2021年中考数学模拟试卷含答案13

2021年中考数学模拟试卷

一.选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）

1.如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是（）

A.+a和-（-a）互为相反数B.+a和-a一定不相等

C.-a一定是负数D.-（+a）和+（-a）—一定相等

2.下列有关四边形的命题中，是真命题的是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.一组邻边相等的四边形是正方形

3.如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形ABC。，CD=1,长方形A8CD的周

长为（）

A.32B.33C.34D.35

4.如图，等腰Rt^ABC中，斜边A3的长为2,。为A8的中点，P为AC边上的动点，0。

，。尸交8c于点Q,〃为PQ的中点，当点尸从点A运动到点C时，点M所经过的路

C.1D.2

5.如图，已知平行四边形ABC。的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为

（-3,4）,则点C的坐标为（)

A.(-3,-4)B.(-3,4)C.(-4,3)D.(3,-4)

6.如图，在RtZ\ABC中，ZC=90°,AB=\0cm,BC=8a〃，点P从点A沿AC向点C以

\cmls的速度运动，同时点。从点C沿CB向点8以2cmis的速度运动（点Q运动到点B

停止）.则四边形附8Q的面积y（cm1）与运动时间x（s）之间的函数图象为（）

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

7.已知实数x、y满足I3+M+J7工=0,则代数式（x+y）2S9的值为.

8.如图，在数轴上，点A、B表示的数分别为0、2,BCLAB于点B,且BC=1,连接AC,

在AC上截取CO=8C,以A为圆心，AO的长为半径画弧，交线段AB于点E,则点E

表示的实数是

9.关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为

10.如图，AB和。E是。。的直径，弦AC〃。及若弦BE=3,贝U弦CE=

11.如图，△ABC中NBAC=60°,A8=24C.点P在△ABC内，且抬=遍，PB=5,PC

=2,则/APC的度数为,△ABC的面积为.

12.如图，长方形ABC。中，AZ）=20,AB=8,点。是3c的中点，点尸在AZ）边上运动,

当△BP。是等腰三角形时，AP的长为

三.解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）

2

13.（6分）先化简，再求值：（］」-）+3孑+4.,从-1,1,2,3中选择一个合适的

2

x-1x-l

数代入并求值.

14.（6分）如图，在。ABCZ）中，点、E、F分别在A。、BC上，SLAE=CF.

求证：四边形3FDE是平行四边形.

AE,D

BFC

15.(6分)如图，AABC是。。的内接三角形，NABC=45°,请用无刻度的直尺按要求

作图.

(1)如图1,请在图1中画出弦CD,使得C£)=AC.

(2)如图2,A8是。。的直径，AN是。。的切线，点8,C,N在同一条直线上请在图

中画11!4ABN的边AN上的中线BD

16.(6分)如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=5米，AC=12米.M点在线段CA上，

从C向4运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/

秒.运动时间为/秒.

(1)当♦为何值时，NAMN=/ANM?

(2)当r为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值.

17.(6分)为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整

理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A,B,C,。四个等级，并将结果绘制成图1的

条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整.请你根据统计图解答下列问题：

(1)求参加比赛的学生共有多少名？并补全图1的条形统计图.

(2)在图2扇形统计图中，帆的值为,表示'。等级”的扇形的圆心角为度;

(3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听

写”大赛.已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生

恰好是一名男生和一名女生的概率.

四.解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）

18.（8分）如图，四边形A8CD内接于。0,8。是。。的直径，过点A作4E_LC£>,交CD

的延长线于点E,DA平分NBDE.

（1）求证：AE是。。的切线；

（2）已知AE=8c〃?，CD^\2cm,求的半径.

19.（8分）如图，直线yi=3x-5与反比例函数”=丘1的图象相交A（2,m）,B（n,-

x

6）两点，连接。4,OB.

（1）求女和”的值；

（2）求aAOB的面积；

（3）直接写出yi时自变量x的取值范围.

20.（8分）某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级（1）班的2名男生、1名女生（男生

用4,8表示，女生用。表示）和九年级（2）班的1名男生、1名女生（男生用C表示,

女生用b表示）共5人中随机选出2名主持人.

(1)用树状图或列表法列出所有可能情形；

(2)求2名主持人来自不同班级的概率；

(3)求2名主持人恰好1男1女的概率.

五.解答题(共2小题，满分18分，每小题9分)

21.(9分)已知点E为正方形A8CO的边4。上一点，连接8E,过点C作垂足

为M,交AB于点、N.

(1)求证：/XABE注LBCN；

(2)若N为AB的中点，求tan/ABE.

22.(9分)某批服装进价为每件200元，商店标价每件300元，现商店准备将这批服装打

折出售，但要保证毛利润不低于5%,问售价最低可按标价的几折？(要求通过列不等式

进行解答)

六.解答题(共1小题，满分12分，每小题12分)

23.(12分)如图①抛物线(.W0)与x轴，y轴分别交于点A(-1,0),B

(3,0),点C三点.

(1)试求抛物线的解析式；

(2)点。(2,m)在第一象限的抛物线上，连接BC,BO.试问，在对称轴左侧的抛物

线上是否存在一点P,满足NPBC=NOBC?如果存在，请求出点P点的坐标；如果不

存在，请说明理由；

(3)点N在抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，当以M、N、B、C为顶点的四边形

是平行四边形时，请直接写出点朋的坐标.

2021年中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

选择题(共6小题，满分18分，每小题3分)

1.如果a表示有理数，那么下列说法中正确的是()

A.+“和-(-”)互为相反数B.+a和-a一定不相等

C.-a一定是负数D.-(+a)和+(-a)一定相等

【分析】根据相反数的定义去判断各选项.

【解答】解：A、+a和-(-a)互为相反数；错误，二者相等；

B、+。和-a一定不相等；错误，当a=0时二者相等；

C、-a一定是负数；错误，当a=0时不符合；

D、-(+a)和+(-a)一定相等；正确.

故选：D.

2.下列有关四边形的命题中，是真命题的是()

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形

C.对角线相等的四边形是矩形

D.一组邻边相等的四边形是正方形

【分析】根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定A选项错误，根据菱形的

判定定理可以判定B选项正确，根据对角线相等的四边形还可能是等腰梯形判定C选项

错误，根据一组邻边相等的四边形还可能是菱形判定。选项错误.

【解答】解：A、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故本选项错误；

8、对角线互相平分且互相垂直的四边形是菱形，故本选项正确；

C、对角线相等的四边形可能是矩形还可能是等腰梯形，故本选项错误；

。、一组邻边相等的四边形可能是正方形还可能是菱形，故本选项错误.

故选:B.

3.如图，由七个完全一样的小长方形组成的大长方形ABC。，CD=1,长方形ABC。的周

长为()

7

B

A.32B.33C.34D.35

【分析】由图可看出本题的等量关系：小长方形的长义2=小长方形的宽X5；小长方形

的长+宽=7,据此可以列出方程组求解.

【解答】解：设小长方形的长为x,宽为y.

由图可知伊=2x

[x+y=7

解得卜哼.

Iy=2

所以长方形A8co的长为10,宽为7,

二长方形48C。的周长为2X(10+7)=34,

故选：C.

4.如图，等腰中，斜边48的长为2,。为A8的中点，P为AC边上的动点，OQ

LOP交8c于点Q,M为尸。的中点，当点尸从点A运动到点C时，点M所经过的路

线长为()

A.返兀B.返兀C.ID.2

42

【分析】连接OC,OM、CM,如图，利用斜边上的中线性质得到OM=_|pQ,CM=1PQ,

则OM=CM,于是可判断点M在OC的垂直平分线上，则点M运动的轨迹为△ABC的

中位线，然后根据三角形中位线性质求解.

【解答】解：连接OC，OM、CM,如图，

为PQ的中点，

：.OM=^PQ,CM=LPQ,

22

：.OM=CM,

...点M在OC的垂直平分线上,

.•.点M运动的轨迹为aABC的中位线,

二点M所经过的路线长=工48=1.

2

故选：C.

5.如图，已知平行四边形A8C。的两条对角线交于平面直角坐标系的原点，点A的坐标为

(-3,4),则点C的坐标为()

A.(-3,-4)B.(-3,4)C.(-4,3)D.(3,-4)

【分析】根据平行四边形的对角线互相平分，再由对角线的交点为原点，则点A与点C

的坐标关于原点成中心对称，据此可解.

【解答】解：•.•四边形ABCD为平行四边形

：.OA=OC,且点A与点C关于原点成中心对称

•.•点A的坐标为(-3,4),

...点C的坐标为(3,-4)

故选：D.

6.如图，在Rt/VLBC中，/C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以

Icm/s的速度运动，同时点Q从点C沿CB向点B以2cmls的速度运动(点Q运动到点B

停止).则四边形以BQ的面积y(cm2)与运动时间x(s)之间的函数图象为()

C

0

B

【分析】先算出点。运动到点3所需要的时间，再利用勾股定理算出AC的长度，从而

表示出CP的长度，算出△CPQ的面积，则四边形山8。的面积可表示，再根据关系式

选出合适的函数图象即可.

【解答】解：・・・8+2=4,

点Q运动到点B需要4s,

VAB=10,BC=8,

♦二在中，AC=4AB2-BC2=6,

・・・"=，，

:.CP=6-6

VCQ=2t,

:•S&CPQ=CP，CQ.A=A«2/«(6-t)=6t-t2.

22

；.S四边形APQB=24-6f+P.

；S与/的关系式为二次函数，

符合题意的为C选项.

故选：C.

二.填空题(共6小题，满分18分，每小题3分)

7.已知实数x、y满足|3+习+正工=°，则代数式G+y)2S9的值为-1.

【分析】先根据非负数性质得出x、y的值，再代入计算可得.

【解答】解：♦..|3+川+正互=°，

A3+x=0,y-2=0,

则x=-3、y=2,

：.(x+y)2。19=「3+2)2019=(7)刈9=7,

故答案为：-1.

8.如图，在数轴上，点A、8表示的数分别为0、2,BCLAB于点B,且8c=1,连接AC,

在AC上截取C£»=BC,以A为圆心，A。的长为半径画弧，交线段AB于点E,则点E

表示的实数是亚-1.

【分析】根据垂直的定义得到/4BC=90°,根据勾股定理得到AC=JAB2+BC2=遥，

求得AQ=AC-8=泥-1,根据圆的性质得到AE=AQ,即可得到结论.

【解答】解：

AZABC=90°,

：AB=2,BC=\,

.\AC=^AB2+BC2=V5>

'：CD=BC,

：.AD=AC-1,

\"AE=AD,

：.AE=4S-1,

.•.点E表示的实数是遥-1.

故答案为：Vs-L

9.关于x的不等式组的解集在数轴上的表示如图所示，则此不等式组的解集为-IWxV

2.

【分析】数轴的某一段上面，表示解集的线的条数，与不等式的个数一样，那么这段就

是不等式组的解集.实心圆点包括该点，空心圆圈不包括该点，>向右V向左.两个不

等式的公共部分就是不等式组的解集.

【解答】解：由图示可看出，从-1出发向右画出的线且-1处是实心圆，表示

从2出发向左画出的线且2处是空心圆，表示XV2,不等式组的解集是指它们的公共

部分.

所以这个不等式组的解集是-l4x<2.

10.如图，AB和OE是00的直径，弦AC〃DE,若弦BE=3,则弦CE=3.

【分析】连接。C,根据平行线的性质及圆周角与圆心角的关系可得到Nl=/2,从而即

可求得CE的长.

【解答】解：连接OC,

,JAC//DE,

N2=NACO,

'：ACO,

/.Z1=Z2.

：.CE=BE=3.

II.如图，△ABC中NBAC=60°,AB=2AC.点P在△ABC内，且必=«,PB=5,PC

=2,则NAPC的度数为120°,ZVIBC的面积为_史工叵

【分析】首先作△AB。，使得：ZQAB=ZPAC,ZABQ=ZACP,即可得△ABQS^ACP,

即可得△A8Q与aACP相似比为2,继而可得△APQ与△BPQ是直角三角形，根据直角

三角形的性质，即可求得△ABC的面积.

【解答】解：如图，作△ABQ,使得：AQAB=APAC,ZABQ=ZACP,

则△48Qs&CP,

"：AB=2AC,

：./\ABQ与△ACP相似比为2,

：.AQ=2AP=243,BQ=2CP=4,ZQAP^ZQAB+ZBAP^ZPAC+ZBAP^ZBAC^

60°,

'：AQzAP=2：1,

...NAPQ=90°,ZAQP=30°,

；•尸0=痴2_庆口2='（2%）2_（正）2=3,

：.BP2=25=BQ1+PQ2,

：.ZBQP=90°,

.•./APC=/AQ8=90°+30°=120°；

作AM_L8Q于M,

由NBQA=NBQP+NAQP=120°,

ZAQM=60a,QM=«,AM=3,

：.AB2^BM2+AM2^（4+^3）2+32=28+8V3，

/.SAABC=i4«^Csin60°二返商二”叵

282

故答案为：120°,6+7迎.

2

跖’：

12.如图，长方形ABC£＞中，AO=20,AB=8,点。是BC的中点，点尸在4。边上运动,

当△8PQ是等腰三角形时，AP的长为4或5或6或16.

【分析】分8P=P。、BP=BQ和BQ=PQ三种情况分别讨论，再结合勾股定理求解即

可.

【解答】解：•••四边形A8CD为矩形，＞10=20,

.•.BQ=10,

①当BP=PQ时，过P作PML8Q,交BQ于点M,如图1所示：

则8W=MQ=5,且四边形ABMP为矩形，

：.AP=BM=5,

②当BQ=BP时，则BP=10,在RtZXABP中，AB=8,由勾股定理可求得AP=6,

③当PQ=BQ时，以点。为圆心，BQ为半径作圆，于AD交于R、S两点，如图2所示:

过。作QNJ_RS,交RS于点N,则可知RN=SN,

在RtZ\RNQ中，可求得RN=SN=6,

则AR=4,AS=16,

即/?、S为满足条件的尸点的位置，

，AP=4或16,

综上可知AP为4或5或6或16,

故答案为：4或5或6或16.

B鼠Q

图1

三.解答题（共5小题，满分30分，每小题6分）

2

13.（6分）先化简，再求值：（］」-）/二智4,从-1,1,2,3中选择一个合适的

2

x-1x-l

数代入并求值.

【分析】根据分式的化简求值的过程计算即可求解.

【解答】解：原式=（1一1-）+工2丝鱼=311.

Ux-1，*2-1x-2

V?-170,x-2W0,

.,.取x=3,原式=户+1=4.

3-2

14.（6分）如图，在。ABCD中，点E、F分别在A。、BC上，且4E=C尸.

求证：四边形BFCE是平行四边形.

【分析】由四边形A8CO是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AO

//BC,AD=BC,又由AE=CF,即可证得OE=BF,然后根据对边平行且相等的四边形

是平行四边形，即可证得四边形BFDE是平行四边形.

【解答】证明：•.•四边形ABC。是平行四边形，

：.AD//BC,AD=BC,

"：AE=CF,

：.AD-AE=BC-CF,

：.ED=BF,

又‘：AD"BC,

：.四边形BFDE是平行四边形.

15.（6分）如图，aABC是。。的内接三角形，NABC=45°,请用无刻度的直尺按要求

作图.

（1）如图1,请在图1中画出弦CD,使得C£）=AC.

（2）如图2,A8是。。的直径，AN是。。的切线，点8,C,N在同一条直线上请在图

中画出△ABN的边AN上的中线8Q.

【分析】（1）利用直尺即可作图；

（2）复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基

本作图方法.

（1）如图1：连接A。并延长交圆于点。，连接CQ,则C£»=AC.CO即为所求作的图

形.

（2）如图：连接AC、ON交于点P,连接BP交AN于点D,则BD就是边AN上的中线.8。

即为所求作的图形.

16.（6分）如图，在△ABC中，ZC=90°,BC=5米，AC=12米.M点在线段CA上，

从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段A8上，从A向B运动，速度为2米/

秒.运动时间为f秒.

（1）当r为何值时，NAMN=NANM?

（2）当，为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值.

【分析】（1）用f表示出AM和AN的值，根据AM=AN,得到关于f的方程求得f值即

可；

（2）作NHLAC于”，证得△AM/S^ABC,从而得到比例式，然后用r表示出NH,

从而计算其面积得到有关t的二次函数求最值即可.

【解答】解：（1）♦.•从C向4运动，速度为1米/秒；同时N点在线段A8上，从A向B

运动，速度为2米/秒.运动时间为f秒.

.'.AM=12-t,AN=2t

'：NAMN=ZANM

：.AM=AN,从而12-t=2t

解得：f=4秒，

当/为4时，NAMN=NANM.

(2)在RtZxABC中

'：AB2=BC2+AC2

.•.48=13米

如图，作NHL4c于H,

；.NNHA=NC=90°,

•••NA是公共角，

:.△NHAsXBCA

•AN=NH

*'ABBC"

即：2^=娅1,

135

13

从而有S&AMN=—(12-f)•此七=-—^+―

2131313

当f=6时，S最大值=侬平方米.

13

17.（6分）为了传承中华民族优秀传统文化，我市某中学举行“汉字听写”比赛，赛后整

理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A,B,C,。四个等级，并将结果绘制成图1的

条形统计图和图2扇形统计图，但均不完整.请你根据统计图解答下列问题：

（1）求参加比赛的学生共有多少名？并补全图1的条形统计图.

(2)在图2扇形统计图中，m的值为40,表示“。等级”的扇形的圆心角为72度:

(3)组委会决定从本次比赛获得A等级的学生中，选出2名去参加全市中学生“汉字听

写”大赛.已知A等级学生中男生有1名，请用列表法或画树状图法求出所选2名学生

恰好是一名男生和一名女生的概率.

【分析】(1)根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，由各等级人数之和等

于总人数求出B等级人数可补全条形图；

(2)根据"级的人数求得。等级扇形圆心角的度数，由C等级人数及总人数可求得加

的值；

(3)列表得出所有等可能的情况数，找出一男一女的情况数，即可求出所求的概率.

【解答】解：(1)根据题意得：3+15%=20(人)，

参赛学生共20人，

则B等级人数20-(3+8+4)=5人.

补全条形图如下：

(2)C等级的百分比为至X100%=40%,即m=40,

20

表示“O等级”的扇形的圆心角为360°X_L=72°,

20

故答案为：40,72.

（3）列表如下:

男女女

男（男，女）（男,女）

女（女，男）（女，女）

女（女，男）（女，女）

所有等可能的结果有6种，其中恰好是一名男生和一名女生的情况有4种，

WJP（恰好是由男生和招女生）=—=—■

63

四.解答题（共3小题，满分24分，每小题8分）

18.（8分）如图，四边形A8CO内接于8。是。。的直径，过点A作AEJ_CD,交.CD

的延长线于点E,DA平分NBDE.

（1）求证：AE是。0的切线；

（2）已知AE=8cm,CD^Ucm,求。。的半径.

【分析】（1）根据等边对等角得出NOD4=/OAO,进而得出NOA£>=/EZM,证得EC

//OA,从而证得4E_LOA,即可证得AE是。0的切线；

（2）过点。作。尸_LCO,垂足为点尸.从而证得四边形40FE是矩形，得出。尸=4E=

8cm,根据垂径定理得出。F=』Cn=6a”，在RtZ^O。尸中，根据勾股定理即可求得。0

2

的半径.

【解答】（1）证明：连结0A.

'：OA=OD,

：.ZODA=ZOAD.

：£>A平分NBOE,

：.ZODA=ZEDA.

J.ZOAD^ZEDA,

：.EC//OA.

VAE±CD,

：.OA±AE.

•・,点A在OO上，

・・・AE是。0的切线.

(2)解：过点O作OFLCD,垂足为点E

VZOAE=ZAED=ZOFD=90°,

・•.四边形AOEE是矩形.

OF=AE=icm.

又*：OF：LCD,

：.DF=l.CD=6cm.

2

在RtAODF中，0£>={0.2+口：2=\0cm,

即O。的半径为io。”.

19.(8分)如图，直线yi=3x-5与反比例函数”=应工的图象相交A(2,M,B(n,

x

6)两点，连接。4,OB.

(1)求左和〃的值；

(2)求AAOB的面积；

(3)直接写出yi>”时自变量x的取值范围.

【分析】（1）根据直线和双曲线的交点坐标即可求解；

（2）根据直线与x轴和y轴的交点即可求解；

（3）观察两个图象及其交点坐标，根据直线在双曲线的上方即可得结论.

【解答】解：（1）:点B（〃，-6）在直线y=3x-5上，

-6=3"-5,解得"=-1，：.B（-A,-6）,

33

V反比例函数y上工的图象也经过点B,

X

••k-l=-6X（^-）=2,解%=3；

答：k和"的值为3、-A.

3

（2）设直线y=3x-5分别与x轴、y轴相交于点C、点。,

当y=。时，即3x-5=0,

当x=0时，y=3X0-5=-5,：.0D=5,

・・•点A(2,m)在直线y=3x-5上,Am=3X2-5=1.即A(2,1),

xix5x5)=

S^AOB=S^AOC^-SACOD+S^BOD=­X(f44f-

2

答：△AOB的面积未经匹.

6

（3）根据图象可知:

或x>2.

3

20.（8分）某校九年级举行毕业典礼，需要从九年级（1）班的2名男生、1名女生（男生

用A,B表示,女生用“表示）和九年级（2）班的1名男生、1名女生（男生用C表示,

女生用人表示）共5人中随机选出2名主持人.

（1）用树状图或列表法列出所有可能情形；

（2）求2名主持人来自不同班级的概率；

（3）求2名主持人恰好1男1女的概率.

【分析】（1）首先根据题意列表，由表格求得所有等可能的结果；

（2）由选出的是2名主持人来自不同班级的情况，然后由概率公式即可求得;

（3）由选出的是2名主持人恰好1男1女的情况，然后由概率公式即可求得.

【解答】解：（1）列表可得：

ABCab

4ABACAaAb

BBABCBaBb

CCACBCaCb

aaAaB[aCah

hhAbBhCba

共有20种等可能的结果.

（2）：2名主持人来自不同班级的情况有12种,

12名主持人来自不同班级的概率为：」2=3；

205

（3）；2名主持人恰好1男1女的情况有12种,

/.2名主持人恰好1男1女的概率为：」2=旦.

205

五.解答题（共2小题，满分18分，每小题9分）

21.（9分）已知点E为正方形ABCZ）的边AO上一点，连接BE,过点C作CN_L8E,垂足

为M,交A8于点M

（1）求证：△ABEdBCN；

（2）若N为AB的中点，求tan/ABE.

【分析】（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可;

（2）根据全等三角形的性质和三角函数解答即可.

【解答】（1）证明:•.•四边形ABC。为正方形

：.AB=BC,4A=NCBN=90°,Zl+Z2=90°

；CMLBE,

.,.Z2+Z3=90°

.\Z1=Z3

'/A=/CBN

在△ABE和ABCN中，AB=BC

Z1=Z3

:.△ABE94BCN（ASA）；

（2）：N