数学苏教版选修2-2学案第二章推理与证明2-1-1第1课时

/12/12/2.1.1合情推理第1课时归纳推理学习目标1.了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理.2.了解归纳推理在数学发现中的作用．知识点一推理思考案例1：由矩形的对角线的平方等于长、宽的平方和，得出长方体的对角线的平方等于长、宽、高的平方和．案例2：由所有的金属若能导电，铜是金属得出铜能导电．结合案例，想一想什么是推理？答案推理是从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程．梳理(1)推理的定义从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理．(2)推理的组成任何推理都包含前提和结论两个部分，前提是推理所依据的命题，它告诉我们已知的知识是什么；结论是根据前提推得的命题，它告诉我们推出的知识是什么．知识点二归纳推理思考(1)铜、铁、铝、金、银等金属都能导电，猜想：一切金属都能导电．(2)统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体．以上属于什么推理？答案属于归纳推理．符合归纳推理的定义特征，即由部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理．梳理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程大致如图eq\x(实验、观察)→eq\x(概括、推广)→eq\x(猜测一般性结论)(3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑推理和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．类型一数列中的归纳推理例1已知f(x)＝eq\f(x,1－x)，设f1(x)＝f(x)，fn(x)＝fn－1(fn－1(x))(n>1，且n∈N*)，则f3(x)的表达式为________，猜想fn(x)(n∈N*)的表达式为________．答案eq\f(x,1－4x)eq\f(x,1－2n－1x)解析∵f(x)＝eq\f(x,1－x)，∴f1(x)＝eq\f(x,1－x).又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)＝f1(f1(x))＝eq\f(\f(x,1－x),1－\f(x,1－x))＝eq\f(x,1－2x)，f3(x)＝f2(f2(x))＝eq\f(\f(x,1－2x),1－2×\f(x,1－2x))＝eq\f(x,1－4x)，f4(x)＝f3(f3(x))＝eq\f(\f(x,1－4x),1－4×\f(x,1－4x))＝eq\f(x,1－8x)，f5(x)＝f4(f4(x))＝eq\f(\f(x,1－8x),1－8×\f(x,1－8x))＝eq\f(x,1－16x)，∴根据前几项可以猜想fn(x)＝eq\f(x,1－2n－1x).引申探究在本例中，若把“fn(x)＝fn－1(fn－1(x))”改为“fn(x)＝f(fn－1(x))”，其他条件不变，试猜想fn(x)(n∈N*)的表达式．解∵f(x)＝eq\f(x,1－x)，∴f1(x)＝eq\f(x,1－x).又∵fn(x)＝f(fn－1(x))，∴f2(x)＝f(f1(x))＝eq\f(\f(x,1－x),1－\f(x,1－x))＝eq\f(x,1－2x)，f3(x)＝f(f2(x))＝eq\f(\f(x,1－2x),1－\f(x,1－2x))＝eq\f(x,1－3x)，f4(x)＝f(f3(x))＝eq\f(\f(x,1－3x),1－\f(x,1－3x))＝eq\f(x,1－4x).因此，可以猜想fn(x)＝eq\f(x,1－nx).反思与感悟在数列问题中，常常用到归纳推理猜测数列的通项公式或前n项和．(1)通过已知条件求出数列的前几项或前n项和．(2)根据数列中的前几项或前n项和与对应序号之间的关系求解．(3)运用归纳推理写出数列的通项公式或前n项和公式．跟踪训练1已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq\f(2,3)，且Sn＋eq\f(1,Sn)＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4，并猜想Sn的表达式．解当n＝1时，S1＝a1＝－eq\f(2,3)；当n＝2时，eq\f(1,S2)＝－2－S1＝－eq\f(4,3)，所以S2＝－eq\f(3,4)；当n＝3时，eq\f(1,S3)＝－2－S2＝－eq\f(5,4)，所以S3＝－eq\f(4,5)；当n＝4时，eq\f(1,S4)＝－2－S3＝－eq\f(6,5)，所以S4＝－eq\f(5,6).猜想：Sn＝－eq\f(n＋1,n＋2)，n∈N*.类型二等式与不等式中的归纳推理例2(1)观察下列等式：1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，…，据此规律，第n个等式可为_______________________________________________________．答案1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)解析等式左边的特征：第1个有2项，第2个有4项，第3个有6项，且正负交错，故第n个等式左边有2n项且正负交错，应为1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；等式右边的特征：第1个有1项，第2个有2项，第3个有3项，故第n个等式右边有n项，且由前几个等式的规律不难发现，第n个等式右边应为eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n).(2)观察下列式子：1＋eq\f(1,22)<eq\f(3,2)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)<eq\f(5,3)，1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)<eq\f(7,4)，…，猜想第n个不等式为________________．答案1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋…＋eq\f(1,?n＋1?2)<eq\f(2n＋1,n＋1)解析第1个不等式：1＋eq\f(1,?1＋1?2)<eq\f(2×1＋1,1＋1)，第2个不等式：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,?2＋1?2)<eq\f(2×2＋1,2＋1)，第3个不等式：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,?3＋1?2)<eq\f(2×3＋1,3＋1)，…，故猜想第n个不等式：1＋eq\f(1,22)＋eq\f(1,32)＋eq\f(1,42)＋…＋eq\f(1,?n＋1?2)<eq\f(2n＋1,n＋1).反思与感悟已知等式或不等式进行归纳推理的方法(1)要特别注意所给几个等式(或不等式)中项数和次数等方面的变化规律．(2)要特别注意所给几个等式(或不等式)中结构形成的特征．(3)提炼出等式(或不等式)的综合特点．(4)运用归纳推理得出一般结论．跟踪训练2(1)已知x>1，等式x＋eq\f(1,x)>2；x2＋eq\f(2,x)>3；x3＋eq\f(3,x)>4；…，可以推广为________．答案xn＋eq\f(n,x)>n＋1解析不等式左边是两项的和，第一项是x，x2，x3，…，右边的数是2,3,4，…，利用此规律观察所给不等式，都是写成xn＋eq\f(n,x)>n＋1的形式，从而归纳出一般性结论：xn＋eq\f(n,x)>n＋1.(2)观察下列等式：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,3)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,3)))－2＝eq\f(4,3)×1×2；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,5)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(4π,5)))－2＝eq\f(4,3)×2×3；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,7)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,7)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(6π,7)))－2＝eq\f(4,3)×3×4；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,9)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,9)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(8π,9)))－2＝eq\f(4,3)×4×5；…，照此规律，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(π,2n＋1)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2π,2n＋1)))－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,2n＋1)))－2＋…＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(2nπ,2n＋1)))－2＝__________.答案eq\f(4,3)×n×(n＋1)解析观察等式右边的规律：第1个数都是eq\f(4,3)，第2个数对应行数n，第3个数为n＋1.类型三图形中的归纳推理例3如图，第n个图形是由正n＋2边形“扩展”而来(n＝1,2,3，…)，则第n个图形中顶点的个数为________．答案(n＋2)(n＋3)解析由已知中的图形我们可以得到：当n＝1时，顶点共有12＝3×4(个)，当n＝2时，顶点共有20＝4×5(个)，当n＝3时，顶点共有30＝5×6(个)，当n＝4时，顶点共有42＝6×7(个)，…，则第n个图形共有顶点(n＋2)(n＋3)个．反思与感悟图形中归纳推理的特点及思路(1)从图形的数量规律入手，找到数值变化与数量的关系．(2)从图形结构变化规律入手，找到图形的结构每发生一次变化后，与上一次比较，数值发生了怎样的变化．跟踪训练3黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案，则第n个图案中有黑色地面砖的块数是________．答案5n＋1解析观察图案知，从第一个图案起，每个图案中黑色地面砖的个数组成首项为6，公差为5的等差数列，从而第n个图案中黑色地面砖的个数为6＋(n－1)×5＝5n＋1.1．有一串彩旗，?代表蓝色，?代表黄色．两种彩旗排成一行：???????????????????????????…，那么在前200个彩旗中黄旗的个数为________．答案67解析观察彩旗排列规律可知，颜色的交替成周期性变化，周期为9，每9个旗子中有3个黄旗．则200÷9＝22余2，则200个旗子中黄旗的个数为22×3＋1＝67.2．按照图1、图2、图3的规律，第10个图中圆点的个数为________．答案40解析图1中的点数为4＝1×4，图2中的点数为8＝2×4，图3中的点数为12＝3×4，图4中的点数为16＝4×4，…，所以图10中的点数为10×4＝40.3．已知a1＝1，a2＝eq\f(1,3)，a3＝eq\f(1,6)，a4＝eq\f(1,10)，则数列{an}的一个通项公式an＝________.答案eq\f(2,n?n＋1?)解析a1＝eq\f(2,1×2)，a2＝eq\f(2,2×3)，a3＝eq\f(2,3×4)，a4＝eq\f(2,4×5)，则an＝eq\f(2,n?n＋1?).4．从1＝12,2＋3＋4＝32,3＋4＋5＋6＋7＝52中得出的一般性结论是________．答案n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*解析从三个等式观察知第n个等式的左边有2n－1个连续正整数，第一个数是n，最后一个是3n－2.5．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，求第n行(n≥3)从左向右数第3个数．解前(n－1)行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即eq\f(n2－n,2)个，因此第n行第3个数是全体正整数中第eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(n2－n,2)＋3))个，即为eq\f(n2－n＋6,2).1．归纳推理的一般步骤(1)通过观察某类事物的个别情况，发现某些相同性质．(2)对这些性质进行归纳整理，得到一个合理的结论．(3)猜想这个结论对该类事物都成立．2．归纳推理应注意的问题归纳推理可从具体事例中发现一般规律，但应注意，仅根据一系列有限的特殊事例，所得出的一般结论不一定可靠，其结论的正确与否，还要经过严格的理论证明．课时作业一、填空题1．如图所示的是一串白黑相间排列的珠子，按这种规律往下排，那么第36颗珠子的颜色是________色．答案白解析通过观察发现，每5颗珠子为一组，前3颗为白色，后2颗为黑色，所以36＝35＋1＝5×7＋1，得第36颗珠子一定为白色．2．根据给出的数塔猜测×9＋7＝________.1×9＋2＝1112×9＋3＝111123×9＋4＝11111234×9＋5＝1111112345×9＋6＝…答案解析由数塔猜测应是各位都是1的七位数，即.3．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，….若eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))(a，b∈R),则a，b的值分别为________，________.答案635解析观察式子的特点可知，分式eq\f(a,b)的分子a与根号外的数相同，而分母b则为该数的平方减1.4．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33＝________.答案3解析∵a1＝3，a2＝6，a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3,∴周期T＝6，∴a33＝a3＝3.5．根据三角恒等变换，可得如下等式：cosθ＝cosθ，cos2θ＝2cos2θ－1，cos3θ＝4cos3θ－3cosθ，cos4θ＝8cos4θ－8cos2θ＋1，cos5θ＝16cos5θ－20cos3θ＋5cosθ.依此规律，猜想cos6θ＝32cos6θ＋mcos4θ＋ncos2θ－1，其中m＋n＝________.答案－30解析由所给一系列式子得，等式右边各系数与常数项之和为1，即32＋m＋n－1＝1，得m＋n＝－30.6．已知数列{an}满足条件(n－1)·an＋1＝(n＋1)·an－n－1，且a2＝6，设bn＝an＋n(n∈N*)，则数列{bn}的通项公式bn＝________.答案2n2解析a1＝1，a2＝6，a3＝15，a4＝28，b1＝2，b2＝8，b3＝18，b4＝32.可以通过求数列{an}的通项公式来求数列{bn}的通项公式．我们发现a1＝1＝1×1；a2＝6＝2×3；a3＝15＝3×5；a4＝28＝4×7；…，猜想an＝n×(2n－1)，进而猜想bn＝2n2－n＋n＝2n2.7．用火柴棒摆“金鱼”，如图所示．按照图中所示的规律，第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为________．答案6n＋2解析从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n＋2.8．已知f(1)＝1，f(2)＝3，f(3)＝4，f(4)＝7，f(5)＝11，…，则f(10)＝________.答案123解析由题意可得f(3)＝f(1)＋f(2)，f(4)＝f(2)＋f(3)，f(5)＝f(3)＋f(4)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18，f(7)＝f(5)＋f(6)＝29，f(8)＝f(6)＋f(7)＝47，f(9)＝f(7)＋f(8)＝76，f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.9．经计算发现下列不等式：eq\r(2)＋eq\r(18)<2eq\r(10)，eq\r(4.5)＋eq\r(15.5)<2eq\r(10)，eq\r(3＋\r(2))＋eq\r(17－\r(2))<2eq\r(10)，…，根据以上不等式的规律，试写出一个对正实数a，b都成立的条件不等式：____________________________________.答案已知a，b为正实数，且a≠b，若a＋b＝20，则eq\r(a)＋eq\r(b)<2eq\r(10)10．观察下列等式：12＝1，12－22＝－3，12－22＋32＝6，12－22＋32－42＝－10，…，照此规律，第n个等式可为________．答案12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1·eq\f(n?n＋1?,2)解析12＝1，12－22＝－(1＋2)，12－22＋32＝1＋2＋3，12－22＋32－42＝－(1＋2＋3＋4)，…，12－22＋32－42＋…＋(－1)n＋1n2＝(－1)n＋1(1＋2＋…＋n)＝(－1)n＋1eq\f(n?n＋1?,2).11．定义A*B，B*C，C*D，D*B分别对应下列图形那么下列图形中，可以表示A*D，A*C的分别是________．答案(2)，(4)解析由已知图形，抓共性不难总结出：A“|”，B“□”(大)，C“—”，D“□”(小)．故A*D为(2)，A*C为(4)．12．设n≥2，n∈N，(2x＋eq\f(1,2))n－(3x＋eq\f(1,3))n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，将|ak|(0≤k≤n)的最小值记为Tn，则T2＝0，T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T4＝0，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，…，Tn，…，其中Tn＝________.答案Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，n为偶数，,\f(1,2n)－\f(1,3n)，n为奇数))解析由T2＝0，T4＝0，…猜想Tn＝0(n为偶数)．T3＝eq\f(1,23)－eq\f(1,33)，T5＝eq\f(1,25)－eq\f(1,35)，…猜想Tn＝eq\f(1,2n)－eq\f(1,3n)(n为奇数)．因此可得Tn＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，π为偶数，,\f(1,2n)－\f(1,3n)，n为奇数.))二、解答题13．已知sin230°＋sin290°＋sin2150°＝eq\f(3,2)，sin25°＋sin265°＋sin2125°＝eq\f(3,2)，sin221°＋sin281°＋sin2141°＝eq\f(3,2).通过观察上述等式的规律，写出一般性规律的命题，并给出证明．解猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(3,2).证明如下：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝eq\f(1,2)[1－cos(2α－120°)]＋eq\f(1,2)(1－cos2α)＋eq\f(1,2)[1－cos(2α＋120°)]＝eq\f(1,2)[(1－cos2αcos120°－sin2αsin120°)＋(1－cos2α)＋(1－cos2αcos120°＋sin2αsin120°)]＝eq\f(1,2)(3－2cos2α