拂晓-线性规划微专题

拂晓 高中初中学习群237098752 凉回线性规划问题1.二元一次不等式表示的区域1.1不等式表示的区域1.2不等式表示的区域1.3动点所在的区域2.最值问题的求解策略2.1截距法判定平移方向2.2曲线型目标函数的最值问题2.3旋转法处理最优解唯一的问题2.4平移法处理最优解无数多的问题3.目标函数的几何意义3.1求的最值3.2方程的几何意义3.3求的最值3.4求的最值4.数列、向量中的线性规划4.1线性规划视角下的平面向量问题4.2线性规划视角下的数列问题1.二元一次不等式表示的区域1.1不等式表示的区域【典例1】若平面区域夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是（）A. B. C. D.【解析】画出不等式组表示的平面区域如图所示.由得,由得，由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A和点B时，两直线的距离最小，即，故选B.【感悟】判断二元一次不等式所表示的区域，较为安全的方法是将区域边界所在直线方程用斜截式形式表示，即满足的点在直线上方，满足的点在直线下方，满足的点在直线上.【挑战1】1.点在直线上方，则实数的范围是________．2.点在直线上方，则实数的范围是________．3.已知，两点分别在直线的两侧，则实数的取值范围为．4.已知圆C的方程为，若，两点一个在圆C的内部，一个在圆C的外部，则实数的取值范围是________．5.已知，，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围为．【典例2】在平面上，过点作直线的垂线所得垂足称为点在直线上的投影．由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则________．A．B．4C．D．【解析】如图及其内部为可行域，可行域内的点在直线上的投影构成了线段，即，而，由得，由得，所以．故选C．【感悟】解决此类问题，首先是画出不等式组表示的平面区域，其次作区域图形在已知直线上的投影时，只需要作可行域的顶点在已知直线上的垂线并找到垂足，最后把距离最远的垂足连接即得投影构成的线段.【挑战2】1.在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在轴上的投影构成的线段记为，则________．2.在平面上，过点P作直线l的垂线所得垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则．3.在平面上，过点P作直线l的垂线所得垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线上的投影构成的线段记为，则________．1.2不等式表示的区域【典例】若变量满足约束条件作图表示该可行域.【解析】可化为作出可行域，如图中平行四边形ABCD的内部及其边界.【感悟】满足的点的区域是两条平行线及内部(带状区域)，满足的点的区域也是两条平行线及内部，且边界分别为，，因此满足的区域一般是平行四边形.【挑战】1.不等式组所围成的平面区域的面积是________．2.若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y–x的最小值是__________．【答案】32.【解析】由得，可行域如图所示.令转化为在点（1，2）处取得最小值，即最小值为3.1.3动点所在的区域【典例*】在平面直角坐标系中，已知平面区域且，求平面区域的面积.【解析】设，则，，由得作出该不等式组表示的平面区域如图.所以面积．【感悟】求点区域，就要通过换元转化为求点满足的约束条件.【挑战】1.在平面直角坐标系中，平面区域，求平面区域的面积.2.已知点满足，则点所在的平面区域的面积等于_______.2.最值问题的求解策略2.1截距法判定平移方向【典例1】已知满足约束条件，求的最大值.【解析】作出可行域如图中的阴影部分.因为直线的斜率为.目标函数中的随直线向上平移而增大，过点时取得最大值，最大值为．【感悟】将函数转化为直线的斜截式，当截距取得最大值时，间接求出取得最大值；当截距取得最小值时，间接求出取得最小值.【挑战1】1.设满足，则最大值为________．2.设满足，则的最大值为________．【典例2】若变量满足约束条件则的最小值等于________．【解析】指数函数在上单调递增，所以最小等价于最小，因此目标函数变形为，画出可行域.故将直线移到到过点时，当直线的纵截距最大，取最小值，最小值为．所以的最小值等于.【感悟】将函数转化为直线的斜截式，当截距取得最大值时，间接求出取的最小值；当截距取得最小值时，间接求出取的最大值.【挑战2】1.已知变量满足约束条件，则的最大值为________．2.已知变量满足约束条件，则的最大值为________．3.已知变量满足约束条件，则的最小值为________．【典例3】若变量满足约束条件则的最小值等于________．【解析】画出可行域，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最小，故将直线移到过点时，取到最小值，最小值为．【感悟】将函数转化为直线的斜截式，当截距取得最大值时，间接求出取的最大值；当截距取得最小值时，间接求出取的最小值.【挑战3】1.若变量满足约束条件，则的最大值等于．2.若变量满足约束条件，则的最大值等于．3.若变量满足约束条件，则的最小值等于．【典例4】若变量满足约束条件，则的最小值等于．【解析】画出可行域，目标函数变形为，当最小时，直线的纵截距最大，故将直线移到过点时，取到最小值，最小值为．【感悟】将函数转化为直线的斜截式，当截距取得最大值时，间接求出取的最小值；当截距取得最小值时，间接求出取的最大值.【挑战4】1.已知实数满足条件，且的最大值点有无穷多个，则为_______．2.设满足约束条件，则的最小值为________．2.2曲线型目标函数的最值问题【典例】设实数，满足，则的最大值为（）A.B.C.12D.14【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，，，.结合图形可知，当动点在线段或上时，取得最大值.当动点在线段上时，此时，又，当时，取得最大值.当动点在线段上时，，，又，当时，取得最大值12.因为，故的最大值为，所以选A.【感悟】曲线型的目标函数的最值问题可利用①平移法：当所求的最值是圆锥曲线上点到某直线的距离最值时，可以通过作与这条直线平行的圆锥曲线的切线，则两平行线间的距离就是所求的最值，切点就是曲线上取的最值的点.②代数法：借助函数求最值得方法。运用代数法，首先要建立“目标函数”的特点，灵活运用求最值得方法.③配方法：若给定的“目标函数”是二次函数，可先对目标函数进行配方，结合所给定的区间求解最值.【挑战】1*.设二元一次不等式组所表示的平面区域为，使函数且的图象过区域的的取值范围是（）A． B．C． D．2.已知不等式组表示的平面区域为D，若函数的图象上存在区域D上的点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．3.已知，则的最大值是__．4*.设不等式组表示的平面区域为D，若函数且的图象上存在区域上的点，则实数的取值范围是________．2.3旋转法处理最优解唯一的问题【典例1】已知满足，且目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是________．【解析】作出可行域为及其内部．目标函数仅在点处取得最小值，当时显然满足条件．将直线绕着点逆时针转到无限接近直线但不重合是满足题意的；顺时针转到无限接近直线但不重合是满足题意的.又直线的斜率为，结合图形知，解得，故实数的取值范围是．【感悟】（1）不论的正负，其截距都是，在这种条件下，从过该点的直线进行旋转尝试，不难发现,目标函数都取最小值．（2）区域内的点均在直线上方，这是截距能取到最小值的有利条件，也是依此为基准旋转和尝试的基础.简单地说，可行域内的点都应该在目标函数线的上方，截距才能最小.【挑战1】1.已知满足，且目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是________．2.已知满足，且目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是________．3.已知满足，且目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是________．4.已知满足，且目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是________．【典例2】已知满足，且目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是_________．【解析】作出可行域为及其内部，如图．目标函数仅在点处取得最大值，当时显然满足条件．将直线绕着点逆时针转到无限接近直线但不重合，截距最大；顺时针转到无限接近直线但不重合，截距最大.结合图形知，解得，故实数的取值范围是．【感悟】（1）不论是正是负，其截距都是，在这种条件下，从过点的直线进行旋转尝试，不难发现,此类目标函数都取最大值．提醒注意，此处直线绕着点顺时针旋转不能超过垂直方向，否则其截距变得最小而不是最大.（2）选取截距最大，那么区域内的所有的点都应该在目标函数线下，再尝试旋转才能得到最大截距.【挑战2】1.已知满足，且目标函数仅在点处取得最大值，则实数的取值范围是________．2.已知满足，且目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是________．3.已知满足，且目标函数仅在点处取得最小值，则实数的取值范围是________．2.4平移法处理最优解无数多的问题【典例】满足约束条件，若取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为________．【解析】作出可行域.目标函数线为，是的纵截距.令知，中的随着直线向上平移而截距的值越大.又取得最大值的最优解不唯一，直线与或与直线重合，故或．【感悟】最优解的个数有无数个，只能是目标函数线最终和线性区域的边界重合，其次平移的方向仍然需要依靠的几何意义来判断.【挑战】1.已知满足，且取得最小值的最优解有无数多个，则实数的取值是________．2.已知满足，且取得最大值的最优解有无数多个，则实数的取值范围是________．3.若满足约束条件且取得最小值的最优解不唯一，则实数的值为____．4.若满足约束条件且取得最大值的最优解不唯一，则实数的值为____．5.若满足约束条件且取得最小值的最优解不唯一，则实数的值为____．3.目标函数的几何意义3.1求的最值【典例】（1）已知满足，求的最小值．（2）已知实数满足则的取值范围是________．【解析】（1）表示可行域内的动点到定点的距离．假设垂足为，因为所以垂足应在线段的延长线上，点到点的距离应该最短，，点自点运动到点的过程中是增大的，故的最小值为．图（1）图（1）（2）表示点（0,2）到点的距离的平方，作图如图（2）（0,2）到的距离最小为点(0，2)到直线的距离1，（0,2）到的距离最大为点(0，2)到点（1,6）的距离，故取值范围是[1，17].【感悟】表示可行域内的动点到点的距离，D到可行域中的顶点处距离往往是最大或最小，如题（1）．但是，本题（1）为什么还要判断斜率呢？原因是最小距离不一定在可行域的顶点处取得，它有可能是定点到一条边界线的距离，如题（2），本题（1）仅从图形难以判断的最小值是还是DH.此时我们可以求出垂足H的坐标，判断垂足H是否在边界AC上；也可以比较DC和DH的斜率，再结合图形来判断，当然后者较为简单.【挑战】1.已知实数满足则的最小值是______．的最小值是______．2.已知实数满足，则的取值范围是.的取值范围是____．3.在平面直角坐标系中，为不等式组所表示的区域上一动点，则的最小值是__．4.已知为某一直角三角形的三边长，为斜边，若点在直线l:上，则的最小值为________．5*.已知实数满足则的最小值是________．6*.已知满足求的最大值和最小值.7*.已知实数满足则的最小值是________．3.2方程的几何意义 【典例*】点到两条直线的距离之和为3，求的最大值是．【解析】（法1）即和，点到两条互相垂直的直线之间距离之和为3，即，分类讨论取绝对值后发现点形成的区域是一个中心在原点，以为对称轴且对角线的一半长为3的正方形.的最大值就是正方形顶点到原点距离平方，即最大值是9．（法2）特殊化，落在直线上，所有的距离集中在一起，可得到该点P到原点距离为3，即最大值是9．（法3）由于两条直线互相垂直，这与两条互相垂直的坐标轴是一样，因此，点到两条直线的距离之和为3，等价于点到两坐标轴的距离之和为3，所以，的最大值就是正方形顶点到原点距离平方，即最大值是9．【感悟】可以看成区域内的点到坐标轴的距离之和，那么点到两条互相垂直的直线之间距离之和也有类似性质．【挑战】1.设变量，满足，则的最大值为_____．2.点到两条直线的距离之和为,则的最小值为．3.实数满足等式，则的最小值是________．4.实数满足等式，则的最大值是________．5.实数满足不等式，则的最大值为；最小值为.6.实数满足不等式，则的最大值是.3.3*求的最值【典例*】已知实数满足求的最大值．【解析】作出可行域如图中的阴影部分（含边界）．目标函数的几何意义为求可行域内的点到直线距离．观察图形知点到直线的距离最大，．【感悟】（1）对于形如形式，将问题转归为可行域内的点到直线距离的最值问题；（2）的最值问题除了转化为，还可以直接求的取值范围，再取绝对值求最值．【挑战】1*.若P是满足不等式组表示的平面区域内的任意一点，点P到直线3x＋4y－12＝0的距离为d，则实数d的取值范围是________．2*.已知实数满足则的最小值________．3.若点在圆的内部及圆上，则的最小值为________．4.若点在圆的内部及圆上，则的最小值为________．5*.已知整数满足不等式，则的最大值是________．6*.已知整数满足不等式，则的最小值是________．3.4*求的最值【典例1*】设满足则的最小值为________．【解析】作出可行域如图中的阴影部分，设，因为直线的斜率为，目标函数中的随直线向上平移而增大，过点时取得最大值，；过点时取得最小值，．所以的最小值为0.典例典例1图【感悟】形如目标函数的最值其实就是的取值范围的绝对值，若，其中，则最小值是；若，则最小值是0；若，，则最小值是.【挑战1】1*.已知使满足约束条件则的最大值是.2*.若变量满足约束条件，则的最小值等于________．3*.设满足约束条件，则的最大值为________．【典例2】若点在圆的内部及圆上，求的最小值．【解析】如图，直线与圆有两个交点和，直线在圆右上方，当时无法形成可行域，故==当时，设，直线恰好过点时，最小，；当时，设，直线恰好过点时，最小，．综上，的最小值是3.典例典例2图【感悟】目标函数带绝对值号的一类特殊线性规划问题可化为一般的线性规划问题来求解，一般可根据点线距离型目标函数的最值问题，有时也需要根据绝对值内的式子进行分类讨论得出最值.【挑战2】1*.已知实数满足则的最小值________．2.若点在圆的内部及圆上，则的最小值为________．3.若点在圆的内部及圆上，则的最小值为________.4.数列、向量中的线性规划4.1线性规划视角下的平面向量问题【典例】完成下列各题：（1）已知向量,且.若满足不等式,则的取值范围为（） A. B. C. D. （2）已知点满足，则的取值范围是.（3）如图,在平面直角坐标系中,正方形的边长为1,为的中点,若为正方形内（含边界）任意一点,则的最大值为__________.【解析】（1），且，，即.又表示的区域为图中阴影部分，当过点时，，当过点时，,（2）根据向量夹角的公式表示向量与夹角的余弦值,即,根据图形可知，,，所以的取值范围是.典例（2）图典例（2）图（3）因为为的中点，正方形的边长为1，所以，得，又为正方形内（含边界）任意一点，设则，满足，又，故当点运动到点处时，的最大值为.【感悟】线性规划问题,要确定目标函数的几何意义,是求横坐标或纵坐标、直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等,这里即,此时的几何意义就是直线在上的截距.当然，在很多问题中，从表面上也许看不出是线性规划问题，但是只要稍微转化就会露出“庐山真面目”，如（1）由题得，即，可见本题就是简单的线性规划问题；（3）只有得到，才能感觉到线性规划的存在.问题（2）从条件看很容易联想到是线性规划问题。根据的结构特点,联想到两个向量的夹角公式和三角函数的定义。法1中的最小值是0，而不是,所以的最小值不在边界处取得.【挑战】1.在直角坐标系中,已知点,点在三边围成的区域（含边界）上.设,用表示,并求的最大值.2.已知点满足,则的取值范围是.3.已知正方形的边长为2,为的中点,若为正方形内（含边界）任意一点，则的最大值为__________.4.已知点和圆，是圆上的两个动点，且，则（为坐标原点）的取值范围是4.2线性规划视角下的数列问题【典例1】（1）等差数列的前项和为，已知，，则的最大值是.（2）各项均为正数的等比数列中，若，，，则的取值范围是.【解析】（1）（法1）：，即，得，，所以，最大值为.（法2）：，即，转化为线性规划问题，得最大值为.（2）【解析】各项均为正数的等比数列中，，，，设，满足，如图，则=，直线过点P截距最小，过A截距最大。因此，，所以，所以的取值范围是。【感悟】遇到二元一次不等式组的问题以及求目标函数的最值时，都可以考虑用线性规划.只是变量名的转化而已.【挑战】1.设等差数列的前项和为,若，则的取值范围是______2.等差数列的前n项和为，，则的最大值是．3.等差数列中，已知，，则的取值范围是．4.设等差数列的首项及公差分别为,,前项和为，且则的最大值是.1二元一次不等式表示的区域1.1不等式表示的区域【挑战1】1.【解析】在直线上方的点满足不等式，所以.2.【解析】在直线上方的点满足不等式，所以.3.【解析】，即.4.【解析】由，解得.5.【解析】由，解得或.【挑战2】1.4【解析】画出可行域如图中及其内部，，，.第1、2题图第1、2题图2.【解析】画出可行域如图中及其内部，，，，可行域内的点在直线上的投影构成了线段即，易得，.3.2【解析】线段AB的长应等于圆的直径，所以AB=2.1.2不等式表示的区域【挑战】1.2【解析】根据题意作出不等式组所表示的平面区域，该区域为正方形区域，其中该正方形的边长为，所以该平面区域的面积为.1.3动点所在的区域【挑战】1.2【解析】令，则点，满足在平面内画出点所构成的平面区域，易得其面积为2.2.4【解析】设，解得即所以点满足易知点所表示的平面区域是一个三角形，其面积为4.2最值问题的求解策略2.1截距法判定平移方向【挑战1】1.18【解析】当目标函数所表示的直线经过B(0,3)时,取最大值为18.2.5【解析】作出可行域如图中的阴影部分.因为直线的斜率为，目标函数中的随直线向上平移而增大，过点时取得最大值，．【挑战2】1.1【解析】作出可行域如图所示.由得，平移直线可知过点时，直线在轴上的截距最小，此时最大为1.2.4【解析】画出可行域.对于目标函数可化为，平移直线，可知过点时，直线在轴上的截距最小，此时的最大值为4.3.【解析】画出可行域.可化为将直线进行平移可知当直线过点时，取得最小值为.【挑战3】1.0【解析】画出可行域，目标函数变形为，当最大时，直线的纵截距最大，故将直线移到过点时，取到最大值，最大值为0．2.5【解析】画出可行域，目标函数变形为，平移直线.可知直线过点时，直线在轴上截距最大，取到最大值，的最大值为5．3.-7【解析】画出可行域，目标函数变形为，平移直线.可知直线过点时，直线在轴上截距最小，取到最小值，的最小值为-7.【挑战4】1.【解析】将转化为，由目标函数最大值点有无穷多个可知，.2.【解析】将转化为，平移函数可知，当函数经过点时,取得最小值为.2.2曲线型目标函数的最值问题【挑战】1.C【解析】作出平面区域为及其内部．联立得,．当过点时，函数为；当过点时，，，函数为，结合图形可知，使函数（，）的图象过区域的的取值范围是，故选C．2.D【解析】不等式组表示的平面区域图所示的及其内部．沿直线上下平移函数的图象.由图可知，当图象过点时，取最大值，代入即可求出，当图象过点时，代入即可求出；所以实数的取之范围为．故选D．3.5【解析】令，则可知当时，，故应填．4.【解析】画出可行域，如图所示.当时，过可行域的最低点.当时，在第四象限的图象更高些，经过可行域；当时，过可行域的最高点；当时，在第一象限的图象更低些，经过可行域.故的取值范围是．2.3旋转法处理最优解唯一的问题【挑战1】1.【解析】作出可行域为及其内部．目标函数仅在点处取得最小值，将直线从绕着点逆时针转到无限接近直线但不重合，其截距都最小，结合图形知，故实数的取值范围是．第1-4题图2.【解析】作出可行域为及其内部．目标函数仅在点处取得最小值，将直线绕着点顺时针转到无限接近直线但不重合，目标函数的值最小，结合图形知，解得，故实数的取值范围是．3.【解析】作出可行域为及其内部．目标函数仅在点处取得最大值，将直线绕着点逆时针转到无限接近直线但不重合，其截距都最小，结合图形知，故实数的取值范围是．4.【解析】作出可行域为及其内部．目标函数仅在点处取得最大值，将直线绕着点顺时针转到无限接近直线但不重合，目标函数的值最大，结合图形知，故实数的取值范围是．【挑战2】1.【解析】作出可行域为及其内部．目标函数仅在点处取得最大值，将直线从绕着点顺时针转到无限接近直线但不重合，其截距都最大，结合图形知，，故实数的取值范围是.2.【解析】作出可行域为及其内部.目标函数仅在点处取得最小值，将直线绕着点顺时针转到无限接近直线但不重合，其截距都最大，最小，结合图形知，故实数的取值范围是．3.【解析】作出可行域为及其内部．目标函数仅在点处取得最小值，将直线绕着点逆时针转到无限接近直线但不重合，目标函数线的截距最大，最小，结合图形知.故实数的取值范围是．2.4平移法处理最优解无数多的问题【挑战】1.或-2【解析】当直线与直线或重合时，在无数个点处取得最小值，所以或，即或.2.【解析】当直线与直线重合时，在无数个点处取得最大值，所以，即.3.【解析】如图，直线与重合，故．4.【解析】如第3题图.直线与重合，故．5.2或-1【解析】如第3题图.直线与直线或重合时，在无数个点处取得最小值，所以或3目标函数的几何意义3.1求的最值1.52【解析】因为，表示点（x,y)到的距离的平方如下图，第1题图第1题图因为，表示点（x,y)到（3,0）的距离的平方.(此时).第1题图第1题图2.【解析】如图，表示可行域内的动点到原点O的距离OP.OP的最小值是原点到直线AC：的距离，.又.所以的取值范围是.表示可行域内的动点到点的距离，又所以,且，所以过D作AC垂线的垂足在可行域外，所以,,所以的取值范围是3.【解析】如图，所示阴影部分为可行域，第3题第3题图数形结合可知，原点到直线的垂线段长是的最小值，所以.4.4【解析】点P在直线上，为直线l上的点到原点的距离的平方．当OP⊥l时，距离最小．故，所以5.10【解析】因为表示点到原点的距离的平方与5的和.如图.第5题图第5题图6.【解析】如图，作出可行域为及其内部，，，．设可行域内，，则点在直线（）的左下方的区域内，．点到直线的距离为，，数形结合知，．7.5【解析】作出不等式组表示的平面区域,表示点（0,2）到（x,y)的距离的平方再加1，故的最小值是5.3.2方程的几何意义 【挑战】1.2【解析】的图形是正方形的四条边，如图，所以的最大值为2.2.1【解析】点形成的区域是一个中心在原点，以为对称轴且对角线的一半长为的正方形.原点到正方形的边的距离为最小距离，所以的最小值是1．3.【解析】满足的点构成一个正方形区域，的最小值为.4.10【解析】令，，转化为已知，求的最大值.表示正方形区域