江苏省无锡市江阴市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）

/19/19/江苏省无锡市江阴市2019-2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则＝（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先化简，再由，求.【详解】因为又因为所以故选：B【点睛】本题主要考查了集合的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.2.设（﹣3，3），（﹣5，﹣1），则等于（）A.（﹣2，4） B.（1，2） C.（4，﹣1） D.（﹣1，﹣2）【答案】D【解析】【分析】由（﹣3，3），（﹣5，﹣1），求得即可.【详解】因为（﹣3，3），（﹣5，﹣1）所以所以故选：D【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.3.扇形的圆心角为，半径为，则此扇形的面积为（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据扇形的面积公式计算即可.【详解】由题意可得圆心角，半径，所以弧长,故扇形面积为.【点睛】本题主要考查扇形的面积公式，属于基础题型.4.tan255°=A.－2－ B.－2+ C.2－ D.2+【答案】D【解析】【分析】本题首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．【详解】详解：=【点睛】三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．5.将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移3个单位，则得到的图象的函数解析式是（）A.y＝2sin（2x）+3 B.y＝2sin（2x）+3C.y＝2sin（2x）+3 D.y＝2sin（2x）﹣3【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的平移变换，左加右减，上加下减来求解.【详解】将函数y＝2sin2x的图象向左平移个单位，得到，再向上平移3个单位，得到故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数的平移变换，还考查了数形结合的思想，属于基础题.6.已知向量，满足（x，1），（1，﹣2），若∥，则（）A（4，﹣3） B.（0，﹣3） C.（，﹣3） D.（4，3）【答案】C【解析】【分析】根据（x，1），（1，﹣2），且∥，求得向量的坐标，再求的坐标.【详解】因为（x，1），（1，﹣2），且∥，所以，所以，所以（，1），所以.故选：C【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.7.设函数，则函数是（）A.偶函数，且在上是减函数 B.奇函数，且在上是减函数C.偶函数，且在上是增函数 D.奇函数，且在上是增函数【答案】D【解析】定义域为，因为，所以，所以函数为奇函数，为增函数，为增函数，所以在定义域内仍为增函数，故选D8.已知,，直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因为直线和是函数图像的两条相邻的对称轴，所以T=．所以ω=1，并且sin（+φ）与sin（+φ）分别是最大值与最小值，0＜φ＜π，所以φ=．故选：A．9.酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到了1mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶汽车？（）（参考数据：lg0.2≈﹣0.7，1g0.3≈﹣0.5，1g0.7≈﹣0.15，1g0.8≈﹣0.1）A.1 B.3 C.5 D.7【答案】C【解析】【分析】根据题意先探究出酒精含量的递减规律，再根据能驾车的要求，列出模型求解.【详解】因为1小时后血液中酒精含量为（1-30%）mg/mL,x小时后血液中酒精含量为（1-30%）xmg/mL的，由题意知100mL血液中酒精含量低于20mg的驾驶员可以驾驶汽车，所以，，两边取对数得，，，所以至少经过5个小时才能驾驶汽车.故选：C【点睛】本题主要考查了指数不等式与对数不等式的解法，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于基础题.10.已知函数的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小顺序为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先可求出，再由得，由得，将其转化为、与的交点，数形结合即可判断.【详解】解：由得，，由得，由得.在同一平面直角坐标系中画出、、的图象，由图象知，，.故选：B【点睛】本题考查函数的零点，函数方程思想，对数函数、指数函数的图象的应用，属于中档题.11.已知△ABC是边长为2的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，在线段DE取点F，使得DF＝2FE，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先将用表示，再由三角形为边长为2的等边三角形，得到，最后用数量积公式计算.【详解】根据题意，，，又因为三角形为边长为2的等边三角形，所以，所以，故选：D【点睛】本题主要考查了向量的表示及运算，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.12.已知函数f（x），若0≤b＜a，且f（a）＝f（b），则bf（a）取值范围为（）A.（，] B.[，+∞） C.[0，] D.[，]【答案】A【解析】【分析】作出函数图象，易知b的范围，再将bf（a）转化为bf（b），用二次函数法求解.【详解】如图所示：因为f（a）＝f（b），可知：，所以bf（a）=bf（b）=b(b+)=，所以bf（a）的取值范围为（，].故选：A【点睛】本题主要考查了图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分.13.设α∈{﹣2，﹣1，，，1，2}．使y＝xa为奇函数且在（0，+∞）上单调递减的α值为_____．【答案】-1【解析】【分析】先根据单调性确定α值为负，然后再验证奇偶性.【详解】因为y＝xa在（0，+∞）上单调递减，所以α，当α=-2时，，是偶函数，当时，，定义域不关于原点对称，非奇非偶函数，当时，，是奇函数.故答案为：-1【点睛】本题主要考查了幂函数的图象和性质，还考查了理解辨析的能力，属于基础题.14.在平面直角坐标系中，向量（3，4），向量，（λ＜0），若＝1，则向量的坐标是_____．【答案】【解析】【分析】先由向量（3，4）及，表示向量的坐标，再利用＝1求解.【详解】因为向量（3，4），所以向量，所以，所以，又因为λ＜0，所以.所以.故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.15.计算lgln的结果是_____．【答案】【解析】【分析】先将lgln，变形为，再利用对数的性质求解.【详解】lgln，，.故答案为：【点睛】本题主要考查了对数的性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题.16.对于函数y＝f（x），若在其定义域内存在x0，使得x0f（x0）＝1成立，则称函数f（x）具有性质M．（1）下列函数中具有性质M的有____①f（x）＝﹣x+2②f（x）＝sinx（x∈[0，2π]）③f（x）＝x，（x∈（0，+∞））④f（x）（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，则实数a的取值范围是____．【答案】(1).①②④(2).a或a＞0【解析】【分析】（1）①因为f（x）＝﹣x+2，若存在，则，解一元二次方程即可.②若存在，则，即，再利用零点存在定理判断.③若存在，则，直接解方程.④若存在，则，即，令，再利用零点存在定理判断.（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，则ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，将问题转化：当时，有解，当时，有解，分别用二次函数的性质求解.【详解】（1）①因为f（x）＝﹣x+2，若存在，则，即，所以，存在.②因为f（x）＝sinx（x∈[0，2π]），若存在，则，即，令，因为，所以存在.③因为f（x）＝x，（x∈（0，+∞）），若存在，则，即，所以不存在.④因为f（x），（x∈（0，+∞）），若存在，则，即，令，因为，所以存在.（2）若函数f（x）＝a（|x﹣2|﹣1）（x∈[﹣1，+∞））具有性质M，则ax（|x﹣2|﹣1）=1，x∈[﹣1，+∞）有解，当时，有解，令，所以.当时，有解，令，所以.综上：实数a的取值范围是a或a＞0.故答案为：(1).①②④(2).a或a＞0【点睛】本题主要考查了函数的零点，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.已知不共线的向量满足，，的夹角为θ．（1）θ＝30°，求的值；（2）若，求cosθ的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据，，的夹角θ＝30°，通过求解.（2）由，得，展开求解.【详解】（1）因为，，的夹角）θ＝30°，所以.（2）因为，所以，所以，所以，所以.【点睛】本题主要考查了数量积的运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.18.已知集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣x+12）}，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}．（1）若m＝2，求（?RA）∩B；（2）若A∩B＝B，求实数m的取值范围．【答案】（1）{x|3≤x＜5}；（2）（﹣∞，1]【解析】【分析】（1）先化简集合A，再求得?RA，由m＝2，得B＝{x|1＜x＜5}，然后求（?RA）∩B.（2）由A∩B＝B，得到B?A，再分B＝?时，由m﹣1≥2m+1求解，当B≠?时，有求解，最后取并集.【详解】（1）集合A＝{x|y＝ln（﹣x2﹣x+12）}＝{x|﹣x2﹣x+12＞0}＝{x|﹣4＜x＜3}，所以?RA＝{x|x≤﹣4或x≥3}，当m＝2时，B＝{x|m﹣1＜x＜2m+1，m∈R}＝{x|1＜x＜5}，所以（?RA）∩B＝{x|3≤x＜5}.（2）因为A∩B＝B，所以B?A，当B＝?时，m﹣1≥2m+1，解得m≤﹣2；当B≠?时，有，解得﹣2＜m≤1，综上：实数m的取值范围是（﹣∞，1].【点睛】本题主要考查了集合的关系及基本运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.19.在平面直角坐标系xOy中，已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边上有一点P的坐标是（3a，a），其中a≠0．（1）求cos（α）的值；（2）若tan（2α+β）＝1，求tanβ的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据题意，当a＞0时，点P在第一象限，求出cosα，sinα，再利用两角差的余弦求解，同理，当a＜0时，点P在第三象限，按同样的方法求解（2）由终边上点P（3a，a），可得tan，用二倍角公式求出tan2α，又因为tan（2α+β）＝1，利用角的变换转为tanβ＝求解.【详解】（1）由题意可得，当a＞0时，点P在第一象限，cosα，sinα，所以cos（），当a＜0时，点P在第三象限，cos，sin，所以cos（）.（2）由题意可得，tan，故tan2α，因为tan（2α+β）＝1，故tanβ＝.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.20.已知向量（2sinx，cosx），（cosx，2cosx）．（1）若x≠kπ，k∈Z，且，求2sin2x﹣cos2x值；（2）定义函数f（x），求函数f（x）的单调递减区间；并求当x∈[0，]时，函数f（x）的值域．【答案】（1）；（2）单调递减区间为[k]，k∈Z，值域[1，4]【解析】【分析】（1）由，得，从而求得tanx，再用商数关系，转化2sin2x﹣cos2x求解.（2）化简函数f（x）=2sin（2x）+2，利用整体思想，令2x可求得减区间.由x，得到2x，从而有sin（2x）求解.【详解】（1）因为，所以，因为x，所以cosx≠0，所以tanx，所以2sin2x﹣cos2x.（2）f（x）＝2sinxcosx+2cos2x+1cos2x+2＝2sin（2x）+2，令2x，解得，，故函数的单调递减区间为[k]，k∈Z.因为x，所以2x，所以sin（2x），所以函数f（x）的值域[1，4]．【点睛】本题主要考查了向量与三角函数的图象和性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知奇函数f（x），函数g（θ）＝cos2θ+2sinθ，θ∈[m，]．m，b∈R．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）在[0，1]上的单调性，并证明；（3）当x∈[0，1]时，函数g（θ）最小值恰为f（x）的最大值，求m的取值范围．【答案】（1）b＝0；（2）在[0，1]上的单调递增，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据函数f（x）为奇函数，令f（0）＝0求解.（2）函数f（x）在[0，1]上的单调递增，再利用函数的单调性定义证明.（3）根据（2）知，函数f（x）在[0，1]上的单调递增，得到．即g（θ）的最小值为，再令t＝sinθ，转化为二次函数求解.【详解】（1）因为函数f（x）为R上的奇函数，所以f（0）＝0，解得b＝0．（2）函数f（x）在[0，1]上的单调递增．证明：设则：f（x2）﹣f（x1），因为，所以x2﹣x1＞0，1﹣x1x2＞0，所以，即f（x2）f（x1），所以函数f（x）在[0，1]上的单调递增．（3）由（2）得：函数f（x）在[0，1]上的单调递增，所以．所以g（θ）的最小值为．令t＝sinθ，所以y的最小值为，令解得所以，即，所以又因为θ∈[m，]．m，b∈R，所以．【点睛】本题主要考查了函数的基本性质，还考查了转化化归的思想及运算求解的能力，属于难题.22.已知函数y＝f1（x），y＝f2（x），定义函数f（x）．（1）设函数f1（x）＝x+3，f2（x）＝x2﹣x，求函数y＝f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，g（x）＝mx+2（m∈R），函数h（x）＝f（x）﹣g（x）有三个不同的零点，求实数m的取值范围；（3）设函数f1（x）＝x2﹣2，f2（x）＝|x﹣a|，函数F（x）＝f1（x）+f2（x），求函数F（x）的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】