图形的平面展开图的形状由展开的方式决定同的展开方式得到的平面展开图是不一样的但无论怎样展开平面展开图都应体现出原立体图形面的个数与形状．正方体的展开图1．考·德州)图给定的是纸盒的外表面，下面能由它折叠而成的是()(第1题)2如图所示的图形都是由6个大小一样的正方形拼成的，哪些是正方体的平面展开图？(第2题)长方体的展开图3如图是一个长方体的展开图，每个面上都标注了字母，请根据要求回答

问题．(1)如果面A是长方体的上面，那么哪一面会在下面？(2)如果面F是长方体的后面，从左面看是面，那么哪一面会在上面？(3)从右面看是面A，从上面看是面E，那么哪一面会在前面？(第3题)其他立体图形的展开图4如图是一些几何体的平面展开图，请写出这些几何体的名称．(第4题)立体图形展开图的相关计算问题5(中考·青岛)如图所示，下列几何体是由棱长为1小立方体按一定规律在地面上摆成的若将露出的表面都涂上颜色底面不涂色)则第n个几何体中，只有两个面涂色的小立方体共有________．

(第5题)6如图所示形状的铁皮能围成一个长方体铁桶吗？如果能，它的体积有多大？(第6题)专训三：巧用线段中点的有关计算利用线段的中点可以得到线段相等或有倍数关系的等式来辅助计算相等的线段去判断中点时，点必须在线段上才能成立．线段中点问题类型1

与线段中点有关的计算1已知A，B，C三点在同一条直线上，若线段AB＝20cm，线段BC＝8cm，M，N分别是线段AB，BC的中点．(1)求线段MN的长；

(2)根据(1)中的计算过程和结果，设＝a，BC＝b，且a＞b，其他条件都不变，你能猜出MN的长度吗？(直接写出结果类型2

与线段中点有关的说明题2画线段MN＝3cm，在线段MN上取一点Q，使MQ＝NQ；延长线段MN到点11A，使AN＝MN；延长线段NM到点B，使BMBN.23(1)求线段BM的长；(2)求线段AN的长；(3)试说明点Q是哪些线段的中点．

类型1

线段分点问题与线段分点有关的计算设参法)3如图B，C点把线段AD分成2∶4∶3三部分，M是AD的中点，CD＝cm，求线段MC的长．(第3题)类型2

线段分点与方程的结合4A，B两点在数轴上的位置如图，O为原点，现AB两点分别以1个单位长度/秒，4个单位长度/秒的速度同时向左运动．(1)几秒后，原点恰好在两点正中间？(2)几秒后，恰好有∶OB＝1∶2?(第4题)

专训四：线段上的动点问题解决线段上的动点问题一般需注意：找准点的各种可能的位置；(2)通常可用设元法，表示出移动变化后的线段的长有可能是常数，那就是定值)，再由题意列方程求解．线段上动点与中点问题的综合1．(1)如图①，D是线段AB任意一点，M，N分别是AD，DB中点，若AB＝16，求MN的长；(2)如图②AB＝16点D是线段AB上一动点MN分别是ADDB中点，能否求出线段MN的长？若能，求出其长，若不能，试说明理由；(3)如图③，AB＝16，点D运动到线段AB的延长线上，其他条件不变，能否求出线段MN的长？若能，求出其长，若不能，试说明理由．(4)你能用一句简洁的话，描述你发现的结论吗？(第1题)

线段上动点问题中的存在性问题2．如图，已知数轴上两点A，对应的数分别为－、，O为原点，点P为数轴上的一动点，其对应的数为x.(第2题)(1)PA＝________；PB＝________(用含x的式子表示)；(2)在数轴上是否存在点，使PA＋＝10？若存在，请求出x值；若不存在，请说明理由．(3)点P以1个单位长度/s的速度从点O向右运动同时点A以个单位长度/s的速度向左运动B以20个单位长度s的速度向右运动运动过程中，M，N分别是AP，OB的中点，问：

AB－OPMN

的值是否发生变化？请说明理由．

线段和差倍分关系中的动点问题3如图，线段＝24，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线AB运动，M为AP的中点．(1)出发多少秒后，＝2AM?(2)当P在线段上运动时，试说明2BM－BP为定值．(3)当P在线段的延长线上运动时N为BP的点下列两个结论①MN长度不变；②MA＋PN的值不变．选出正确的结论，并求出其值．(第3题)专训五：巧用角平分线的有关计算角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据此解这类题要从角平分线找角的数量关系利用图形中相等的角的位置关系结合角的和差关系求解．角平分线间的夹角问题(分类讨论思想1知∠AOB＝100°∠BOC＝60°平分∠AOBON平分∠BOC∠MON的度数．

巧用角平分线解决折叠问题折叠法)2如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC折痕，然后把过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BD间的夹角是多少度？(第2题)巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题(方程思想)3．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．(第3题)

巧用角平分线解决角的推理问题(转化思想)4如图，已知OD，OEOF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF有怎样的关系？说明理由．(第4题)角平分线与线段中点的结合5图(1)已∠AOB＝90°∠BOC＝30°平分∠AOCON平分∠BOC，求∠MON的度数．(2)如果(1)中∠AOB＝，其他条件不变，求∠MON的度数．(3)如果(1)中∠BOC＝(β＜90°)，其他条件不变，求∠MON度数．(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律？(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)设计一道以线段为背景的计算题给出解答并写出其中的规律．(第5题)

专训六：巧解时针与分针的夹角问题时钟时针分针转动角度的问题要注意时针转动一大格转过角度为周角的十二分之一，30°.每一个大格之间又分为5个小格，每个小格的角度是6°.注意时针与分针转动角度的速度比1∶12转动30°针转动360°.分针与秒针转动角度的速度之比是1∶60，分针转动一个小格)秒针转动360°.利用时间求角度类型1

按固定时间求角度1(1)从上午11时到下午1时30分这期间时针转过了_______下午1：30，时针、分针的夹角是________．(2)3点20分时，时针与分针的夹角是多少度？类型2

按动态时间求角度2小华是个数学迷，最近他在研究钟面角时针与分针组成的角)题，他想和大家一起来讨论相关问题．(1)分针每分钟转6度，时针每分钟转________度；(2)你能指出下面各个图中时针与分针之间夹角的大小吗？图①的钟面角为________度，图②的钟面角为________度．

(第2题)(3)12：00时，时针和分针重合，至少经过多长时间会再次出现时针和分针重合的现象？此时，时针和分针各转动了多少度？利用角度求时间(方程思想3．如图，观察时钟，解答下列问题．(1)在2时和3时之间什么时刻，时针和分针的夹角为直角？(第3题)明下午五点多有事外出时，看到墙上钟面的时针和分针的夹角为90°，下午不到六点回家时，发现时针与分针的夹角又为90°，那么小明外出

了多长时间？专训一：线段或角的计数问题1.几何计数问题应用广泛解决方法是“有序数数法”数数时要做到不重复、不遗漏．2．解决这类问题要用到分类讨论思想及从特殊到一般的思想．3．回顾前面线段、直线的计数公式，比较这些计数公式的区别与联系．线段条数的计数问题1．先阅读文字，再解答问题．(第1题)如图在一条直线上取两点可以得到1条线段在一条直线上取三点可得到线段，其中以为端点的向右的线段有条，以A为端点的向右的线段12有1条，所以共有2＋1＝3(条)．(1)在一条直线上取四个点，A端点的向右的线段有______条，A12端

点

的

向

右

的

线

段

有

_________________________________________________________________，以A为端点的向右的线段有______条，共______＝3______(条)．(2)在一条直线上取五个点，A端点的向右的线段有_____条，以A为12端点的向右的线段有_______，以A为端点的向右的线段有________条，以3A为端点的向右的线段有______条，共______＋______＋＋______＝4____(条)．(3)在一条直线上取n个点(n≥2)，共有________条线段．(4)某学校七年级共有6个班进行辩论赛定进行单循环赛(每两个班赛一场)，那么该校七年级的辩论赛共要进行多少场？(5)乘火车从A站出发沿途经过5个车站方可到达B站那么AB两站之间最多有多少种不同的票价？需要安排多少种不同的车票？平面内直线相交所得交点与平面的计数问题2．为了探究同一平面内的几条直线相交最多能产生多少个交点，能把平面最多分成几部分，我们从最简单的情形入手，如图所示．列表如下：直线条数123…

最多交点个数013…

(第2题)平面最多分成部分数247…

(1)当直线条数为5时，最多有________交点，可写成和的形式为__________；把平面最多分成________部分，可写成和的形式为__________；(2)当直线条数为时最多有________个交点把平面最多分成________部分；(3)当直线条数为n时，最多有多少个交点？把平面最多分成多少部分？关于角的个数的计数问题3有公共端点的两条射线组成的图形叫做角这个公共端点叫做角的顶点，如图，如果过∠BAC的顶点A：(1)在角的内部作一条射线，那么图中一共有几个角？(2)在角的内部作两条射线，那么图中一共有几个角？(3)在角的内部作三条射线，那么图中一共有几个角？(4)在角的内部作n条射线，那么图中一共有几个角？(第3题)

专训二：分类思想在线段和角的计算中的应用解答有关点和线的位置关系段条数或长度个数或大小等问题时，由于题目中没有给出具体的图形而根据题意又可能出现多种情况就应不重不漏地分情况加以讨论，这种思想称为分类讨论思想．需要进行分类讨论的题目，综合性一般较强．分类思想在线段的计算中的应用1线段AB＝12线段AB上CAC∶CD∶DB＝1∶2∶3，11AM＝AC，DN＝DB，求线段MN的长．242如图，点O为原点，点A对应的数为1，点B对应的数为－3.(1)若点P在数轴上，且＋PB＝6，求P对应的数；(2)若点M在数轴上，且∶MB＝1∶3，求M对应的数；(3)若点A的速度为个单位长度/秒，点B的度为2单位长度秒，点O的速度为1个单位长度/秒，A，B，O同时向右运动，几秒后，点恰为线段AB的中点？(第2题)

分类思想在角的计算中的应用3如图，已知∠AOC＝2∠BOC，∠AOC余角比∠BOC小30°.(1)求∠AOB的度数；(2)过点O作射线，使得∠AOC＝4∠AOD，请你求出∠COD的度数．(第3题)4已知OM和ON分别平分∠AOC和∠BOC.(1)如图，若OC在∠AOB的内部时，探究∠MON与∠AOB的数量关系；(2)若OC在∠AOB的外部，OC不与OA，OB重合时，请你画出图形，并探

究∠MON与∠AOB的数量关系．(提示：分三种情况讨论(第4题)专训三：几种常见的热门考点本章知识从大的方面可分为两部分，第一部分是立体几何的初步认识，第二部分是平面图形的认识这些都是几何学习的基础本章主要考查立体图形的识别、立体图形的三视图，图形的展开与折叠，直线、射线、线段及角的有关计算．立体图形的平面展开图，三视图等是中考中常见考点，通常以选择、填空形式呈现．立体图形的识别1在①球体；②柱体；③圆锥；④棱柱；⑤棱锥中，必是多面指由四个或四个以上多边形所围成的立体图形)的是()A．①②③④⑤B．②和③C．④D．④和⑤2如图所示的立体图形中，是柱体的是________．填序号)(第2题)

立体图形的三视图3泰安)下列四个几何体(图)：(第3题)其中左视图与俯视图相同的几何体共有()个．A．1B．2C．3D．44一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是)A．四棱锥B．四棱柱C．三棱锥D．三棱柱(第4题)(第5题)5由一些完全相同的小正方体搭成的几何体的主视图和左视图如图所示，则组成这个几何体的小正方体的个数可能是_________．图形的展开与折叠6小亮为今年参加中考的好友小杰制作了一个正方体礼品(图)六个面上各有一个字，连起来就是“预祝中考成功”，其中“预”的对面是“中”，“成”的对面是“功”，则它的表面展开图可能是)

(第6题)7如图是一个长方体形状包装盒的表面展开图．折叠制作完成后得到长方体的容积是(包装材料厚度不计)()(第7题)A．40×40×70B．70×70×80C．80×80×80D．40×70×80直线、射线、线段8下列关于作图的语句中正确的是)A．画直线AB＝厘米B．画射线OB＝厘米C．已知A，B，C三点，过这三点画一条直线D．过直线AB外一点画一条直线和直线相交9如图，已知线AB，BA的延长线上取一点C，使＝3AB，则线CA与线段CB的长度之比为()(第9题)A．3∶4B．2∶3C．3∶5D．1∶210开学整理教室时老师总是先把每一列最前和最后的课桌摆好然后再依次摆中间的课桌，一会儿一列课桌摆在一条线上，整整齐齐，这是因为

________________________．11．乘火车从A出发，沿途经过3车站方可到达站，那么A，两站之间需要安排________种不同的车票．1112．如图，已知B和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线AB，CD的中点E，34F之间的距离是10cm，求AB，CD的长．(第12题)角及角的有关计算13．有下列说法：①两条射线所组成的图形叫做角；②一条射线旋转而成的图形叫做角；③两边成一条直线的角是平角；④平角是一条直线．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．414．点10分，时针与分针所夹的小于平角的角为)A．55°B．65°C．70°D．以上结论都不对15图所示块三角板的直角顶点O合在一起且OB恰好平分∠COD，则∠AOD的度数是________度．(第15题)

116．若一个角的余角比它的补角的少，则这个角的度数为_______．217．如图O是直线AB上点，OC，OD是从O点引出的两条射线，OE平分∠AOC，∠BOC∶∠AOE∶∠AOD＝2∶5∶8，求∠BOD度数．(第17题)数学思想方法的应用a．数形结合思想18．往返于A，两个城市的客车，中途有三个停靠站，分别为C，，E.(1)最多共有多少种不同的票价？(2)要准备多少种车票？b．方程思想19．互为补角的两个角的度数之比是∶4，求这两个角的度数．

c．分类讨论思想20．已知同一平面内四点，过其中任意两点画直线，仅能4条，则这四个点的位置关系是()A．任意三点不在同一条直线上B．四点在同一条直线上C．最多三点在同一条直线上D．三点在同一条直线上，第四点在这条直线外21．已知一条射线OA，若从点O引两条射线和OC，使∠AOB＝80°，∠BOC＝40°，若OD平分∠AOC，则∠BOD等于．d．转化思想22如图所示一观测塔的底座部分是四棱柱现要从下底面A点修建钢筋扶梯，经过点M，N到点′(M在BB′上NCC′上)，再进入顶部的观测室，已知AB＝BC＝CD，试确定使扶梯的总长度最小的点，N的位置．(第22题)

答案专训一1C2④①③⑥3解(1)按柱体、锥体、球体分：①③⑤⑥⑦为柱体；④⑧为锥体；②为球体．(分类标准不唯一)(2)③是圆柱，圆柱的上、下底面都是圆，侧面是一个曲面；⑥是五棱柱，上、下底面是形状、大小相同的五边形，侧面是5长方形，侧面的个数与底面边数相等．相同点：两者都有两个底面，且两个底面的形状，大小相同．不同点圆柱的底面是圆五棱柱的底面是五边形柱的侧面是一个曲面，五棱柱的侧面由5个长方形组成．4C5.有6①③④⑤⑥②③④⑥7解：有曲面的是③④⑤；无曲面的是①②⑥⑦.专训二1B2解：题图①②③④⑥都是正方体的平面展开图．3解：(1)如果面A是长方体的上面，那么面C会在下面．(2)如果面F是长方体的后面，从左面看是面B，那么向外折时面C会在上面，向里折时面A会在上面．(3)从右面看是面A，从上面看是E，那么向外折时从前面看是面B，向里折时从前面看是面D.4解：①三棱锥；②四棱锥；③五棱锥；④三棱柱；⑤圆柱；⑥圆锥．点拨锥和棱柱的共同点是棱锥都是以底面多边形的边数来命名的，如三棱锥是指底面为三角形的棱锥而五棱柱是指底面为五边形的棱柱它们的不同点是棱柱的侧棱互相平行，而棱锥的侧棱交于一点．5(8n－4)

点拨：从下往上数两个面涂色的小立方体个数，图①中：第一

层4个第二层0个图②中第一层4个第二层4个第三层4图③中，第一层4个，第二4个，第三4个，第四8个，故n个几何体中涂两个面的小立方体有[4n＋4(n－1)]个，即(8n－个．6解：能围成，体积为40×70×65＝182000(cm

3

)．答：体积为182000cm

3

.

阶段强化专题训练专训三1解：(1)分两种情况：①当点C线段AB上时，如图①，因为为AB1111的中点所以MB＝AB＝×20＝10(cm)因为N为BC的中点所以＝BC＝2222×8＝4(cm)，所以MN＝MB－BN＝10－4＝6(cm)(第1题)②当点C在线段AB延长线上时，如图②，因为M为AB的中点，所以MB1111＝AB＝×20＝10(cm)．因N为BC的中点，所以＝BC＝×8＝，所2222以MN＝MB＋BN＝10＋4＝14(cm)．11(2)MN＝(a＋b)或MN＝(a－b)．222解：如图．(第2题)11(1)因为BM＝BN，所以BM＝MN.321因为MN＝3cm，所以BM＝×3＝1.5(cm)．2

1(2)因为AN＝MN，MN＝3cm.所以AN＝1.5cm.2(3)MN＝3cm，＝NQ，所以MQ＝NQ＝1.5cm.所以BQ＝BM＋＝1.5＋1.5＝3(cm)，AQ＝AN＋NQ＝3cm.所以BQ＝QA.所以Q是线段的中点，也是线段AB的中点．3AB＝2kcmBC＝4kcm＝cm＝2k＋4k＋3k＝为CD＝6cm，即3k＝6，所以k＝2，则AD＝cm.又因为M是AD的中点，所以11MD＝AD＝×18＝9(cm)．所以MC＝MD－CD9－6＝3(cm)．224解：(1)设运动时间为x秒，依题意得＋3＝12－4x，解得x＝1.8.答：1.8秒后，原点恰好在两点正中间．(2)设运动时间为t秒．①B与A相遇前：－4t＝2(t＋3)，即t＝1；②B与A相遇后：－12＝2(t＋3)，即t＝9.答：1秒或9秒后，恰好有∶OB＝1∶2.专训四11111解：(1)MN＝DM＋DN＝AD＋BD＝(AD＋BD)＝AB＝8.22221111(2)能．MN＝DM＋DN＝AD＋BD＝(AD＋BD)＝AB＝8.22221111(3)能．MN＝MD－DN＝AD－BD＝(AD－BD)＝AB＝8.2222(4)MN的长始终等于长的一半．2解：(1)|x＋2||x－6|(2)分三种情况：①当点P在A，B之间时，PA＋PB＝8，故舍去；②当点P在B点右边时，＝x＋2，PB＝x－6，因为(x＋2)＋(x6)＝10，所以x＝7；

③当点P在A点左边时，＝－x－2，PB＝6－x，因为(－x－2)＋(6－x)＝10，所以x＝－3.所以当x＝－3或7时，PA＋PB＝10，(3)

AB－OPMN

的值不发生变化，理由如下：设运动时间为ts.则OP＝t，OA＝5t＋，＝20t＋6，ABOA＋＝25t＋8，AB－OP＝24t＋18，AP＝OA＋OP＝6t2，AM＝＝3t＋，OM＝OAAM＝5t＋－(3t＋1)＝21AB－OP24t＋8＋1，ON＝OB＝10t＋3，所以MN＝OM＋ON＝＋4，所以＝＝2，2MN12t＋4AB－OP即的值不发生变化．MN3解：(1)设出发x秒后，PB＝，则PA＝，PB＝24－2x，AM＝x，所以24－2x＝2x，即x＝6.(2)设运动时间为t秒，则BM＝24－，PB＝24－2t，所以2BMBP＝2(24－t)－(24－2t)＝24，即2BM－BP为定值．1(3)因为PA＝2t，AM＝PM＝t，PB＝2t－24，PN＝PB＝t－12，2所以①MN＝PM－＝t－(t－12)＝12.所以MN长度不变，为定值；②MA＋PN＝t＋t－12＝2t－12，所以MA＋PN的值是变化的．综上所述，正确的结论是①，且＝12.专训五1解：分两种情况：(1)如图①，当OC在∠AOB的内部时，因为OM平分∠AOB，平分∠BOC，1111所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°，2222

所以∠MON＝∠BOM－∠BON＝50°－30°＝20°.(第1题)(2)如图②，当落在∠AOB的外部时，因为OM平分∠AOB，平分∠BOC，1111所以∠BOM＝∠AOB＝×100°＝50°，∠BON＝∠BOC＝×60°＝30°.2222所以∠MON＝∠BOM＋∠BON＝50°＋30°＝80°.综上可知，∠MON的度数为20°或80°.点拨：本题已知中没有图，作图时应考虑OC落在∠AOB的内部和外部两种情况，体现了分类讨论思想的运用．2解：因为∠CBA与∠CBA′折叠重合，所以∠CBA＝∠CBA′.因为∠EBD与∠A′BD折叠重合，所以∠EBD＝∠A′BD.又因为这四个角的和是，1所以∠CBD＝∠CBA′＋∠A′BD＝×180°＝90°.2即两折痕BC与间的夹角为90°.点拨：本题可运用折叠法动手折叠，便于寻找角与角之间的关系．3解：设∠AOC＝x，则∠COB＝113因为OD平分∠AOB，所以∠AOD＝∠AOB＝(∠AOC＋∠BOC)＝x.2223又因为∠DOC＝∠AOD－∠AOC，所以9°＝x－x，2解得x＝38°.所以∠＝3x＝3×38°＝114°.点拨据图形巧设未知数用角与角之间的数量关系构建关于未知数的方程求出角的度数体现了方程思想的运用．

4解：∠DOE＝∠COF.理由如下：1因为OD平分∠AOB，所以∠DOB＝∠AOB.2111因为OF平分∠BOC，所以∠BOF＝∠BOC，所以∠DOB＋∠BOF＝∠AOB＋222111∠BOC＝∠AOC，即∠DOF＝∠AOC.又因为OE平分∠AOC，所以∠EOC＝∠AOC，222所以∠DOF＝∠EOC.又因为∠DOF＝∠DOE＋∠EOF，∠EOC＝∠EOF＋∠COF，所以∠DOE＝∠COF.点拨欲找出∠DOE与∠COF的关系只要找到∠DOF与∠COE的关系即可而OD，OF分别是∠AOB，∠BOC的平分线，那么由此可得到∠DOF与∠AOC的关系，而且又有∠AOC＝2∠COE，即可转化成∠DOF∠COE的关系，进而可得到∠DOE与∠COF的关系，体现了转化思想的运用．5解：(1)因为OM平分∠AOC，ON平分∠，11所以∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC，221111所以∠MON＝∠MOC－∠NOC＝∠AOC－∠BOC＝(∠AOB＋∠BOC)－∠BOC22221＝∠AOB＝45°.21α(2)∠MON＝∠AOB＝.221(3)∠MON＝∠AOB＝45°.2(4)从(1)(2)(3)的结果中可看出：∠MON的大小总等于∠AOB大小的一半，而与∠BOC的大小变化无关．(5)可设计的问题为：如图，线段AB＝a，延长AB到C使BC＝b，点M，分别是线段AC，BC的中点，求线段MN的长．(第5题)

11111111121111111112解：因为点M，N分别是线段AC，BC的中点，11所以MC＝AC，＝BC.22111所以MN＝MC－＝(AC－BC)＝AB＝a.222规律：线段MN的长度总等线段AB长度的一半，而与线段BC的长度变化无关．专训六1解：(1)75°135°(2)时针每小时转，分针每分钟转时针从指向开始转过的角度1为3×30°＝100°分针从指向12开始转过的角度为20×6°＝120°，120°3－100°＝20°，即3点20分时，时针与分针的夹角是2解：(1)0.5(2)3022.5(3)设至少x分钟后分针与时针再次重合则－0.5x＝360解得x＝

72011

，即至少经过

72011

分钟会再次出现时针与分针重合的现象．72011

720×0.5°＝×6°＝11

4320320答：时针转了针转了3解(1)设从2时经过x分，分针与时针的夹角为直角，依题意，有1300－x＝90°，解得＝.11答：在2时

30011

分时，时针和分针的夹角为直角．

22(2)设小明外出了y分钟，则时针走了0.5y度，分针走了6y度．根据题意，列方程为＝90＋0.5y＋90，解得y＝

36011

.答：小明外出了

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分钟．点拨：在钟表问题中，常利用时针与分针的转动度数关系：分针每分转动6°，时针每分转动0.5°，并且结合起点时时针和分针的位置关系建立角的数量关系．全章整合提升密码专训一1解：(1)3213216(2)4321432110(3)

n（n－1）2(4)七年级有6班，类似于一条直线上有6个点，每两个班赛一场，类似于两点之间有一条线段，那么七年级的辩论赛共要进行

6×（6－1）2

＝15(场)．(5)从A站出发沿途经过5个车站到达B站类似于一条直线上有7个点，7×（7－1）此时共有线段＝21(条)A两站之间最多21种不同的票价2为来往两站的车票起点与终点不同以A两站之间需要安排21×2＝种)不同的车票．2解：(1)101＋2＋＋4161＋1＋2＋3＋4＋5(2)4556(3)当直线条数为n时，最多有1＋2＋3＋…＋(n－1)＝

n（n－1）2

(个)交点；＋1）把平面最多分成1＋1＋2＋3＋…＋n＝＋13解：(1)如题图①，已知∠BAC，如果在其内部作一条射线，显然这条射

线就会和∠BAC的两条边都组成一个角，这样一共就有＋2＝3(个)角．(2)题图①中有1＋2＝3(个)角如果再在题图①的角的内部增加一条射线，即为题图②显然这条射线就会和图中的其他三条射线再组成三个角即题图②中共有1＋2＋3＝6(个)角．(3)如题图③，在角的内部作三条射线，即在题图②中再增加一条射线，同样这条射线就会和图中的其他四条射线再组成四个角即题图③中共有1＋＋3＋4＝10(个)角．(4)综上所述，如果在一个角的内部作n条射线，则图中共有12＋3＋…＋n＋(n＋1)＝

（n＋1）（n＋2）2

(个)角．专训二1．解：因为AB＝12，AC∶CD∶DB＝1∶2∶3，111111所以AC＝AB＝12×＝2，CD＝AB＝12×＝4，DB＝AB＝12×＝6.66332211因为AM＝AC，＝DB，2411113所以MC＝AC＝2×＝1，DN＝DB＝6×＝.22442①当点N在点D右侧时，如图①，313MN＝MC＋CD＋DN＝1＋4＋＝；22(第1题)②当点N在点D左侧时，如图②，37MN＝MC＋CD－DN＝1＋4－＝.22综上所述，线段的长为

137或.22

点拨：首先要根据题意，画出图形．由于点的位置不确定，故要考虑分类讨论．2解：(1)①当点P在A，之间时，不合题意，舍去；②当点P在A点右边时，点对应的数为2；③当点P在B点左边时，点对应的数为－4.(2)①当M在线段上时，M对应的数为0；②当M在线段的延长线上时，M对应的数为3；③当M在线段的延长线上时，不合题意，舍去．(3)设运动x秒时B动到点′A运动到点A′运动到O′，此时O′A′＝O′B′，点A′，B′在O′两侧，BB′＝2x，OO′＝x，AA′＝5x，所以点B′对应的数为2x－3，点′对应的数为x，点A′对应的数为＋1，因为O′A′＝＋1－x＝4x＋1，O′B′x－(2x－3)＝3－x，所以＋1＝3－x，解得x＝0.4.即0.4秒后，点O恰为线段AB的中点．3解：(1)设∠BOC＝x，则∠＝2x，由题意得90°－＋30°＝x，解得x＝40°.因为∠AOC＝2∠BOC，所以∠AOB＝∠BOC＝40°.(2)情况一：当在∠AOC内部时，如图①，由(1)得∠AOC＝80°.因为∠AOC＝4∠AOD，所以∠AOD＝20°，所以∠COD＝∠AOC－∠AOD＝80°－20°＝60°.(第3题)情况二：当O