2021年全国各地中考数学试卷分类汇编：规律探索

规律探索

挑选题

1.(2021•泰安，20,3分)观察下列等式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,

36=729,37=2187...

解答下列问题：3+32+33+34…+32M的末位数字是()

A.0B.1C.3D.7

考点分析：尾数特征.

分析：根据数字规律得到3+32+33+34…+32021的末位数字相当于：3+7+9+1+...+3

进而得到末尾数字.

解答：解:,••31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187...

•••末尾数，每4个一循环，

2021^4=503...1,

A3+32+33+34...+32021K末位数字相当于:3+7+9+1+…+3的末尾数为3,

点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得到数字变化规律是解题关键.

2.(2021四川绵阳，12,3分)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1),

(3,5,7),(9,11,13,15,17),(19,21,23,25,27,29,31),…，

现用等式AM=G,j)表示正奇数M是第i组第j个数(从左往右数)，如A7=(2,3),

则A202尸(C)

A.(45,77)B.(45,39)C.(32,46)D.(32,23)

［解析［第1组的第一个数为I,第2组的第一个数为3,第3组的第一个数为9,第

4组的第一个数为19,第5组的第一个数为33……将每组的第一个数组成数列：1,3,

9,19,33...分别计作ai,a2,as,a4,as.....an,an表示第n组的第一个数，

1391933

相邻数取差得2

相邻数再取差得444

ai=1

a2=ai+2

as=az+2+4X1

a4=H3+2+4X2

as=a4+2+4X3

an=an-i+2+4X(n-2)

将上面各等式左右分别相加得：

an=1+2(n-1)+4(n-2+l)(n-2)/2=2n2-4n+3(上面各等式左右分别相加时，抵消了一

样部分ai+a2+aa+a4+as+...+an-1),

当n=45时，an=3873>2021,2021不在第45组

当n=32时，an=1923<2021,(2021-1923)4-2+1=46,A2O21=(32,46).

加入是非挑选题：则2n2-4n+3W2021,2n2-4n-2021^0,倘若2021是某组的第一个

数，则2n2-4n-2021=0,解得n=l+A/1006,

31<V1006<32,32<n<33,2021在第32组，但不是第32组的第一个数，a32=1923,

(2021-1923)4-2+1=46.

(注意区别an和An)

3.(2021湖南益阳，13,4分)下表中的数字是按一定规律填写的，表中。的值

应是

1235813a---

2358132134

【答案解析】：21

【试题解答】通过观察可知上一排每个数字等于其左下方的数字。

【方法指导】本题可以通过观察上下排数字的联系求出a的值，也可以根据“前两个数

字之和等于第三个数字”求出a=8+13=21。

4.（2021重庆市（A）,10,4分）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成,

其中第（1）个图形的面积为2cm2,第（2）个图形的面积为8cm2,第（3）个

A.196cm2B.200cm2C.216crrr

D.256cnr

【答案解析】B.

【试题解答】观察图形，第（1）个图形中有1M）个矩形，面积为2c小，即1X2=

2加；第⑵个图形中有4（22）个矩形，面积为8czM1即4X2=22X2=8而；第⑶个

图形有9（32）个矩形，面积为18cm5即9X2=322X2=1852；……，所以第（10）个

图形有100（102）个矩形，面积为：100X2=200c/.故选艮

【方法指导】本题考查数形规律探究功底.图形类规律探索题，通常先把图形型问题转化

为数字型问题，再从数字的特点来寻找规律进行解答.

5.（2021山东德州，12,3分）如图所示，动点P从（0,3）出发，沿所示的方向运

动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2021次碰到矩形的

边时，点P的坐标为()

第112瓢闱

A、(1,4)B、(5,0)C、(6,4)D、(8,3)

【答案解析】D

【试题解答】如下图,动点P(0,3)沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入

射角,

到①时，点P(3,0)；到②时,点P(7,4)

③时，

点P(8,3)；到④时，点P(5,0);到⑤时,

P(1,4)；到⑥时，点P(3,0),此时回到出发

点，继续...........，出现每5次一循环碰到矩形的边.因为2021=402X5+3(2021

4-5=402-3).所以点P第2021次碰到矩形的边时，点P的坐标为(8,3)

故选D.

【方法指导】本题考查了图形变换(轴对称)与平面直角坐标系规律探索.以平面直角坐

标系为背景，融合轴对称应用的点坐标规律的规律探索题，解题关键从操作中前面几

个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律.

6.(2021山东日照，11,4分)如图所示，下列各图形中的三个数之间均具有一样的规

律.根据此规律，图形中M与m、n的关系是

A.M=mnB.M=n(m+1)C.M=mn+1D.M=m(n+1)

【答案解析】D

【试题解答】由前面向个题的规律可得M=m（n+I）。

【方法指导】本题是考查找规律的问题，这类问题要求认真分析所给的信息，从而找到

一个能代表这个规律的式子来代替。

7.（2021湖南永州，8,3分）我们知道，一元二次方程/=T没有实数根，即不存

在一个实数的平方等于-1,若我们规定一个新数“"，使其满足I?=-1（即方程V=-1

有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有的运算律

和运算法则仍然成立，于是有/=_],

/=/"=（_]"=一。〃=（/尸=（_]）2=1.从而对任意正整数m我们可得到

产用=i4".j=（j4）".j=。同理可得*,+2=_],j4"+3=_j,j4"=],那么，

i+i2+『+/+…严12+严13的值为

A.0B.1C.-1D.

【答案解析】D.

【试题解答】由于1+/+『+/=，-17+1=0,而2013=4x503+1,

i+i2+/+f*+…严|2+严13=,所以本题选口。

【方法指导】对于数字规律题，有如下的步骤：

1.计算前几项，一般算出四五项；

2.找出几项的规律，这个规律或是循环，或是成一定的数列规律如等差，等比等。

3.用代数式表示出规律或是得到循环节（即几个数一个循环）；

4.验证你得到的结论。

8.（2021重庆，11,4分）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中

第①个图形有1颗棋子，第②个图形一共有6颗棋子，第③个图形一共有16颗棋子,

则第⑥个图形中棋子的颗数为（）

••••

•••••••••...

••••••

•••

图①图②图③

（第11题图）

A.51B.70C.76D.81

【答案解析】C

【试题解答】第①个图形有1个棋子，第②个图形有1+5个棋子，第③个图形有1+5+10

个棋子，由此可以推知：第④个图形有1+5+10+15个棋子，第⑤个图形有1+5+10+15+20

个棋子，第⑥个图形有1+5+10+15+20+25个棋子.故选C.

【方法指导】本题是一道规律探索题，考查观察分析图形并探索归纳规律的功底.解决

此类问题应先观察图形的变化趋势，从第一个图形开始进行分析，是逐渐增加还是减

少，相邻两个图形的变化量与位置序号有怎样的关系;加入所求图形的位置序号较大时,

需要运用从特殊到一般的探索方式，分析归纳找出增加或减少的变化规律，并用含有n

的代数式表示出来，最后用代入法求出特殊情况下的数值.

【易错警示】用局部的一两个图形之间的规律代替一般规律，这是常见错误；忽视第一

个图形的规律也是常见错误之一.

二.填空题

1.（2021江西，11,3分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到

第"个图形中所有的个数为（用含〃的代数式表示）.

&1图2图3

(第II题)

【答案解析】(〃+1)2

【试题解答】找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表

示.

11+3=4

21+3+5=9

31+3+5+7=16

41+3+5+7+9=25

n1+3+5+7+...+(2n+l)=(n+l):

【方法指导】由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个

数的平方.

2.(2021兰州，19,4分)如图所示，在直角坐标系中，已知点A(-3,0)、8(0,

4),对△OAB连续作旋转变换，依次得到△］、△2'A3、A4...,则△2021的直

角顶点的坐标为•

考点分析：规律型：点的坐标.

专题分析：规律型.

分析：根据勾股定理列式求出AB的长，再根据第四个三角形与第一个三角形的位置

一样可知每三个三角形为一个循环组依次循环，然后求出一个循环组旋转前进的长

度，再用2021除以3,根据商为671可知第2021个三角形的直角顶点为循环组的

最后一个三角形的顶点，求出即可.

解答：解:•.•点A（-3,0）、B（0,4）,

■1-A—寸32+42=5,

由图可知，每三个三角形为一个循环组依次循环，一个循环组前进的长度为：

4+5+3=12,

•••2021+3=671,

△2⑼的直角顶点是第671个循环组的最后一个三角形的直角顶点，

•••671x12=8052,

△2021的直角顶点的坐标为（8052,0）.

故答案为：（8052,0）.

点评：本题是对点的坐标变化规律的考查了，难度不大，认真观察图形，得到每

三个三角形为一个循环组依次循环是解题的关键，也是求解的难点.

3.（2021广东珠海，10,4分）如图所示，正方形ABCD的边长为1,顺次连接正方

形ABCD四边的中点得到第一个正方形AIBICIDI,由顺次连接正方形A1B1C1D1四边的

中点得到第二个正方形A2B2c2D2...,以此类推，则第六个正方形A6B6c6D6周长

是—.

D

考点分中点四边形.

析：

专题分规律型.

析：

分析：根据题意，利用中位线定理可证明顺次连接正方形ABCD四边中点得正方形AiBiQDi的

面积为正方形ABCD面积的一半，根据面积关系可得周长关系，以此类推可得正方形

A6B6c6D6的周长.

解答：解：顺次连接正方形ABCD四边的中点得正方形AIBICIDI,则得正方形AIBICIDI的面

积为正方形ABCD面积的一半，即，则周长是原来的YZ

2

顺次连接正方形AiBiCiDi中点得正方形A2B2c2D2,则正方形A2B2c2D2的面积为正方

形AIBICIDI面积的一半，即，则周长是原来的；

顺次连接正方形A2B2C2D2得正方形A3B3C3D3,则正方形A3B3C3D3的面积为正方形

A2B2c2D2面积的一半，即，则周长是原来的返；

4

顺次连接正方形A3B3c3D3中点得正方形A4B4c4D4,则正方形A4B4c4D4的面积为正方

形A3B3c3D3面积的一半」，则周长是原来的；

16

以此类推：第六个正方形A6B6c6D6周长是原来的，

・正方形ABCD的边长为1,

周长为4,

.,•第六个正方形A6B6c6D6周长是.

故答案为:.

点评：本题考查了利用了三角形的中位线的性质，相似图形的面积比等于相似比的平方的性

质.进而得到周长关系.

4.（2021贵州安顺，18,4分）直线上有2021个点，我们进行如下操作：在每相邻两

点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点.

考点分析：规律型：图形的变化类.

分析：根据题意分析，找出规律解题即可.

解答：解：第一次：2021+（2021-1）=2x2021-1,

第二次：2x2021-1+2x2021-2=4x2021-3,

第三次:4x2021-3+4x2021-4=8x2021-7.

经过3次这样的操作后，直线上共有8x2021-7=16097个点.

故答案为:16097.

点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得到点的变化规律是解题关键.

5.（2021湖北孝感，17,3分）如图所示，古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形

状来研究数.例如：称图中的数1,5,12,22…为五边形数，则第6个五边形数是_

51

考点规律型：图形的变化类.

分析：

专题规律型.

分析：

分析：计算不难发现，相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3,根据此规律依次进

行计算即可得解.

解答：解：-1=4,

12-5=7,

22-12=10,

相邻两个图形的小石子数的差值依次增加3,

...第4个五边形数是22+13=35,

第5个五边形数是35+16=51.

故答案为:51.

点评：本题是对图形变化规律的考查，认真观察图形求出相邻两个图形的小石子数的

差值依次增加3是解题的关键.

6.(2021湖南娄底，18,4分)如图所示，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需

2n+l根火柴棒.

考点规律型：图形的变化类.

分析：

分析：按照图中火柴的个数填表即可当三角形的个数为：1、2、3、4时，火柴棒的个

数分别为：3、5、7、9,由此可以看出当三角形的个数为n时，三角形个数增

加n-1个，那么此时火柴棒的个数应该为:3+2(n-1)进而得到答案.

解答：解：根据图形可得到:

当三角形的个数为1时,火柴棒的根数为3；

当三角形的个数为2时,火柴棒的根数为5；

当三角形的个数为3时,火柴棒的根数为7；

当三角形的个数为4时,火柴棒的根数为9；

由此可以看出：当三角形的个数为n时，火柴棒的根数为3+2(n-1)=2n+l.

故答案为：2n+l.

点评：此题主要考查了图形变化类，本题解题关键根据第一问的结果总结规律是得到规

律：三角形的个数每增加一个，火柴棒的个数增加2根，然后由此规律解答.

7.(2021贵州省黔东南州，16,4分)观察规律：1=色1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；

则1+3+5+...+2021的值是1014049.

考点规律型：数字的变化类.

分析：

分析：根据已知数字变化规律，得到连续奇数之和为数字个数的平方，进而得到答

案.

解答：解：：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，

+3+5+...+2021=(2013+1)2=10072=1014049

2

故答案为:1014049.

点评：此题主要考查了数字变化规律，根据已知得到数字的变与不变是解题关键.

8.(2021河北省，20,3分)如图12,一段抛物线：y=-x(x-3)(0<x<3),记

为Cl,它与x轴交于点O,A1；

将C1绕点41旋转180。得C2,

将C2绕点A2旋转180。得C3,

如此进行下去，直至得C13.若尸(37,tri)

在第13段抛物线C13上，则m=

答案：2

解析:Ci：y=-x(x—3)(0<A<3)

C2：y=(x—3)(x—6)(3<r<6)

C3：y=—(x—6)(x—9)(6<x<9)

C4:y=(x-9)(x-12)(9<x<12)

Ci3:y=-(x-36)(x-39)(36人39),当x=37时，y=2,所以，m=2。

9.(2021贵州安顺，18,4分)直线上有2021个点，我们进行如下操作：在每相邻两

点间插入1个点，经过3次这样的操作后，直线上共有个点.

【答案解析】：16097.

【试题解答】第一次:2021+(2021-1)=2x2021-1,

第二次:2x2021-1+2x2021-2=4x2021-3,

第三次:4x2021-3+4x2021-4=8x2021-7.

•••经过3次这样的操作后，直线上共有8x2021-7=16097个点.

【方法指导】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得到点的变化规律是解题关键.

10.（2021山东滨州，18,4分）观察下列各式的计算过程：

5X5=0X1X100+25,

15X15=1X2X100+25,

25X25=2X3X100+25,

35X35=3X4X100+25,

请猜测，第n个算式（n为正整数）应表示为.

【答案解析】：［1（）（〃-1）+5『=1（。〃（〃-1）+25.

【试题解答】根据数字变化规律得到个位是5的数字数字乘积等于十位数乘以十位数字

加1再乘以100再加25,进而得到答案.

【方法指导】此题主要考查了数字变化规律，根据已知数字得到数字之间的变与不变是

解题关键.

11.（2021浙江湖州，15,4分）将连续的正整数按以下规律排列，则位于第7行、第7

数

>X是1A

三-

列

列

列

第

列

第

第

第

七

第

三

四3-

--1

行

第11615

10228

第

2行29■40

■

第

3行4.926

13■

第

4行71825

第24

5行11

第6

6行1

第7

行22-

.；

【答案解析】85

【试题解答】第一行的第一列与第二列差个2,第二列与第三列差个3,第三列与第四列

差个4,…第六列与第七列差个7,第二行的第一列与第二列差个3,第二列与第三列

差个4,第三列与第四列差个5,…第五列与第六列差个7,第三行的第一列与第二列

差个4,第二列与第三列差个5,第三列与第四列差个6,第四列与第五列差个7,…第

七行的第一列与第二列差个8,是30,第二列与第三列差个9,是39,第三列与第

四列差个10,是49,第四列与第五列差个11,是60,第五列与第六列差个12,是

72,第六列与第七列差个13,是85；故答案为：85.

【方法指导】此题考查了数字的变化猜想归纳，这是一道找规律的题目，要求学生通

过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题，解决本题的关

键是得到每行中前一列与后一列的关系.

12.（2021江西南昌，14,3分）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可

以得到第〃个图形中所有的个数为（用含〃的代数式表示）.

图1图2图3

【答案解析】（〃+1）2

【试题解答】找出点数的变化规律，先用具体的数字等式表示，再用含字母的式子表

示.

11+3=4

21+3+5=9

31+3+5+7=16

41+3+5+7+9=25

n1+3+5+7+...+（2M+1）=（M+1）:

【方法指导】由图形的变化转化为数学式子的变化，加数为连续奇数，结果为加数个

数的平方.

13、（2021深圳，16,3分）如下图，每一幅图中均含有若干个正方形，第①幅图中含

有.1个正方形；第②幅图中含有5个正方形；……按这样的规律下去，则第（6）幅

图中含有

个正方形;

【答案解析】91

【试题解答】第①幅图中含有1个正方形，第②幅图中含有5个正方形；第③幅图中含有

14个正方形....1=肝；5=12+22；14=12+22+32……，则第⑥幅图中含

有：

12+22+32+42+52+62=91个正方形

【方法指导】首先，分类讨论正方形的类型及个数，做到不重不漏，是发现规律的关

键。其次，探究数据之间的联系及规律，要将数据作恰当的分解。本题还可

以借二次函数模型来解决。

14.（2021四川宜宾，14,3分）将一些半径一样的小圆按如图所示的规律摆放：第1

个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形

有24个小圆........依次规律，第6个图形有个小圆.

OO

O。OOOOOOOOO

OOOOOOOOOOOO

OOOOOOO

OOOOOOO

。O。OOOOOO

O。。。

第1个图形第2个图形第3个图形第4个图形

【答案解析】46.

【试题解答】观察上图可发现所有图形中外侧都有四个小圆，这是不变的而中间小圆的

个数第一个图形可表示为1x2,第二个图形可表示为2x3,第三个图形可表示为3x4,

第四个图形可表示为4x5,所有第n个图形中小圆的个数可表示为4+n（n+l）故第6个

图形中小圆的个数为46.

【方法指导】本题考察了根据图形寻找规律的知识，解找规律的题目时首先寻找各部分

的共同点然后找各部分的不同点，若题目给出的条件没有找到规律可仿照题目条件继

续往下写几个，一般3-5个式子或图形即可找到规律.

15.（2021四川雅安，13,3分）已知一组数2,4,8,16,32,按此规律，则

第n个数是.

【答案解析】2"

【试题解答】先观察所给的数，得到第几个数正好是2的几次方，从而得到第n个数

是2的n次方.

【方法指导】此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并

应用发现的规律解决实际问题，解题的关键是确定第几个数就是2的几次方.

16.（2021福建福州，22,14分）我们知道，经过原点的抛物线的解析式可以是y

—ax2+bx（a:^0'）

（1）对于这样的抛物线：

当顶点坐标为（1,1）时，a—；

当顶点坐标为（〃［，m）,mWO时，。与机之间的关系式是；

（2）继续探究，加入且过原点的抛物线顶点在直线y=fcc（�）上，请用含

k的代数式表示h；

（3）现有一组过原点的抛物线，顶点4,Az,…，4在直线y=x上，横坐标依次

为1,2,〃（为正整数，且〃W12）,分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为

Bi,B2,…，以线段为边向右作正方形若这组抛物线中有一条经

过Dn,求所有满足条件的正方形边长.

h4（1c—h~

【思路分析】（1）利用顶点坐标公式（-二，-）得到方程组求解即可；

2a4a

h—h~

（2）将该抛物线的顶点坐标（一卫，）代入直线方程y=H（A/O）,即

2a4。

可求得用含4的代数式表示b；

（3）根据题意可设4（〃，〃），点所在的抛物线顶点坐标为（f,t）.由（1）

（2）可得，点。“所在的抛物线解析式为），=-lf+2x.所以由正方形的性质推知

/

点。”的坐标是（2〃，"），则把点。，的坐标代入抛物线解析式即可求得4〃=3f.然

后由"、，的取值范围来求点A“的坐标，即该正方形的边长.

【答案解析】（1）—1;a=-^~（或M+1=0）；

m

（2）解：

*.y=axL+bx=a{x+―）2——

2a4a

，顶点坐标为（一包,-—）

2a4a

•.•顶点在直线y=fcv上

"（-2）

2a4a

・"#0

：.b=2k

(3)解：•.•顶点A〃在直线y=x上

・・・可设4的坐标为(&n),点功所在的抛物线顶点坐标为S0

由(1)(2)可得，点。“所在的抛物线解析式为＞=—1^+合

t

:四边形是正方形

.•.点。"的坐标为(2n,ri)

：,--(2/t)2+2X2〃=〃

t

，4"=3f

•'、〃是正整数，且tW12,附W12

."=3,6或9

，满足条件的正方形边长为3,6或9

【方法指导】本题考查了二次函数的顶点坐标公式以及函数图像上点的坐标与其解析式

的关系，另外还涉及到正方形的性质.求二次函数顶点坐标时，可以运用公式也可运用

配方法，函数图像上点的坐标适合其函数解析式，解答第(3)题时，要注意〃的取

值范围吆！

17.(2021广东湛江，16,4分)如图所示，所有正三角形的一边平行于x轴，一顶点

在y轴上，从内到外，它们的边长依次为2,4,6,8,....顶点依次用人、A2、

A3、4、…表示，其中A4与x轴、底边44与44、与44、…均相距

一个单位，则顶点的坐标是,42的坐标是.

y

【答案解析】（0,V3-1）,（-8,-8）.

【试题解答】由于22+3=7余1,而4的坐标为（-1,-1）,

的坐标为（-2,—2）

4的坐标为（-3,—3）

名的坐标为（-8,-8）

【方法指导】解决数字规律或图形规律突破点之一，用表格上下把数的序号及图形的序

号表示出来，再在后面写出它的结果，这样容易看出其中的规律;

三.解答题

1.（2021江苏南京，27,10分）对于两个相似三角形，加入沿周界按对应点顺序环绕

的方向一样，那么称这两个

三角形互为顺相似：加入沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形

互为

逆相似。例如，如图①，ZvlBC〜△“£C'且沿周界A8C4与/TBC'/T环绕的方向一

样,

因此△48C与互为顺相似；如图②，ZVIBC〜ZW9C,且沿周界ABCA与

49CA，环绕的方向相反，因此"BC与△A，£C互为逆相似。

(1)根据图I、图II和图in满足的条件，可得下列三对相似三角形：①△ADE与

△ABC；

②4GH0与/\KFO；③△NQP与△NM。。其中，互为顺相似的是:互

为逆相似的是。(填写所有符合要求的序号)

(2)如图③，在锐角△4BC中，NA<NB<NC,点P在“BC的边上(不与点A、

B、C重

合)。过点尸画直线截△A8C,使截得的一个三角形与△ABC互为逆相似。请

根据点P的不同位置，探索过点P的截线的情形，画出图形并说明截线满足的条件,

不必说明

解析:

(1)①②：③(4分)

（2）解：根据点P在△ABC边上的位置分为以下三种情况。

第一种情况：如图①，点P在BC（不含点B、。上，过点P只能画出2条截线

PQi、

、

PQ1,分另I」使NCPQi=N4,ZBPQ2=ZA,止匕时△PQIC^PBQI都与ZXABC互为

逆相似。

第二种情况：如图②，点尸在AC（不含点A、O上，过点8作NC8A/=NA,BM

交4c

于点

当点P在AM（不含点M）上时，过点Pi只能画出1条截线P。，使NAPiQ=N4BC,

此

时△APiQ与△ABC互为逆相似：

当点P在CM上时，过点P2只能画出2条截线巳0、巳。2,分别使

NA2Qi=NABC,

NCP2Q=NABC,此时△4匕。卜都与AABC互为逆相似。

第三种情况：如图③，点P在4B（不含点4、B）上，过点C作NBCO=NA,

ZAC£=ZB,

CD、CE分别交4c于点。、Eo

当点P在AD（不含点0上时，过点P只能画出1条截线P。，使乙4P|Q=NABC,

此时

△AQPi与△ABC互为逆相似；

当点P在DE上时，过点P2只能画出2条截线22。1、22。2,分别使

ZAP2Qt=ZACB,

NBP2Q2=NBCA,此时△AQ1P2、AQ28P2都与△ABC互为逆相似;

当点P在BE（不含点E）上时，过点P3只能画出1条截线23。',使NBRQ'NCA,

此时△Q'BR与△ABC互为逆相似。（10分）

17.（2021•东营，17,4分）如图所示，已知直线/:>=半》，过点A（0,1）作y轴的

垂线交直线/于点B,过点B作直线/的垂线交y轴于点4;过点4作），轴的垂线交直

线,于点8,过点场作直线/的垂线交y轴于点4：……按此作法继续下去，则点心阳

的坐标为.

--------------F

第17题图）

答案：（0,4233）或（0,2叽6）（注以上两答案任选一个都对）

解析：因为直线y=与X轴的正方向的夹角为30°,所以NAOB=60°,

3

在R/AAOB中，因为0A=l,所以0B=2,中，所以。4=4,即点A1的坐

标为（0,4）,同理。8尸8,所在放AA?。与中，。&=16,即点A2的坐标为

(0,42)

依次类推，点40I3的坐标为(0,42°力或(0,24°26).

17.(2021•聊城，17,3分)如图所示，在平面直角坐标系中，一动点从原点。出发,

按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点4

(0,1),A2(1,1),A3(1,0),A4(2,0),…那么点4"+1"为自然

数)的坐标为(用n表示)

考点分析：规律型：点的坐标.

专题分析：规律型.

分析：根据图形分别求出〃=1、2、3时对应的点A4〃+I的坐标，然后根据变化规律写

出即可.

解答：解：由图可知，”=1时，4x14-1=5,点A5(2,1),

〃=2时，4x2+1=9,点A9(4,1),

”=3时，4x3+1=13,点43(6,1),

所以，点44"+1(2〃，1).

故答案为：(2〃，1).

点评：本题考查了点的坐标的变化规律，认真观察图形，分别求出〃=1、2、3时对应

的点A4"+l的对应的坐标是解题的关键.

17.（2021•潍坊，17,3分）当白色小正方形个数〃等于1,2,3…时，由白色小正方

形和和黑色小正方形组成的图形分别如图所示.则第〃个图形中白色小正方形和黑色小正

方形的个数总和等于_____________.（用〃表示，〃是正整数）

O由图

ns|/i=2

答案：n2+4n

考点分析：本题是一道规律探索题，考查了学生分析探索规律的功底.

点评：解决此类问题是应先观察图案的变化趋势，然后从第一个图形进行分析，运用从

特殊到一般的探索方式，分析归纳找出黑白正方形个数增加的变化规律，最后含有〃的

代数式进行表示.

1.（2021•衢州4分）如图所示，在菱形ABCD中，边长为10,NA=60。.顺次连结

菱形ABCD各边中点，可得四边形AIBICIDI；顺次连结四边形ARICIDI各边中点，可

得四边形A2B2c2D2;顺次连结四边

形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3c3D3；按此规律继续下去....则四边形A2B2C2D2

的周长是20:四边形A2021B2021C2021D2021的周长是.

-------21005—

【思路分析】根据菱形的性质以及三角形中位线的性质以及勾股定理求出四边形各边长得

到规律求出即可

【试题解答】.,菱形ABCD中，边长为10,ZA=60\顺次连结菱形ABCD各边中点,

AAA1D1是等边三角形，四边形A2B2C2D2是菱形,

AiDi=5,CiDi=AC=5,\/3，A2B2-C202=02B2=A2D2=5,

四边形A2B2c2D2的周长是:5x4=20,

同理可得到：A3D3=5X,C3D3=AC=x5j"§,

22

A5D5=5X(),C5D5=AC=()x5Va

四边形A2021B2021C2021D2021的周长是：2'’_一=

1005

210062

故答案为：20,空坐.

21005

【方法指导】此题主要考查了菱形的性质以及矩形的性质和中点四边形的性质等知识,

根据已知得到边长变化规律是解题关键.

1.（2021山西，15,3分）一组按规律排列的式子：a:—,—,—，….则第n

357

个式子是

【答案解析】-^―（n为正整数）

2n-1

【试题解答】已知式子可写成：V,—,—,—,分母为奇数，可写成2n-l,分子

1357

中字母a的指数为偶数2n。

2.（2021四川巴中，20,3分）观察下面的单项式:a,-2a2,4a3,-8a4,...根据你

发现的规律，第8个式子是.

考点