人教版八年年级上册知识点与题型梳理

AA.3个 B.4个 C.5个 D.6个AA.3个 B.4个 C.5个 D.6个八年级上册各章节知识点与题型梳理讲次01三角形的基础三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。三角形用符号的三表示，顶点是4、的。的三角形记作"ABC”读作“三角形ABC”。角形按边分类：等腰角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角。等边角形：底边与腰相等的等腰三角形叫做等边三角形，即三边都相等。角形边的关系(重点(1)角形的任意两边之和大于第三边。角形的任意两边之差小于第三边。(这两个条件满足其中一个即可)用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是a,b,c,则a+b>c或c—b<a。(2)已知三角形两边的长度分别为a,b，求第三边长度的范围：|a—b|<c<a+b角形的稳定性,四边形及多边形不具有稳定性要使多边形具有稳定性,方法是将多边形分成多个三角形,这样多边形就具有稳定性了。命题角度一三角形的个数问题例题1．如图所示,其中角形的个数是( )A.2个 B.3个 C4个 D.5个【解析】图中的三角形有：△ABC,△BCD,△BCE,△ABE,△CDE共5个，选D.变式1.图中角形的个数是()耳£> 三■ 。【解析】图中的三角形有:△ABD,△ADE,△AEC,△ABE,△ADC,△ABC,共6个，选D变式2．图中三角形的个数是（）A.4个 B.6个 C8个 D.10个【解析】图中三角形是一一H一芯三_工匚二一三匚7一 辽,,冕江」EF,8个，选C变式3．如图，图中三角形的个数有（ ）A.6个 B.8个 C10个 D.12个【解析】以O为一个顶点的有^CBO、△CDO、△ABO、△ADO,不以O为顶点的三角形有△CAD、△CBA、△BCD、△BAD，共有8个。选B.命题角度二三角形的分类例题2.在^ABC中，ZA=20°,ZB=60°,则4ABC的形状是（）A.等边三角形 B.锐角三角形C直角三角形 D.钝角三角形【解析】根据三角形的内角和定理求出ZC,即可判定^ABC的形状.•・•ZA=20°,ZB=60°,・•.ZC=180°-ZA-ZB=180°-20°-60°=100°,・•・△ABC是钝角三角形.选D.

变式1．一个三角形三个内角的度数之比为1：2：3，则这个三角形一定是（）A.锐角三角形 艮直角三角形C钝角三角形 。.等腰直角三角形【解析】三角形的内角和为180°,可知最大角为90°,因式这个三角形是直角三角形.选B.变式2.在△ABC中，若NA：NB：NC=1：3：5,则^ABC是（ ）A.锐角三角形B.直角三角形 C钝角三角形 。.形状不确定【解析】VNA：NB：NC=1：3：5,・,.设NA=%°,NB=3%°,NC=5x°,.•・x+3x+5x=180,解得：x=20,...NC=5x20°=100°,A△ABC是钝角三角形.选C变式3．下面给出的四个三角形都有一部分被遮挡,其中不能确定三角形类型的是（）【解析】观察图象可知：选项B,D的三角形是钝角三角形，选项C中的三角形是锐角三角形，选项A中的三角形无法判定三角形的类型.选A.命题角度三构成三角形的条件例题3．下列各组线段不能组成三角形的是（ ）A．4cm、4cm、5cm B．4cm、6cm、11cmC．4cm、5cm、6cm D．5cm、12cm、13cm【解析】A、♦.♦4+4=8>5,，4cm、4cm、5cm能组成三角形，故本选项错误；B、’.’4+6=10<11,，4cm、6cm、11cm不能组成三角形，故本选项正确；C、':5+4=9>6,，4cm、5cm、6cm能组成三角形，故本选项错误；D、：5+12=17>13，.二5cm、12cm、13cm能组成三角形，故本选项错误.选B.变式1．等腰三角形的两边长分别为3和6,则这个等腰三角形的周长为（）A.12 B.15C12或15D.18【解析】根据题意，要分情况讨论：①、3是腰；②、3是底.必须符合三角形三边的关系，任意两边之和大于第三边．①若3是腰，则另一腰也是3,底是6,但是3+3=6,・•.不构成三角形，舍去.②若3是底，则腰是6,6.3+6>6,符合条件.成立..C=3+6+6=15.选B.变式2．等腰三角形的一边长为4,另一边长为9,则这个三角形的周长为（ ）A.22BA.22B.17C.13D.17或22【解析】4是腰长时，三角形的三边分别为4、4、9,・/4+4=8<9,・•.不能组成三角形，4是底边时，三角形的三边分别为4、9、9，能组成三角形，周长=4+9+9=22，综上所述，该等腰三角形的周长为22.选A.变式3.下列长度的四根木棒中，能与4cm,9cm长的两根木棒首尾相接成一个三角形的是（ ）A．4cm B．5cm C．9cm D．13cm【解析】•••4+4<9,・・.4cm,4cm,9cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，•A错误；•・・5+4=9,・・.5cm,4cm,9cm长的木棒首尾相接，不能组成三角形，•B错误；V9+4>9,A9cm,4cm,9cm长的木棒能组成三角形，二。正确；:4+9=13,・・.13cm,4cm,9cm长的木棒，不能组成三角形，二D错误；选C.变式4.若实数m,n满足|m-2+\=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则^ABC的周长是（ ）A.12 B.8 C.10 D.10或8【解析】m—2|+Jn—4=0,/.m=2,n=4,当三角形的腰长为2时，2+2=4，构不成三角形；当三角形的腰长为4时，三角形的周长为：4+4+2=10.选C.命题角度四三角形第三边的取值范围例题4.已知三角形两边的长分别是3和7,则此三角形第三边的长可能是（）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A.1 B.2 C.8 D.11【解析】设第三边长为％，则有7-3<%<7+3,即4<x<10,观察只有C选项符合，选C.变式1.若长度分别为d3,5的三条线段能组成一个三角形，则a的值可以是（ ）A.1 B.2 C.3 D.8【解析】由三角形三边关系定理得：5-3<a<5+3,即2Va<8,由此可得，符合条件的只有选项C,选C.变式2.已知三角形三边长分别为2,%,13,若％为正整数，则这样的三角形个数为A.2 B.3 C.5 D.13【解析】根据“三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边”可得:13-2<%<13+2,即11<x<15,因为取正整数，故％的取值为12、13、14,即这样的三角形共有3个.选B.变式3．一个三角形的两边长为3和8，第三边长为奇数，则第三边长为（）A.5或7 艮7或9 C7 D.9【解析】根据三角形三边关系可得：5〈第三边<11,根据第三边长为奇数，则第三边长为7或9.选B.命题角度五三角形三边关系的应用例题5.已知三角形的两边分别为1和4,第三边长为整数,则该三角形的周长为（）A.7 B.8 C.9 D.10【解析】设第三边为羽根据三角形的三边关系，得：4-1<%<4+1,即3<%<5,•・•％为整数，・•・％的值为4.三角形的周长为1+4+4=9.选C.变式1.已知a、b、。是AABC的三边长，化简|a+b-C-b-a-c|的值是（）A.-2c B,2b-2c C.2a-2c D.2a-2b【解析】根据三角形的三边关系，得a+b-c>0,b-a-c<0.，原式=a+b-c-（a+c-b）=2b—2c.选择B项.变式2.如图，为估计池塘岸边A,B的距离，小明在池塘的一侧选取一点0,测得0A=15米，0B=10米，A,B间的距离可能是（）A.30米 B.25米 C.20米 D.5米【解析】设A,B间的距离为％.根据三角形的三边关系定理，得：15-10<%<15+10,解得：5<%<25,所以，A,B之间的距离可能是20m.选C.TOC\o"1-5"\h\z变式3.若（a-3）2+|b-6|=0,则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（ ）\o"CurrentDocument"A.12 B.15 C.12或15 D.18【解析】由（a-3）2+1b-61=0,得a-3=0,b-6=0.则以a、b为边长的等腰三角形的腰长为6,底边长为3,周长为6+6+3=15,选B.变式4.如果一等腰三角形的周长为27,且两边的差为12,这个等腰三角形的腰长为（）A.13 B.5 C.5或13 D.1【解析】设等腰三角形的腰长为%,则底边长为%-12或%+12,当底边长为%-12时，根据题意，2%+%-12=27,解得％=13,・•.腰长为13；

当底边长为1+12时，根据题意，2%+%+12=27,解得％=5,因为5+5<17,所以构不成三角形，故这个等腰三角形的腰的长为13,选A.命题角度六三角形的稳定性【解析】A、具有稳定性，符合题意；夙不具有稳定性，故不符合题意；。、不具有稳定性，故不符合题意；D、不具有稳定性，故不符合题意，选A.变式1．为了使一扇旧木门不变形,木工师傅在木门的背面加钉了一根木条,这样做的道理是)(两点之间,线段最短反垂线段最短A．C是)(两点之间,线段最短反垂线段最短A．C三角形具有稳定性D.两直线平行，内错角相等【解析】三角形具有稳定性,其它多边形不具有稳定性,把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变，这样做的道理是三角形具有稳定性，选C变式2．王师傅用4根木条钉成一个四边形木架,如图．要使这个木架不变形,他至少还要【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，选B变式3.如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是()【解析】三角形具有稳定性，连接一条对角线，即可得到两个三角形，选B变式3.如图，窗户打开后，用窗钩AB可将其固定，其所运用的几何原理是()A.三角形的稳定性B.垂线段最短C两点确定一条直线C两点确定一条直线。.两点之间，线段最短【解析】一扇窗户打开后，用窗钩将其固定，正好形成三角形的形状，所以，主要运用的几何原理是三角形的稳定性，选A.变式4.如图，工人师傅砌门时，常用木条EF固定长方形门框A5CD使其不变形，这样做的根据是( )A.两点之间的线段最短A.两点之间的线段最短反长方形的四个角都是直角。.三角形有稳定性。。.三角形有稳定性【解析】用木条EF固定长方形门框ABCD，使其不变形的根据是三角形具有稳定性，选C变式5．人字梯中间一般会设计一“拉杆”，这样做的道理是()A.两点之间，线段最短C.两直线平行，内错角相等A.两点之间，线段最短C.两直线平行，内错角相等B.垂线段最短D.三角形具有稳定性【解析】人字梯中间一般会设计一“拉杆”，是为了形成三角形，利用三角形具有稳定性来增加其稳定性，选D.讲次02三角形的高、中线、角平分线考点一三角形的高概念：从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线考点二三角形的中线概念：在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做三角形的中线。性质：三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍。三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。

考点三三角形的角平分线概念：三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交,这个角的顶点和交点间的线段叫做三角形的角平分线。命题角度一画三角形的高c.D.例题1.如图，过c.D.例题1.如图，过△ABC的顶点A,作BC边上的高，以下作法正确的是（）【解析】得A是作BC边上的高，C是作AB边上的高，D是作AC边上的高.选A.A.B.变式1.在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形,请你数一数,错误的个数为（）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个【解析】试题解析：从左向右第一个图形中，BE不是线段，故错误；第二个图形中，BE不垂直AC,所以错误；第三个图形中，是过点E作的AC的垂线，所以错误；第四个图形中，过点C作的BE的垂线，也错误选D.变式3.如图，NACB>90°,AD±BC,BE±AC,CF±AB，垂足分别为点D、点E、点F,△ABC中AC边上的高是（ ）A.CF B.BE C.AD D.CD【解析】根据图形，BE是^ABC中AC边上的高.选B.

变式4变式4.如图AD±BC于点D,那么图中以AD为高的三角形的个数有（）A．3 B．4 C．5 D．6【解析】结合三角形高的定义可知，以AD为高的三角形有：△ABD，AABE，△ABC，△ADE，^ADC，△AEC，共6个，选D命题角度二与三角形高有关的计算例题2.如图，在直角三角形ABC中，点B沿CB所在直线远离C点移动，下列说法错误的是( )A.A.三角形面积随之增大B.NCAB的度数随之增大C.BC边上的高随之增大 D.边AB的长度随之增大1【解析】A、在直角三角形ABC中，S^ABC=BC・AC,点B沿CB所在直线远离C点移动时△BBC增大，则该三角形的面积越大.故A正确;B、如图，随着点B的移动，NCAB的度数随之增大.故B正确;C、BC边上的高是AC,线段AC的长度是不变的.故C错误.D、如图，随着点B的移动，边AB的长度随之增大.故D正确；选C.变式1.如图，^ABC中，D,E分别是BC上两点，且BD=DE=EC,则图中面积相等的三角形有（）A.4对B角形有（）A.4对B.5对C.6对D.7对【解析】由已知条件，得“血,△ADE,AACE,3个三角形的面积都相等，组成了3对，还有^A^E和^ACD的面积相等，共4对.选A.变式2.如图，AD变式2.如图，AD,CE是^ABC的两条高，已知AD=10,CE=9,AB=12,则BC的长是（ ）A.10 B.10.8C.12 D.15【解析】•/AD,CE是△ABC的两条高，AD=10,CE=9,AB=12,；・AABC的面积=：x12x9=1BCAD=54,即12BC10=54,解得BC=10.8.选B.变式3.如图所示，AD、CE、BF是^ABC的三条高，AB=6,BC=5,AD=4，则CE=()24A.5C．101524A.5C．1015B23D.3【解析】因为AD、CE、BF是^ABC的三条高，AB=6,BC=5,AD=4,1 1 BC•AD5义410所以可得：-BC-AD=-AB•CE,可得：CE=———=—^==选C2 2 AB6 3CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且变式4CD、BE分别是AB、AC边上的高，并且CD、BE交于点PCD、BE交于点P,若NA=50°,则NBPC等于（ ）A.90°B.130°C.270° D.315°【解析】根据/A=50°可得NABC+NACB=130°,根据CD±AB,BE±AC可得/ABE=40°,NACD=40°贝UNPBC+NPCB=130°—40°—40°=50°,则NBPC=180°—50°=130°.选BNACD=40°变式5.如图，三角形ABC,/BAC变式5.如图，三角形ABC,/BAC=90。,AD是三角形ABC的高，图中相等的是（).A.ZB=ZCB.ZBAD=ZBCZC=ZBADD.ZDAC=ZC【解析】•・•/BAC=90。一・.NB+NC=90。，选项A错误;,?AD是三角形ABC的高，・，.NBDA=90。，.♦.NBAD+NB=90。，选项B错误;VZBAC=90。,AZBAD+NDAC=90。，又•//ADC=90。，.♦.NDAC+NC=90。，.•.NC=ZBAD,选项C正确，选项D错误.选C.变式6.如图△ABC中，分别延长边AB,BC,CA,使得BD=AB,CE=2BC,AF=3CA,^^ABC^^ABC的面积为1,则4DEF的面积为（ ）TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"A.12 B.14 C.16 D.18【解析】连接AE和CD,VBD=AB,AS.=S =1,S =1+1=2,\o"CurrentDocument"△ABC△BCD △ACDVAF=3AC,AFC=4AC,AS“〃=4S4=4x2=8,△FCD △ACD同理可以求得：“ace=2"ABC=2，则U"FCE=4"ACE=4乂2=8；“DCE=2"BCD=2X1=2；A"DEF="FCD+”FCE+"DCE=8+8+2=18・选D命题角度三三角形中线有关的长度计算\o"CurrentDocument"例题3.如图，AE是ABC的中线，已知EC=4,DE=2，则BD的长为（ ）A.2B.3A.2B.3C.4D.6【解析】：AE是^ABC的中线，EC=4,，BE=EC=4,VDE=2,，BD=2.选A.变式1.已知AD是^ABC的中线，且AABD比^ACD的周长大3cm,则AB与AC的差为（）A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm【解析】,/AD是△ABC的中线，，BD=DC,，△ABD与^ACD的周长之差=（AB+AD+BD）-（AC+AD+CD）=AB-AC,•「△ABD比^ACD的周长大3cm,，AB与AC的差为3cm.选B.E□U变式2.如图，三角形ABC中，D为BC上的一点，且54abd=S^adc，则AD为（）E□UA.高 B.角平分线 C.中线 D.不能确定【解析】设边上的高为加.••s“5£Wc，，3叉h艾即二4XhXCD,故BD=CD，即AD是中线.选C.变式3.如图，在^ABC中，AD是BC边上的中线，△ADC的周长比^ABD的周长多5cm,AB与AC的和为13cm，那么AC的长为（ ）•「△ADC的周长•「△ADC的周长-^ABD的周长=5cm.，即AC的长度是9cm.选B.命题角度四三角形中线有关的面积计算例题4.如图，在^ABC中，已知点D，,面积为4cm,贝必5£尸的面积等于（A.2cm2 B.1cm2AC-AB=5cm.又：AB+AC=13cm，，AC=9cm.E,F分别为边BC,AD,CE的中点，且^ABC的)儿。C.0.5cm2 D.0.25cm2【解析】*/AD是BC边上的中线，，D为BC的中点，CD=BD.A.8cm B.9cm C.10cm D.11cm【解析】：点D、E、F分别为边BC,AD,CE的中点，S=1S,S=1S,S=1S,S =1S ,AABD 2 ^ABC 他DE 2 —BD ACDE 2 'DC ABEF 2 ABEC・•.S=1S、，：△ABC的面积是4,・・・Sabef=1.选BABEF4AABC △BEF变式L△ABC的面积为12cm2,点D在BC边上，E是AD的中点，则△BCE的面积是( )A．4cmA．4cm2B．6cm2C．8cm2D．6cm2【解析】：E是AD的中点，••.S4bde=yS△ABD，SADEC=S△ADC，・・・△BCE的面积=Sabde+SAdec=2x(SAabd+SaADC)=2XAABC的面积=6,选B.变式2.如图，D,E,F分别是边BC,AD,AC上的中点，若S阴影的面积为3,则4ABC的面积是()的面积是()A．A．5 B．6C．7 D．8【解析】丁D为BC的中点,・Sbde=【解析】丁D为BC的中点,・Sbde=2Sabd^S=1S,S=1SADF2ADCDEF2ADF・・.S=1S,BDE4ABCS=1SA,・•.SA+SA=1S△+1s△=3S△DEF8ABC △BDE △DEF4ABC8ABC8ABC8 8- 8・•・SABC=3S阴影部分=3乂3=8,选D变式3.如图，在AABC中，点D是BC边上的一点，E,F分别是AD,BE的中点，连结CE，CF，若S△CEF=5,则△〃的面积为()且A．15B．A．15B．20C．25D．30【解析】根据等底同高的三角形面积相等，可得•・•F是BE的中点，晨CFE=S△CFB=5,S△CEB=S△CEF+S△CBF=10,.；E是AD的中点，S△AEB=S△DBE,S△AEC=S△DEC5 *S△CEB=S△BDE+S△CDEeS△BDE+S△CDE=10•S△AEB+S△AEC=10,^S△ABC=S△BDE+S△CDE+S△AEB+S△AEC=205选B.命题角度五三角形重心的有关性质例题5.如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三A.三边高的交点 反三条角平分线的交点仁三边垂直平分线的交点 。.三边中线的交点【解析】•・•支撑点应是三角形的重心，・••三角形的重心是三角形三边中线的交点，选D.变式1.如图，在^ABC中，D,E分别是BC,AC的中点，AD和BE相交于点G,若AD=6,则AG的长度为（ ）A.2 B.3 C.4 D.5【解析】：D、E分别是边BC,AC的中点，AD、BF相交于G,,G为^ABC的重心•AG=2DG,•・•AD=6,•AG=4,选C.命题角度六三角形的角平分线例题6.如图，△ABC中，AD为^ABC的角平分线，BE为^ABC的高，4C=70°,NABC=48°,那么N3是（）A.59° B.60° C.56° D.22°【解析】根据题意可得，在△ABC中，/C=70。,/ABC=48。，则/CAB=62。,又‘'AD为^ABC的角平分线，.=/1=/2=62。+2=31。AAZDAE=34°-14°=20°.选A.AAZDAE=34°-14°=20°.选A.又’‘在^AEF中，BE为公ABC的高二/EFA=90。—/1=59。.=Z3=/EFA=59。变式1.如图，已知AE是角平分线，AD是BC边上的高.若NABC=34°,ZACB=64°,则NDAE的大小是（）A.5° B.13° C.15° D.20°【解析】在4ABC中，：/ABC=34°,ZACB=64°,AZBAC=180°-ZB-ZC=82°,,?AE是/BAC的平分线，AZBAE=ZCAE=41°.又,「AD是BC边上的高，AZADB=90°,•.•在△ABD中/BAD=90°-ZB=56°,AZDAE=ZBAD-ZBAE=15°.变式2.如图，"BC中,AD是角平分线，DE±AB于点E,bABC的面积为7,AB=4,DE=2,则AC的长是（ ）TOC\o"1-5"\h\zA.4 B.3 C.6 D.5【解析】过点D作DF±AC于F,VAD是^ABC的角平分线，DE±AB,:.DE=DF2AS4=X4X2+-ACX2=7,解得AC=3.选B.△A“ 0 0变式3.AD、AE分别是^ABC的高和角平分线，且ZB=76°,ZC=36°,则ZDAE等于（ ）且sDE CA.20° B.18° C.45° D.30°【解析】Vad,AE分别是△ABC的高和角平分线，且ZB=76°,ZC=36°,AZBAD=14°,ZCAD=54°,AZBAE二1ZBAC=1x68°=34°,2 2变式4.如图，BE、CF是kABC的角平分线，NA=50°,BE、CF相交于。，则NBDC的度数是( )A.115° B.110° C.100° D.90°【解析】•:/A=50°,.•・/ABC+NACB=180°-50°=130°,-1 ，…1，一,「BE、CF是^ABC的角平分线，./EBC=—/ABC,/FCB=-ZACB,2 21・•・/EBC+ZFCB=1X(ZABC+ZACB)=65。，.NBDC=180°-65°=115°,选A.^2【解析】：O到三边的距离相等，BO平分NABC,CO平分NACB.NOBC+NOCB」(NABC+NACB)」(180°-NA)，：NA=60°,22:.NOBC+NOCB=60°,.NBOC=180°-(NOBC+NOCB)=180°-60°=120°,选B.考点一三角形的内角内角和定理：三角形三个内角和等于180°。推论：①直角三角形的两个锐角互余。②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。③三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。【备注】.在同一个三角形中：等角对等边；.等边对等角；大角对大边；.大边对大角。.等角的补角相等，等角的余角相等。三角形的内角构成:考点二三角形的外角概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。三角形的外角与内角的关系：1、三角形的一个外角与它相邻的内角互补;2、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；3、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。命题角度一三角形内角和定理例题1.在三角形中，最大的内角不小于（ ）A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】•・•三角形的内角和等于180°,180°-3=60°,・••最大的角不小于60°.选C变式1.三角形的三个内角（）A.至少有两个锐角 B.至少有一个直角C.至多有两个钝角 D.至少有一个钝角【解析】根据三角形的内角和是180°,知：三个内角可以都是60°,排除B；三个内角可以都是锐角，排除C和D；三角形的三个内角中至少有两个锐角，不可能有两个钝角或两个直角，选A.变式2.如图，点D在^ABC内，且NBDC=120°,N1+N2=55°,则NA的度数为（）A.50° B.60° C.65° D.75°【解析】在4BCD中，NBDC=120°,...NDBC+NDCB=180°-NBDC=60°,•「N1+N2=55°,・'・NABC+NACB=N1+N2+NDBC+NDCB=115°,•NA=180°-(NABC+NACB)=65°,选C变式3.等腰三角形的一个内角为50°,它的顶角的度数是（）A.40° B.50° C.50°或40°D.50°或80°【解析】①若顶角的度数为50°时，此时符合题意；②若底角的度数为50°时，则等腰三角形的顶角为：180°—50°—50°=80°综上所述：它的顶角的度数是50°或80°,选D.变式4.如图，在△ABC中，NC=70°,沿图中虚线截去NC,则N1+N2=（）BA.360° B.250° C.180° D.140°【解析】•・•△ABC中，NC=70°,；.NA+NB=180°-NC=110°,...N1+N2=360°-110°=250°,选B.命题角度二与平行线有关的三角形内角和问题例题2.如图，AB〃CD,点E在线段BC上，CD=CE，若NABC=30°,则ND为（ ）A.85° B.75° C.60° D.30°【解析】•/AB//CD,：.NC=NABC=30°，又：CD=CE,：.ND=NCED,VNC+ND+NCED=180°,即30°+2ND=180°,；.ND=75°.选B.变式1.如图，在△ABC中，NC=90°,点D在AC上，DE/AB，若NCDE=165°,则NB的度数为()A.15° B.55° C.65° D.75°【解析】VNCDE=165°,・，.NADE=15°,VDE/AB,・，.NA=NADE=15°,・•.NB=180°-NC-NA=180°-90°-15°=75°,选D.

变式2.如图，直线a〃b，直角三角形如图放置，/DCB=90°,若/1+/B=65°,则N2的度数为（）TOC\o"1-5"\h\zA.20 B.25 C.30 D.35【解析°】如图，由三角形的外角性质可得，Z3=Z1+ZB=65°,•:a〃b,/DCB=90°,・・.N2=180°-N3-90°=180°-65°-90°=25°.选B.变式3.（2020.金昌市）如图，BCLAE于点C,CD^AB,/B=55°,则N1等于（ ）A.35° B.45° C.55° D.65°【解析】利用“直角三角形的两个锐角互余”的性质求得NA=35°,然后利用平行线的性质得到N1=NA=35°.如图，:BCLAE,，/ACB=90°.AZA+NB=90°.又•・•/B=55°,・・・NA=35°.又CD//AB,AZ1=ZA=35°.选A.变式4.如图，直线I,l被直线l所截，且Il，过l上的点A作AB±l交l于点B，其12 3 1 2 1 3 3中N1<30°,则下列一定正确的是（ ）〃A.Z2>120° B.Z3<60° C.Z4-Z3>90° D.2Z3>Z4【解析】;AB±l3，AZABC=90°,VZ1<30°,AZACB=90°-Z1>60°,AZ2<120°,•・•直线l1#l2，AZ3=ZABC>60°,.•・N4-N3=180°-N3-N3=180°-2N3<60°,2N3>N4,选D.命题角度三与角平分线有关的三角形内角和问题例题3.如图，在△A5C中，ZABC,NACB的平分线BE,CD相交于点F,ZABC=42°,NA=60°,则ZBFC的度数为（ ）A.118° B.119° C.120° D.121°【解析】选C.变式1.如图，BO、CO是ZABC、ZACB的平分线，ZBOC=120°,则ZA=( )A.60° B.120° C.110° D.40°【解析】因为OB、OC是ZABC、ZACB的角平分线，所以/ABO=ZCBO,ZACO=ZBCO,所以ZABO+ZACO=ZCBO+ZBCO=180°-120°=60°,所以ZABC+ZACB=60°x2=120°,于是ZA=180°-120°=60°.选A.变式2.如图，△ABC中，ZA=46°,ZC=74°,BD平分ZABC,交AC于点D,那么ZBDC的度数是( )AA.76° B.81° C.92° D.104°【解析】•・•△ABC中，ZA=46°,ZC=74°,；.ZABC=60°,•「BD为ZABC平分线，・，.ZABD=ZCBD=30°,ZBDC为八ABD夕卜角，・•・NBDC=NA+NABD=76°，选A变式3.已知A。、分别为△A5C的角平分线、高线，若ZB=40。，NC=60。，贝iJNADB上A.115B.110 C.105D.100【解析】•:/B=40°,ZC=60°,...ZBAC=180°*/AD、AE分别为△ABC的角平分线、高线，，>-ZB-ZC=80°,ZBAD二1ZBAC=40°,的度数为（ ）2・•・ZADB=180°-ZB-ZBAD=180°-40°-40°=100°,选D.变式4.如图，ZA=120°,且Z1=Z2=Z3和Z4=Z5=B CA.120° B.60° C.140°【解析】在4ABC中，•・•/A=120°,.ZABC+ZACB=180°2又,「Z1=Z2=Z3,Z4=Z5=Z6,.ZDBC+ZDCB=3.ZBDC=180°-40°=140°,选C.命题角度四三角形内角和定理的应用例题4.一个缺角的三角形ABC残片如图所示，量得ZA=60残缺前的ZC的度数为( )A.75° B.60° C.45°【解析】因为三角形内角和为180°,且ZA=60°,ZB=75°,Z6,则ZBDC=( )D.无法确定>-120°=60°,x60°=40°,°,ZB=75°,则这个三角形D.40°所以/C=180°-60°-75°=45°.变式1.如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度AA.40° B.50° C.60° D.140°则则N处与灯塔P距离向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，A.40海里 B.60海里 C.70海里 D.80海里【解析】依题意，知MN=40海里/小时乂2小时=80海里，・•根据方向角的意义和平行的性质，NM=70°,NN=40°,•・根据三角形内角和定理得NMPN=70°..,.NM=NMPN=70°.•・NP=NM=80海里.选D.变式2.如图所示，一个60。角的三角形纸片，剪去这个600角后，得到一个四边形，则么【解析】如图，根据三角形内角和定理，得N3+N4+600=1800,又根据平角定义，N1+N3=1800,N2+N4=1800,.\1800-N1+1800-N2+600=1800,AN1+N2=240o，选CTOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"1 1变式3.适合条件NA=-NB=-NC的△ABC是（）乙 JA.锐角三角形 B.直角三角形C.钝角三角形 D.等边三角形\o"CurrentDocument"1【解析】VNA=-NB=-NC,・，.NB=2NA,NC=3NA,\o"CurrentDocument"3VNA+NB+NC=180。，即6NA=180°,ANA=30°,ANB=60°NC=90°,AAABC为直角三角形.选ANB=60°变式4.在ABC中，若一个内角等于另外两个角的差，则( )A.必有一个角等于30。 B.必有一个角等于45。C.必有一个角等于60。 。.必有一个角等于90。【解析】设三角形的一个内角为x,另一个角为》则三个角为(180°—x—y),则有三种情况:x=y-(180。-x-y)|ny=90或x+y=90TOC\o"1-5"\h\zo oy=x-(180-x-y)|nx=90或x+y=90o o o③(180-x-y)=|x-y|nx=90或y=90，综上所述，必有一个角等于90°,选D.O O O命题角度五直角三角形的两个锐角互余例题5.已知直角三角形ABC,有一个锐角等于50°,则另一个锐角的度数是( )A.30° B.40° C.45° D.50°【解析】另一个锐角的度数为90°-50°=40°,选B.变式1.在△ABC中，已知NABC=66°,/ACB=54°,BE是AC上的高，CF是AB上的高，H是BE和CF的交点，NEHF的度数是( )A.50° B.40° C.130° D.120°【解析】TNABC=66°,NACB=54°,.,.NA=60°,丁CF是AB上的高，・•・NAFC=90°,・・・NACF=90°-NA=30°,在^CEH中，NACF=30°,NCEH=90°,,NEHF=NACF^+NCEH=30°+90°=120°,选D.变式2.如图，AB//CD,DB±BC,N2=50°,则N1的度数是（）

【解析】根据直角三角形两锐角互余求出N3,再根据两直线平行，同位角相等解答.•;DB±BC,N2=50°,；.N3=90°-N2=90°-50°=40°,,?AB//CD,；.N1=N3=40°.选A.命题角度六三角形外角性质例题6.如图，将一张含有30角的三角形纸片的两个顶点叠放在矩形的两条对边上，若Z2=44，则Z1的大小为（。）A.14 B.16 C.90—a D.a—44【解析】如图，•・•矩形的对边平行，.•.N2=N3=44°,。根据三角形外角性质，可得：Z3=Z1+30°,.♦.N1=44°-30°=14°.选A.变式1.已知直线a/b，将一块含45°角的直角三角板（NC=90°）按如图所示的位置摆放，若N1=55°,则N2的度数为（ ）C.85°D.75°C.85°【解析】如图，•「N1=N3=55°,NB=45°,，N4=N3+NB=100°Va//b,・・.N5=N4=100°,・・.N2=180°-N5=80°,选A.变式2.如图，把^ABC纸片沿DE折叠，当点A在四边形BCDE的外部时，记NAEB为N1,NADC为N2,则NA、N1与N2的数量关系，结论正确的是（ ）N1=N2+NAC.N1=2N2+2NAN1=2NA+N2D.2N1=N2+NA【解析】试题提示：如图在AABC中，NA+NB+NC=180°,折叠之后在AADF中，【解析】试题提示：如图在AABC中，N2+N3=180°,.・.NB+NC=N2+N3,N3=180°-NA-N2,又‘「在四边形BCFE中NB+NC+N1+N3=360°,.•.N2+N3+N1+N3=360°.・.N2+N1+2N3=N2+N1+2(180°-NA-N2)=360°,.•.N2+N1-2NA-2N2=0,aN1=2NA+N2.选B变式4.一副三角板有两个直角三角形，如图叠放在一起，则/。的度数是（ ）165° B.120° C.150° D.135°【解析】V图中是一副三角板，，N1=45°,，N2=180°-N1=180°-45°=135°,/a=N2+30°=135°+30°=165°.选A.讲次04多边形考点一多边形相关知识多边形概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形内角：多边形中相邻两边组成的角叫做它的内角。外角：多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。【对角线条数】n(n一3)一个n边形从一个顶点出发的对角线的条数为(n-3)条，其所有的对角线条数为 一凸多边形概念：画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形就是凸多边形。正多边形概念：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。(两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立)考点二多边形的内角和外角n边形的内角和定理：n边形的内角和为(n-2)-180°n边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°(与多边形的形状和边数无关)。命题角度一多边形的基础例题1．下列图中不是凸多边形的是()【解析】根据凸多边形的概念，如果多边形的边都在任何一条边所在的直线的同旁，该多边形即是凸多边形.否则即是凹多边形，故A不是凸多边形；B是凸多边形；C是凸多边形；D是凸多边形，选A.变式1．下列说法中，正确的是()A.直线有两个端点 B.射线有两个端点C有六边相等的多边形叫做正六边形 D.有公共端点的两条射线组成的图形叫做角【解析】A.二•直线没有端点，向两方无限延伸，故不正确；.・•射线有一个端点，向一方无限延伸，故不正确；,・•有六边相等且六个角也相等的多边形叫做正六边形，故不正确；•・•有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，故正确；选D.变式2．关于正多边形的概念，下列说法正确的是()A.各边相等的多边形是正多边形 B.各角相等的多边形是正多边形C.各边相等或各角相等的多边形是正多边形D.各边相等且各角相等多边形是正多边形【解析】A.各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；艮各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；。.各边相等、各角也相等的多边形是正多边形，故本选项不合题意；。.各边相等且各角相等的多边形是正多边形，正确，故本选项符合题意.选D.命题角度二多边形截角后的边数问题例题2．将一个四边形截去一个角后，它不可能是（）A.六边形 B.五边形 C四边形 。.三角形【解析】当截线为经过四边形对角2个顶点的直线时，剩余图形为三角形；当截线为经过四边形一组对边的直线时，剩余图形是四边形；当截线为只经过四边形一组邻边的一条直线时，剩余图形是五边形；・•・剩余图形不可能是六边形，选A.变式1．一个四边形截去一个角后内角个数是（）A．3 B．4 C．5 D．3、4、5【解析】如图可知，一个四边形截去一个角后变成三角形或四边形或五边形，故内角个数是为3、4或5,选D.变式2．把一张形状是多边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分是一个四边形，则这张纸片原来的形状不可能是（）A.三角形 B.四边形 C五边形 D.六边形【解析】当剪去一个角后,剩下的部分是一个四边形,则这张纸片原来的形状可能是四边形或三角形或五边形，不可能是六边形，选D.命题角度三多边形的对角线条数问题例题3．一个多边形从一个顶点最多能引出三条对角线,这个多边形是（）A.三角形 B.四边形 C五边形 D.六边形【解析】对于n边形，经过一个顶点能引出（n-3）条对角线，故本题选择D.变式1．若一个多边形的内角和为540°,那么这个多边形对角线的条数为（）A．5 B．6 C．7 D．8【解析】设所求正n边形边数为n，则（n-2）•180°=540°,解得n=5,

5义（5-3）•・这个多边形的对角线的条数= =5.选ATOC\o"1-5"\h\z变式2.若一个多边形的对角线共有14条，则这个多边形的边数是（ ）\o"CurrentDocument"A.6 B.7 C.10 D.14\o"CurrentDocument"_ .n（n—3） …，一【解析】设这个多边形的边数是n，则——-=14,整理得，n2-3n-28=0,2解得：n=7,n=-4（舍去）.选B.命题角度四多边形的内角和问题例题4.已知一个多边形的内角和等于900°,则这个多边形是（）A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形【解析】多边形的内角和公式为（n-2）x180°,得：（n—2）x180°=900°,得：n=7.选C变式1.若一个多边形每一个内角都是135°,则这个多边形的边数是（）A.A.6 B.8C.10 D.12【解析】设多边形的边数为n,【解析】设多边形的边数为n,则180(n-2)=135,解得：n=8,选Bn变式2.如图所示，ZA+ZB+/C+ZD+ZE+ZF的度数为（）A.180oA.180oB.360oC.540o D.720o【解析】VZA+Z1+ZD+NE=360°,Z1=ZB+N2,Z2=ZC+NF,•.ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF=360°选B.命题角度五多（少）算一个角的内角和问题例题5.当多边形的边数增加1时，它的内角和会（）A.增加160 B.增加180 C.增加270D.增加360O o O【解析】Vn边形的内角和为180°(n—2)•・(n+1)边形的内角和为180°(n+1—2)=180°(n—1)而180°(n—1)—180°(n—2)=180°•・当多边形的边数增加1时，它的内角和会增加180，选B.变式1．小明在计算一个多边形的内角和时，漏掉了一个内角，结果得1000°，则这个多边形是（ ）A.六边形B.七边形C八边形 。.十边形5【解析】设多边形的边数是n.依题意有（n-2）-180°>1000°,解得：n>7@,则多边形的边数n=8;选C变式2．马小虎在计算一个多边形的内角和时,由于粗心少算了2个内角,其和等于830,则该多边形的边数是（ ） 。A.7 B.8 C.7或8 。.无法确定【解析】设少加的2个内角和为％度，边数为n.则（n-2）x180=830+%,IP（n-2）x180=4x180+110+%,因止匕%=70,n=7或%=250,n=8.故该多边形的边数是7或8.选C.命题角度六多边形截角后的内角和问题例题6.如图，在三角形纸片ABC中，NB=NC=35°,过边BC上的一点，沿与BC垂直的方向将它剪开,分成三角形和四边形两部分,则在四边形中,最大的内角的度数为（）A.110° B.115° C.120° D.125°【解析】由三角形的内角和，得NA=180°-35°-35°=110°,由四边形的内角和，得360°-90。-110。-35。=125。，选D.变式1.（2019•荆门市期中）一个四边形，截一刀后得到新多边形的内角和将（ ）A.增加180°B.减少180°C.不变D.以上三种情况都有可能【解析】•・•一个四边形截一刀后得到的多边形可能是三角形，可能是四边形，也可能五边形，••内角和可能减少180。，可能不变，可能增加180。.选D.命题角度七正多边形外角和问题例题7.已知正多边形的一个外角为36。,则该正多边形的边数为（）.A.12 B.10 C.8 D.6【解析】360。:36。=10,所以这个正多边形是正十边形.选B.变式1．正十边形的外角和为（）A．180°A．180°B．360°C．720° D．1440°【解析】因为任意多边形的外角和都等于360°,所以正十边形的外角和等于360°,选B.变式2.如图，某人从点A出发，前进8m后向右转60°,再前进8m后又向右转60°,按【解析】依题意可知，某人所走路径为正多边形，设这个正多边形的边数为n,则60n=360,解得n=6,故他第一次回到出发点A时，共走了：8X6=48（m）.选D.命题角度八多边形内角和与外角和综合例题8.若正多边形的一个外角是60。，则该正多边形的内角和为（）A.360。 B,540。 C.720。 d,900。360。【解析】正多边形的边数为n=如=6，其内角和为（n—2，180。=7200.选C.TOC\o"1-5"\h\z变式1.一个正多边形的内角和为540°,则这个正多边形的每一个外角等于（ ）\o"CurrentDocument"A.108° B.90° C.72° D.60°【解析】设此多边形为n边形，根据题意得：180（n-2）=540,解得：n=5,・♦・这个正多边形的每一个外角等于：360-=72°.选C.变式2.一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°,则这个多边形的边数为（ ）\o"CurrentDocument"A.5 B.6 C.7 D.8【分析】解答本题的关键是记住多边形内角和公式为（n-2）x180°,任何多边形的外角和是360度.外角和与多边形的边数无关.【解析】多边形的内角和可以表示成（n-2）-180°,外角和是固定的360°,从而可根据内角和比他的外角和的3倍少180°列方程求解.设所求n边形边数为n，则（n-2）-180°=360°X3—180°,解得n=7,选C.命题角度九平面镶嵌例题9．下列多边形中，不能够单独铺满地面的是（ ）A.正三角形 艮正方形 。.正五边形 。.正六边形【解析】•・•正三角形的内角=180/3=60°，360°・60°=6,即6个正三角形可以铺满地面一个点，.••正三角形可以铺满地面；・•正方形内角=360°%=90°,360°-90°=4,即4个正方形可以铺满地面一个点，••正方形可以铺满地面；・•正五边形的内角=180°—360/5=108°,360°・108吐3.3,二正五边形不能铺满地面；・•正六边形的内角=180°—360/6=120°,360°+120°=3,即3个正六边形可以铺满地面一个点，.••正六边形可以铺满地面.选C.变式1．能够铺满地面的正多边形组合是（）A.正三角形和正五边形 反正方形和正六边形C.正方形和正五边形 。.正五边形和正十边形【解析】A、正五边形和正三边形内角分别为108°、60°,由于60m+108n=360,得m=6-5n，显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；夙正方形、正六边形内角分别为90°、120°,不能构成360°的周角，故不能铺满，故此选项错误；C、正方形、正五边形内角分别为90°、108°,当90n+108m=360,显然n取任何正整数时，m不能得正整数，故不能铺满，故此选项错误；D、正五边形和正十边形内角分别为108、144,两个正五边形与一个正十边形能铺满地面，故此选项正确．变式2．用边长相等的两种正多边形进行密铺,其中一种是正八边形,则另一种正多边形可以是（）A.正三角形 艮正方形 C.正五边形 D.正六边形【解析】正八边形的每个内角为180°-360°+8=135°,A,正三角形的每个内角60。,得135m+60n=360°,n=6-94m,显然m取任何正整数时，n不能得正整数,故不能铺满；B.正四边形的每个内角是90°,得90°+2x135°=360°,所以能铺满；C.正五边形每个内角是180°-360°+5=108°,得108m+135n=360°,m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满；D.正六边形的每个内角是120度,得135m+120n=360°,n=3-98m,显然m取任何正整数时，n不能得正整数，故不能铺满.选B.讲次05全等三角形考点一全等图形概念：形状、大小相同的图形放在一起能够完全重合.全等图形特征：①形状相同。②大小相等。③对应边相等、对应角相等。小结：一个图形经过平移,翻折,旋转后,位置变化了,但大小和形状都没有改变,即平移,翻折,旋转前后的图形全等。考点二全等三角形概念：两个能完全重合的三角形叫做全等三角形.B口 %50 *对应元素的规律:(1)有公共边的，公共边是对应边；(2)有公共角的，公共角是对应角；(3)有对顶角的，对顶角是对应角；命题角度一全等图形的概念理解例题1．全等图形是指两个图形()A.能够重合 B.形状相同 。.大小相同 D.相等【解析】根据全等图形的定义：能够重合的两个图形叫做全等图形，选A.变式1．下列说法正确的是( )A.两个面积相等的图形一定是全等形 B.两个长方形是全等图形C两个全等图形形状一定相同 D.两个正方形一定是全等图形【解析】A、面积相等，但图形不一定完全重合，故错误，B、两个长方形，图形不一定完全重合，故错误；。、全等图形因为完全重合，所以形状一定相同，故正确，D、两个正方形，面积不相等，也不是全等图形，选C.变式2．下列选项中表示两个全等图形的是（）A.形状相同的两个图形 B.能够完全重合的两个图形C面积相等的两个图形 D.周长相等的两个图形【解析】4、形状相同的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误;B、能够完全重合的两个图形，一定是全等图形，故此选项正确；C、面积相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；D、周长相等的两个图形，不一定是全等图形，故此选项错误；选B.命题角度二全等图形的识别【解析】4、两只眼睛下面的嘴巴不能完全重合，故本选项错误；B、两个正方形的边长不相等，不能完全重合，故本选项错误；C、圆内两条相交的线段不能完全重合，故本选项错误；D、两个图形能够完全重合，故本选项正确.选D.【解析】4、两个图形相似，错误；B、两个图形全等，正确;C、两个图形相似，错误；D、两个图形不全等，错误；选B.命题角度三将已知图形分割为几个全等图形

【解析】选B.变式1.如示例图将4x4的棋盘沿格线划分成两个全等的图形，请再用另外3种方法将4x4的棋盘沿格线划分成两个全等图形（约定某两种划分法可经过旋转、轴对称得到的划分法为相同划分法）．示例图【解析】如图所示：命题角度四全等三角形的概念例题4．下列说法正确的是（）A．全等三角形是指形状相同大小相等的三角形B.全等三角形是指面积相等的三角形C周长相等的三角形是全等三角形。.所有的等边三角形都是全等三角形A.形状相同的两个三角形全等民面积相等的两个三角形全等A.形状相同的两个三角形全等民面积相等的两个三角形全等C完全重合的两个三角形全等。.所有的等腰三角形都全等【解析】根据全等三角形的定义，能够完全重合的三角形是全等三角形，选AA．30BA．30B．45C．50D．85【解析】A、形状相同的两个三角形全等，说法错误，本选项不符合题意；夙面积相等的两个三角形全等，说法错误，本选项不符合题意；。、完全重合的两个三角形全等，说法正确，本选项符合题意；D、所有的等腰三角形都全等，说法错误，本选项不符合题意.选C变式2.下列几种说法：①全等三角形的对应边相等；②面积相等的两个三角形全等；③周长相等的两个三角形全等；④全等的两个三角形一定重合.其中正确的是（ ）.A.①② B.②③ C③④ D.①④【解析】①、全等三角形的对应边相等，正确；②、全等三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是全等三角形.故该选项错误;③、全等三角形的周长相等，但周长的两个三角形不一定能重合，不一定是全等三角形.故该选项错误；④、全等三角形是指能够完全重合的两个三角形，故正确；故正确的是①④.选D.变式3.有下面的说法：①全等三角形的形状相同；②全等三角形的对应边相等；③全等三角形的对应角相等；④全等三角形的周长、面积分别相等.其中正确的说法有（）A.1个 B.2个 C3个 D.4个【解析】①全等三角形的形状相同，根据图形全等的定义，正确；②全等三角形的对应边相等，根据全等三角形的性质，正确；③全等三角形的对应角相等，根据全等三角形的性质，正确；④全等三角形的周长、面积分别相等，正确；故四个命题都正确，故D为答案.命题角度五全等三角形的性质例题5.如图，两个三角形是全等三角形，％的值是（ ）

【解析】NA=180°-105°-45°=30°,二•两个三角形是全等三角形，；.ND=NA=30°,即％=30,选A.变式1.如图，&ABC/△DCB，若AC=7,BE=5,则DE的长为（）A.2B.3 C.4D.5【解析】根据三角形全等可以得出BD=AC=7,则DE=7-5=2.A.45° B.30° C.15° D.60°【解析】•/ABCD是长方形，・•・/BAD=90°,VNBAF=60°,，NDAF=30°,1・二长方形ABCD沿AE折叠，，△ADE^AAFE,，NDAE=NEAF=-NDAF=15°.选C.变式3.若^ABC/△DEF,且△ABC的周长为20,AB=5,BC=8,则UDF长为（）5B.8 C.7D.5或8【解析】♦△ABC的周长为20,AB=5,BC=8,二AC=20-5-8=7,・•・DF=AC=7,选C.

变式4变式4.如图，已知^ABC/△CDE,下列结论中不正确的是（ ）A.AC=CENBAC=NECDC.NACB=NECDD.A.AC=CE【解析】由全等三角形的性质可知A、B、D均正确，而NACB=NCED，C错误.选择C.变式5变式5.如图，△ABC与^DEF是全等三角形，则图中的相等线段有（ ）A.1 B.2 C.3 D.4【解析】•:△ABC/△DEF,：.AB=DE,AC=DF,BC=EF，BE=CF.故共有四组相等线段.选D.变式6.如图，bABO/△DCO,ND=80°，NDOC=70°，则NB=().A.35° B.30° C.25° D.20°【解析】因为△ABO/△DCO，ND=80°，所以ND=NA=80°，由于NDOC=70°，NDOC是NAOB的对顶角，所以NDOC=NAOB=70°，由于三角形内角和为180°.则NB=180°-NA=30°.选择B项.讲次06全等三角形的判定考点一全等三角形的判定备注：1.判定两个三角形全等必须有一组边对应相等。2.全等三角形周长、面积相等。

考点二证题的思路例题1如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD例题1如图，点E、F分别是矩形ABCD的边AB、CD上的一点，且DF=BE,求证：AF=CE.【解析】证明：二•四边形ABCD是矩形，，ND=ZB=90°,AD=BC,[AD=BC^^ADF和^CBE中，j/D=/B,.•.△ADF/△CBE(SAS),・♦.AF=CE.、DF=BE变式1.如图，点E,F在AB上，AD=BC,/A=/B,AE=BF.求证：AADF=ABCE.【解析】证明：因为AE=BF,所以，AE+EF=BF+EF，即AF=BE,产二BC在^ADF和^BCE中，j/A=/B，所以AADF=ABCE^AF=BE变式2已知：如图，点C为AB中点，CD=BE,CD//BE.求证:△ACD/△CBE.【解析】证明：•「CD/BE,AZACD=NB「・,点C为AB中点，AAC=CB.又7CD=BE,・•・△ACD必CBE(SAS)

变式3.如图，△ABC中，AB=AC,点E,F在边BC上，BE=CF,点D在AF的延长线上，AD=AC，(1)求证：△(1)求证：△ABE^AACF；(2)若NBAE=30°,则NADC=°.【解析】(1)*/AB=AC,ANB=NACF,AB=AC在△ABE^^ACF中，《・•・△ABE0A在△ABE^^ACF中，《・•・△ABE0AACF(SAS)；BE=CF(2)•「△ABE0AACF,NBAE=30°,・•.NCAF=NBAE=30°,180。-30。,?AD=AC,ANADC=NACD,ANADC= 2=75°,故答案为75.命题角度二利用ASA判断两个三角形全等例题2如图，NA=NB,AE=BE,点D在AC边上，N1=N2,AE和BD相交于点O,求证：△AEC0ABED；【解析】：AE和BD相交于点O,ANAOD=NBOE.在^AOD和^BOE中，NA=NB,・，・NBEO=N2.又•.•N1=N2,.'.N1=NBEO,ANAEC=NBED./A=/B在^AEC和^在^AEC和^BED中，1AE=BE・•・△AEC0ABED(ASA)./AEC=/BED变式1如图，完成下列推理过程：如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F,若N1=N3,NE=NC,AE=AC,求证：△ABC/△ADE.证明：•「/E=NC（已知），NAFE=NDFC（ ）,AN2=N3（ ）,又・・・/1=/3（）,・・.N1=N2（等量代换），・•・+NDAC=+NDAC（ ），即NBAC=NDAE,'/E=/C（已知）在^ABC和^ADE中,・,<AE=AC（已知） .•.△ABC/△ADE（）./BAC=/DAE（已证）【解析】*/NE=NC（已知），NAFE=NDFC（对顶角相等），••.N2=N3（三角形内角和定理）.又•••N1=N3（已知），.•・N1=N2（等量代换），AN1+NDAC=N2+NDAC（等式的性质），即NBAC=NDAE.'/E=Z。（已知）在^ABC和^ADE中，：｛ AE=AC（已知） ，.•.△ABC/△ADE（ASA）./BAC=ZDAE（已证）变式2如图，AB=AC,AB±AC,AD±AE，且NABD=NACE,求证：BD=CE.【解析】•/AB_LAC,AD±AE,，NBAE+NCAE=90°,NBAE+NBAD=90°,・•・NCAE=NBAD.又AB=AC,NABD=NACE，二△ABD必ACE（ASA）..，・BD=CE.命题角度三利用AAS判断两个三角形全等例题3如图，在—’ABCD中，经过A,C两点分别作AE±BD,CF±BD,E,F为垂足.(1)求证：△AED/△CFB；(2)求证：四边形AFCE是平行四边形.【解析】(1)证明：二•四边形ABCD是平行四边形，，AD=BC,AD〃BC,・•・NCBF=NADE,VAE±BD,CF±BD，二NCFB=NAED=90°,.•.△AED/△CFB（AAS）.(2)证明：・・•△AED/△CFB，.二AE=CF,VAE±BD,CF±BD，.二AE//CF,・••四边形AFCE是平行四边形.变式1已知在四边形ABCD中，点E在AD上，NBCE=ZACD=90°,/BAC=ZD,BC=CE.(1)求证：AC=CD；(2)若AC=AE，求NDEC的度数.【解析】(D证明： NBCE=ZACD=90。，/./2+Z3=/3+Z4,，Z2=Z4,2BAC=ND在△ABC和^DEC中,.<N2=N4, AC=CD；、BC=CE(2)VNACD=90°,AC=CD,.,.N1=ND=45°,VAE=AC,,・.N3=N5=67.5°,;.NDEC=180°—N5=112.5°.变式2如图，已知A,F,E,C在同一直线上，AB//CD,NABE=NCDF,AF=CE.试说明：AABE=ACDF.【解析】证明VAB//CD,.・.NBAC=NACD,VAF=CE,,AF+EF=CE+EF,，NBAC=NACD即AE=FC.在AABE和ACDF中，｛/ABE=NCDF,;AABE0ACDF(AAS)AE=CF命题角度四利用SSS判断两个三角形全等例题4已知：如图，AB=AC,BD=CD,DE±AB，垂足为E,DF±AC,垂足为F.求证:DE=DF.【解析】证明：如图，连接AD,产二AC在AABD和aACD中，1BD=CD,.•.△ABD/△ACD（SSS）,AD=AD•