断裂力学讲义第三章：-弹性力学的平面问题Word版

1/1断裂力学讲义第三章：-弹性力学的平面问题Word版第3章弹性力学的平面问题

任何弹性力学问题都是空间问题，但是在某些条件下，它们可以简化为平面问题。在平面问题中，我们以x,y,z表示直角坐标系的三个坐标，以u,v,w表示相应的位移分量，而以xxσ、yyσ…和xxε、yyε…分别表示相应的应力分量和应变分量。

§3.1平衡方程与变形协调方程

在平面问题里，所有位移量都只是x,y的函数，与z无关，因而所有应变和应力分量也都只是x,y的函数，与z无关。平衡方程(2.40)可简化为

??

?

?

???=+??+??=+??+??00yyy

xyxxy

xxfyxfyxσσσσ(3.1)

变形协调方程(2.63)只余下

y

xxyxyyy

xx??ε??ε??ε?22

2

222=+(3.2)§3.2平面应力与平面应变

3.2.1平面应力问题

平面应力问题是指:发生在物体某一方向(z方向)的尺寸远小于其余两个方向尺寸的物体中，即物体是一个很薄的平板，此外还要求板的厚度均匀，所有外力都作用在板的中面内，或者所有外力都作用在与中面平行的平面内，且载荷对中面对称。根据这些前提条件，在物体的两个端面(上下底面)上，进而整个物体内，=zzσ0,其它应力分量中0==zyzxσσ。

平面应力的应变分量,根据虎克定律(2.95)式，有0==zxyzεε,

)(yyxxzzE

σσν

ε+-=(3.3)

利用(2.95)式，虎克定律可以写成

?

???

?

????+==-=-=

xyxyxyxxyyyyyyxxxxEEEσνσμενσσενσσε121)(1)(1

(3.4)

3.2.2平面应变问题

平面应变问题是指：在弹性体沿某一方向(z方向)的尺度远大于其余两个方向的尺度，而且物体形状及载荷沿z方向不变的情况下，在任一远离端部且与xoy平行的平面内，物体的变形都是相同的。此外，由于z方向尺度极大，不能产生z方向的位移，即0=w，因此，物体内的变形只发生在与xoy平行的平面内。这类弹性力学问题称之为平面应变问题。由应变与位移的关系直接得出0=zzε，其它应变分量中，0

==zxyzεε

平面应变的应力分量，根据虎克定律(3.15)式，有0==zxyzσσ

)(yyxxzzσσνσ+=(3.5)

利用(2.95)式，虎克定律可以写成

????

???

??+====xy

xyxyxxyyyyyyxxxxEEEσνσμεσννσνεσνν

σνε121)1(1)1(122(3.6)

3.2.3虎克定律的统一形式

引入符号：

?

?

?-=)()()1/('2平面应力平面应变EEEν，???-=)()

()1/('平面应力平面应变νννν(3.7)代入(3.4)和(3.6)式，虎克定律可以统一写成

?

???

?

??

??+==-=-=xyxyxyxxyyyyyyxxxxEEEσνσμεσνσεσνσε''121)'('1)'('1

(3.8)

以应力表示的变形协调方程为：

y

xxxxyxyxx

yyyyxx???+=??-??+??-??σνσνσσνσ222222222)'1(2''(3.9)也可改写为：

???

?

????+??+-=+?yfxfyxyyxx)'1()(2νσσ(3.10)

其中???

?

????+??=?22222

yx为二维直角坐标系中的拉普拉斯算符。

由(3.7)还可以得到一个常用的关系式:

μν2'

'

1=+E(3.11)在后面我们还经常用到一个材料常数κ,它的定义是

?

??+--=)()1/()3()(43平面应力平面应变νννκ(3.12)

利用弹性常数之间的关系式(2.97)，还可以得到常用的关系式

'421Eμκ=+,'

'

1221Eνμκ-?

=-(3.13)§3.3Ａiry应力函数

应力函数有许多种。本节只介绍平面问题中常用的Airy应力函数。

在(3.10)中引入体力的势函数V，满足

x

V

fx??-

=，yVfy??-=(3.14)

和Airy函数),(yxU使

VyUxx+??=22σ，Vx

U

yy+??=22σyxUxy???-=2τ(3.15)

则平衡方程自动满足，代入协调方程，得到

()VUU2422'1)(?--=?=??ν(3.16)

式中

44

224442

2

4

2)(y

yxx??+???+??=??=?(3.17)

当体力势为零时,U满足双调和方程

04=?U(3.18)

应力分量与Airy函数的关系成为

22yUxx??=σ，22x

U

yy??=σyxUxy???-=2τ(3.19)

Airy函数可以取多种形式，例如多项式、三角函数等。这里只介绍一些矩形的平面问题，并取应力函数为多项式的形式。

由(3.18)可知，U必须是二次以上的多项式。因为一次多项式只能使应力为零。在以下例子中，我们都假定0=V。

表3.3.1列出了取二次和三次多项式中的一项为应力函数时的应力分布。各应力函数相应的矩形板的边界条件如表3.3.1第4列显示。

应力函数U

应力矩形板的边界条件

1

22

1ax00===xyyyxxaτσσ

2

22

1cy0

0===xyyyxxcτσσ

3

ybx?

bxyyyxx-===τσσ00

4

yxe?2

2

exeyxyyyxx-===τσσ0

5

3

6

yg0

0===xyyyxxgyτσσ

当U才

能取为应力函数。

§3.4极坐标系中平面问题的基本方程

应力根据§2.1的应力张量坐标变换的方法，可以得出极坐标中应力分量与直角坐标系中应力分量的转换关系：

??

?

????-+-=-+=++=)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222

222θθτθθσστθθτθσθσσθ

θτθσθσσθθθxyxxyyrxyyyxxxyyyxxrr(3.20)

反过来

??

?

?

???

-+?-=++=-+=)sin(coscossin)(cossin2cossincossin2sincos222222θθτθθσστθθτθσθσσθ

θτθσθσσθθθθθθθθθrrrxyrrryyrrrxx(3.21)

由(3.20)还可以得到下面的关系式：

?

??

+-=+-+=+θθθθθθτσστσσσσσσixyxxyyrrryyxxrreii2)2()2((3.22)

极坐标的位移分量θuur,与直角坐标系中的位移分量间有如下关系：

???

?

??????

??-=??????vuuurθθθθθcossinsincos(3.23)上式也可表示为

θθireivuiuu-+=+)()((3.24)

应力应变关系统一写成

?

???

?

????+==-=-=

θθ?θθθθθθσνσμεσνσεσνσεrrrrrrrrEEE''121]'[1]'[1

r(3.25)

其中'E,'ν参见(3.7)式。

平衡方程

??

???

=+??++??=+??+-+??01201θθθ

θθθθθθσττθτσσσfrrrfrrrrrrrrrrr(3.26)§3.5应力函数的复变函数表示

弹性力学的复变函数解法由Muskhelishvili(1953)等系统研究，并形成了一套完整的解法。这些方法在断裂力学中也得到广泛应用。

在以下讨论中，我们假定体力为零。在3.3节，我们已经引进了应力函数),(yxU使各应力分量满足(3.13),从而使U成为双调和函数，04=?U。进一步，我们选择解析函数)(zφ和

)(zg，将U表示为

[])()(RezgzzU+=?(3.27)

记)(')(zgz=ψ。可以验证

?

??

'+''=+-'=+)]()([22)](Re[4zzzizxyxxyyxxyyψ?τσσ?σσ(3.28)

上式称为柯洛索夫公式。利用虎克定律求出应变xxε和yyε，然后利用应变与位移的关系作积分，得到位移的复变函数表示为

)()()()(2zzzzivuψ?κ?μ-'-=+(3.29)

其中)(z?和)(zψ分别表示)(z?和)(zψ的共轭函数，的定义参见(3.12)式。利用坐标变换可以得出，在极坐标系中，柯洛索夫公式可以表示为

??

?

??

-'-=+'+''=+-'=+-θθθθθθθθψ?κ?μψ?τσσ?σσirirrrrrezzzziuuezzziz])()()([)(2)]()([22)](Re[42(3.30)

将上式中的第一式减第二式得到另一个相当有用的公式：

θθψ???τσirrrezzzzzi2)]()([)(')(''+''-+=-(3.31)

(3.27)的另一种写法为

[]

)()()()(2

1

zgzgzzzzU+++=

??(3.32)称之为古莎公式。

§3.6边界条件的复变函数表示

3.6.1力的边界条件

通常给定物体边界上应力矢量xT，yT。利用Cauchy公式(2.9)

?

??

+=+=.,yyxyyyxxxxmlTmlTσττσ(3.33)

由图(3.1)可知

dsdyxNl/),cos(==，dsdxyNm/),cos(-==

再利用(3.19)式，将应力用应力函数表示，得到

dsdx

yU

xdsdyy

U

ydsdxyxUdsdyyUTx???

???????+??????????=

???+??=222所以

???

?????=

yUdsdTx???

????-=xUdsdTy(3.34)图3.1

参照柯洛索夫公式，我们用应力矢量的复数表达式

????

????+??-=???????-????????=+yUixUdsdixUdsdiyUdsdiTTyx利用古莎公式(3.32)，[]

)()()()(21

zgzgzzzzU+++=

??，有[

]

[

]

??

?

??

??-+-++-=??+++++=??)(')(')(')()(')(2)(')(')(')()(')(2

1zgzgzzzzzzi

y

UzgzgzzzzzzxU

????????记)(')(zgz=ψ，得到

[]

)()(')(zzzzy

U

ixUψ??++=??+??(3.35)因此得

[]

)()()(zzzzds

d

i

iTTyxψ??++-=+或者

[]

)()()()(zzzzds

d

iTTiyxψ??++=

+(3.36)将上式沿物体边界对弧长积分，例如从A到B(图3.1),则得

?++=+B

ABAyxzzzzdsiTTi])(')(')([)(ψ??(3.37)

上式中?+B

A

yxdsiTTi)(等于在边界上AB段内应力矢量的主矢量iYX+,其中X,Y分别为AB段上

应力矢量得主矢R在x,y方向上的投影。

如果选定A点为边界上的某一基点(定点),B点为边界上的任意点(动点),则Bz记为z,而式(3.37)可写成

A

zzB

A

yxzzzzdsiTTizzzz=++++=++?])(')(')([)(])(')(')([ψ??ψ??(3.38)

可以证明(参见尹祥础，1995),如果取

0])(')(')([=++=A

zzzzzzψ??

并不影响应力和位移，因而可以使(3.38)简化为

?+=++B

A

yxdsiTTizzzz)(])(')(')([ψ??(3.39)

上式就是用)(z?、)(zψ表示的力的边界条件。其中A点为边界上的某一固定点,B点代表动点(x,y)。

同理可得

BAABzzzzzzgM)](')()(Re[?ψ--=(3.40)

其中ABM表示作用在边界AB段上所有外力对原点的合力矩。

3.6.2位移的边界条件

对于边界上的位移给定为

),(yxuu=),(yxvv=

的情况，按柯洛索夫公式，可立即得到其边界条件为

)],(),([2)()()(yxivyxuzzzz+=-'-μψ?κ?(3.41)

§3.7用复变函数方法解弹性力学平面问题的若干实例

3.7.1均匀应力场

取复应力函数

Hz=?zH'=ψ(3.42)

其中H,H’为复常数，

iCBH+='''iCBH+=

其中B,B’,C,C’为实常数。按柯洛索夫公式

?

??

+=='+''=+-='=+)''(2'2)]()([224)](Re[4iCBHzzziBzxyxxyyxxyyψ?τσσ?σσ

由上式可得

'2BBxx-=σ'2BByy+=σ'Cxy=τ(3.43)

可见，应力函数(3.42)代表均匀应力场。适当地选择各常数的值，可以得到不同的应力状态。另

外，由(3.43)可知，C的值对应力值不起作用，故取0=C。

1.沿x方向的单向拉伸，拉应力为1σ。远场边界条件为1σσ=xx，0==xyyyτσ，代入(3.43)得4/1σ=B,2/'1σ-=B,0'=C。因此复应力函数为

4/)(1zzσ?=,2/)(1zzσψ-=(3.44)

2.沿yx,两个方向双向拉伸，拉应力分别为1σ和2σ.

远场边界条件为1σσ=xx,2σσ=yy,0=xyτ。代入(3.43)得到4/)(21σσ+=B,

2/)('12σσ-=B,0'=C,因此复应力函数为

()4/)(21zz?+=σσ?,()2/)(12zz?-=σσψ(3.45)

3.纯剪，剪应力为0τ

远场边界条件为0==yyxxσσ,0ττ=xy，类似地得到0'==BB，0'τ=C，复应力函数为

0)(=z?,ziz?=τψ)((3.46)3.最一般的情况。主应力为1σ，2σ。1σ与x轴的夹角为α。由柯洛索夫公式

?

??

+=-=+-=+=+-)''(2)(2422121iCBeiBixyxxyyxxyyασσσσσσσσσ

解之得

4

2

1σσ+=

B，ασσ2cos2

'2

1-=

Bασσ2sin2

'2

1-=

C(3.47)

相应的复应力函数为

?

?

???

?-=?+=

-α

σσψσσ?izezz

z2212

12)(4

)((3.48)位移：将式(3.42)代入位移的柯洛索夫公式(3.29),将实部与虚部分开得到：

??

?

??

??+-+++=-+=}]')1([]')1({[21

}]')1([]')1({[21yBBxCCvyCCxBBuκκμκκμ

(3.49)3.7.2无限大平板中有一圆孔，孔壁受均匀压力p(图3.2)

取

0)(=z?,zz/)(αψ=(3.50)

按柯洛索夫公式，

??

?

??

-=-'-=+-=='+''=+-='=+--rezzzziuurezezzziziriirrrrr/])()()([)(22)('2)]()([220)](Re[4222αψ?κ?μαψψ?τσσ?σσθθθθθθθθθ

解之得

2/rrrασ=，2/rασθθ-=，0=θτr

)2/(rurμα-=，0=θu.

利用孔壁内边界条件：Rr=时，prr-=σ,得2pR-=α,最后得到

?????==-=0,/,/2222θθθτσσrrrrpRrpR??

?

==02/2θμurpRur(3.51)

在孔壁上Rr=,prr-==-σσθθ,即

p=θθσ(3.52)

在岩体中钻孔后施加压力p,只要能测出在p作用下孔壁的径向位移Rrru=|,就可求出μ。

3.7.3带圆孔无限大平板受到单向拉力的问题

如图3.3所示，在无限大平板中有一圆孔，半径为R.在无限远处受到单向拉力1σ的作用，并取此方向为x轴。

取如下的解：

??

?

?????

????++-=??

?

??

+=

3112)(4)(zCzBzzzAzzσψσ?(3.53)

其中A,B,C均为实常数。本问题的边界条件为

Rr=时，0=rrσ，0=θσr

可求出

22RA=，2RB=，4RC-=.(3.54)

最后得

图3.2无限大介质中，

圆孔受均匀内压问题

?

???

??????

?

??

??-+-=????

??+-??????+=????

??+-+??????

-=θσσθσσσθσσσθθθ2sin32122cos312122cos34121244

22144

122144221221rRrRrRrRrRrRrRrrr(3.55)和断裂力学直接相关的是孔边的周向应力Rr=|θθσ，在式(3.55)中第二式中令r=R,得

)2cos21(|1θσσθθ-==Rr(3.56)

当90±=θ(图3.4中A、B两点),1max3σσθθ=，即应力集中系数α为3(最大应力与平均应

力之比)。

当30<θ时，θθσ与1σ异号。这意味着当01<σ为压应力时，在30<θ范围内θθσ为拉应力。特别当0=θ时，1σσθθ-=。

图3.3带圆孔平板的受单向拉力问题图3.4

再将式(3.53)、(3.54)代入柯洛索夫公式中，可求得位移为

???

???

?????????????--+-=??????????

??-++++-=θκσμθκθκσμθ2sin12282cos112)2cos21(8221221rRrRRrRurRrRRrRur(3.57)

孔壁的径向位移RrrRuu==|也有特别重要的意义。将Rr=代入上式即可得

)2cos21(8)1(1

θμ

σκ+??+=RuR(3.58)

3.7.4带圆孔无限大平板受到双向拉力的问题

当沿x方向作用主应力1σ，沿y方向作用主应力2σ时，利用叠加原理，可得到其应力分布及孔壁径向位移分别为

???

???

???????-++?+=??????-+?--=??????+?--??????+?+=??????+-?-+??????-?+=].

2cos)(2)[(8)1(,2sin321)(21,2cos31)(211)(21

,2cos341)(211)(21

212144

222144

2122214422212221θσσσσμκθσσσθσσσσσθσσσσσθθθRurRrRrRrRrRrRrRRrrr(3.59)

在式(3.59)中第二式中令r=R,得

()()θσσσσσθθ2cos2|2121--+==Rr(3.60)当90±=θ(图3.5中A、B两点)时,21max3σσσθθ-=。

当0=θ或180=θ(图3.5中C、D两点)时，

213σσσθθ+-=(3.61)当1σ、2σ均为压应力时，若记1σ、2σ为绝对值,则上述各式中1σ、2σ换为1σ-、2σ-。

§3.8地应力和地应力的测量

地壳中的应力场是地学中的基本课题之一。它与地学中的许多重大课题(诸如地震的孕育与预报，构造物理学等)密切相关。一般认为，地应力的三个主应力方向分别沿水平方向和垂直方向。其中垂直方向记为vσσ=z，水平方向的两个主应力按绝对值大小记为maxHσ和minHσ。当然，也有些地区不满足上述假设，这些地方的主应力与垂直向或水平向成某种角度。

最简单的地应力状态是没有构造应力的地壳上部应力场。在这种情况下，ghvρσ-=，其中ρ为岩石密度(例如花岗闪长岩的2g/cm7.2=ρ，h为深度，g为重力加速度。假定水平方向没有变形，即0===xyyyxxεεε。代入(2.94)式，有

[]01

=+-=）（zzyyxxxxσE

σνσε[]01=+-=

）（xxzzyyyyσE

σνσε得到

ghHHρν

ν

σσ--=

=1minmax(3.62)地应力状况分几种类型。如令||||||321σσσ≥≥，则按照绝对值可划分为：1垂直向为中间主应力(即max1Hσσ=,vσσ=2,min3Hσσ=)，2垂直向为最大主压应力(