2021年中考训练专题十一圆

专题H^一圆2018——2020年浙江中考试题分类汇编

一、单选题

1.（202。温州）如图，菱形OABC的顶点A,B,C在。O上，过点B作。。的切线交OA的延长线于点

Do若。O的半径为1,则BD的长为（）

A.1B.2C.也D.「

2.（2020•绍兴）如图，点A,B,C,D,E均在。O上，NBAO15。，ZCED=30°,则NBOD的度数为（）

3.（2020・湖州）如图，已知四边形ABCD内接于。O,ZABC=70°,则NADC的度数是（）

A.70°B.110°C.130°D.140°

4.（2020・湖州）如图，已知OT是Rt^ABO斜边AB上的高线，AO=BO,以O为圆心，OT为半径的圆

交OA于点C,过点C作。O的切线CD,交AB于点D,则下列结论中错误的是（）

A.DC=DTB.AD=旧DTC.BD=BOD.20c=5AC

5.（2020•杭州）如图，已知BC是。O的直径，半径OA1.BC,点D在劣弧AC上（不与点A,点C重合）,

BD与OA交于点E,设/AED=a,ZAOD=p,则（）

A.3a+p=180°B.2a+p=180°C.3a-P=90°D.2a-p=90°

6.（2020・金华・丽水）如图，OO是等边aABC的内切圆，分别切AB,BC,AC于点E,F,D,P是万为

上一点，则/EPF的度数是（）

A.65°B.600C.58°D.50°

7.（2019・温州）如图，在矩形ABCD中，E为AB中点，以BE为边作正方形BEFG,边EF交CD于点H,

在边BE上取点M使BM=BC,作MN〃BG交CD于点L,交FG于点N.欧儿里得在《几何原本》中利

用该图解释了（a+b）（a—b）=a2—b].现以点F为圆心，FE为半径作圆弧交线段DH于点P,连结EP,

Si…,

记AEPH的面积为争图中阴影部分的面积为S2.若点A,L,G在同一直线上，则g-的值为

()

"右a-------

8.（2019•温州）若扇形的圆心角为90。，半径为6,则该扇形的弧长为（）

A.另3乃B.2zC.3aD.6万

9.（2019•衢州）一块圆形宣传标志牌如图所示，点A,B,C在。O上，CD垂直平分AB于点D,现测得

AB=8dm,DC=2dm,则圆形标志牌的半径为（）

10.（2019・绍兴）如图，ZiABC内接于。0,ZB=65°,ZC=70°,若BC=2日则成■的长为（）

11.（2019•杭州）如图，P为。O外一点，PA,PB分别切。0于A,B两点，若PA=3,则PB=（）

13.（2019・嘉兴）如图，已知。O上三点A,B,C,半径OC=1,ZABC=30°,切线PA交OC延长线于点

P,则PA的长为（）

14.（2019•宁波）如图所示，矩形纸片ABCD中，AD=6cm,把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD

后，分别裁出扇形ABF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为（）

15.（2019・湖州）已知圆锥的底面半径为5cm,母线长为13cm,则这个圆锥的侧面积是（）

A.607tcm2B.6571cm*C.12O7tcm2D.13O7tcm2

二、填空题

16.（2020・台州）如图，在AABC中，D是边BC上的一点，以AD为直径的。O交AC于点E,连接DE.

若。O与BC相切，NADE=55。，则/C的度数为.

17.（2020•温州）若扇形的圆心角为45。，半径为3,则该扇形的弧长为=

18.（2020•湖州）如图，已知AB是半圆O的直径，弦CD〃AB,CD=8,AB=10,则CD与AB之间的

距离是.

19.（2020・杭州）如图，已知AB是。。的直径，BC与。O相切于点B,连接AC,OC,若sin/BAC=

20.（2020.宁波）如图，。。的半径OA=2,B是。。上的动点（不与点A重合），过点B作。O的切线BC,

BC=OA,连结OC,AC.当aOAC是直角三角形时，其斜边长为.

A

21.（2020・金华•丽水）如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重

合，点A,B,C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为优则tanp的值是.

A

22.（2019•温州）如图，。0分别切/BAC的两边AB,AC于点E,F,点P在优弧前:上.若/BAC

=66。，则/EPF等于度.

23.（2019•杭州）如图是一个圆锥形冰淇淋外壳（不计厚度）.已知其母线长为12cm,底面圆半径为3cm,

则这个冰淇淋外壳的侧面积等于cm2（结果精确到个位）.

24.（2019•湖州）已知一条弧所对的圆周角的度数是15。，则它所对的圆心角的度数是.

25.（2019・嘉兴）如图，在。O中，弦1，点C在AB上移动，连结OC,过点C作CD_LOC交。O

于点D,则CD的最大值为.

26.（2019•宁波）如图,Rt^ABC中，ZC=90°,AC=12,点D在边BC上，CD=5,BD=13.点P是线段AD

上一动点，当半径为6的OP与aABC的一边相切时，AP的长为.

27.（2019•台州）如图，AC是圆内接四边形ABCD的一条对角线，点D关于AC的对称点E在边BC上

连接AE.若NABC=64。，则/BAE的度数为.

三、综合题

28.（2020・衢州）如图，AABC内接于。O,AB为。O的直径，AB=10,AC=6。连结OC,弦AD分别交

OC,BC于点E,F,其中点E是AD的中点。

（1）求证：ZCAD=ZCBA»

（2）求OE的长。

29.（2020•台州）如图，在△ABC中,ZACB=90°,将ZkABC沿直线AB翻折得到AABD,连接CD交

AB于点M.E是线段CM上的点，连接BE.F是4BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF,BF

（各用图）

（1）求证:ZXBEF是直角三角形;

(2)求证:△BEFs^BCA;

(3)当AB=6,BC=m时，在线段CM正存在点E,使得EF和AB互相平分，求m的值.

30.(2020•温州)如图，C,D为。O上两点，且在直径AB两侧，连结CD交AB于点E,G是会1上一

点，ZADC=ZGo

(1)求证：Z1=Z2«

(2)点C关于DG的对称点为F,连结CF.当点F落在直径AB上时，CF=10,tanZl=求。O的半

径。

31.(2020・湖州)如图，已知aABC是。O的内接三角形，AD是。。的直径，连结BD,BC平分/ABD.

(1)求证：/CAD=NABC；

(2)若AD=6,求的长•

32.(2020•杭州)如图，已知AC,BD为。O的两条直径，连接AB,BC,OE_LAB于点E,点F是半径

OC的中点，连接EF.

(1)设。O的半径为1,若/BAC=30。，求线段EF的长。

(2)连接BF,DF

①求证：PE=PF

②若DF=EF,求NBAC的度数。

33.(2020・宁波)定义：三角形一个内角的平分线和与另一个内角相邻的外角平分线相交所成的锐角称为

该三角形第三个内角的遥望角.

EE

(1)如图1,/E是AABC中A的遥望角，若£A=a，请用含a的代数式表示/E.

(2)如图2,四边形ABCD内接于。O,介=俞，四边形ABCD的外角平分线DF交。0于点F,连

结BF并延长交CD的延长线于点E.求证：ZBEC是4ABC中NBAC的遥望角.

(3)如图3,在⑵的条件下，连结AE,AF,若AC是。。的直径.

①求NAED的度数；

②若AB=8,CD=5,求4DEF的面积.

34.(2020•金华・丽水)如图，石的半径OA=2,OC_LAB于点C,NAOC=60。.

(1)求弦AB的长.

(2)求益的长.

35.(2019•温州)如图，在aABC中，ZBAC=90°,点E在BC边上，且CA=CE,过A,C,E三点的

。。交AB于另一点F,作直径AD,连结DE并延长交AB于点G,连结CD,CF.

36.(2019•金华)如图，在OOABC,以O为图心，OA为半径的圆与C相切于点B,与OC相交于点D.

AB

(1)求病的度数。

(2)如图，点E在。O上，连结CE与。O交于点F。若EF=AB,求NOCE的度数.

37.(2019•衢州)如图,在RIZXABC中，ZC=90°,AC=6,ZBAC=60°,AD平分NBAC交BC于点D,

过点D作DE〃AC交AB于点E,点M是线段AD上的动点，连结BM并延长分别交DE,AC于点F、G。

备用图

(1)求CD的长。

(2)若点M是线段AD的中点，求鼾的值。

DF

(3)请问当DM的长满足什么条件时，在线段DE上恰好只有一点P,使得NCPG=60。？

38.(2019•宁波)如图1,0O经过等边aABC的顶点A,C(圆心O在aABC内)，分别与AB,CB

的延长线交于点D,E,连结DE,BFLEC交AE于点F.

(2)当AF：EF=3:2,AC=6时，求AE的长。

(3)设^=^=x,tan/DAE=y.

hr

①求y关于x的函数表达式；

②如图2,连结OF,OB,若aAEC的面积是aOFB面积的10倍，求y的值

39.(2019•杭州)如图，已知锐角三角形ABC内接于。O,ODLBC于点D,连接OA.

①求证：OD=J。A.

②当OA=1时，求aABC面积的最大值。

(2)点E在线段OA上，(0E=0D.连接DE,设NABC=m/OED./ACB=nNOED(m,n是正数).若/

ABC<ZACB,求证：m-n+2=0.

40.(2019・湖州)已知在平面直角坐标系xOy中，直线h分别交x轴和y轴于点A(-3,0),B(0,3).

图1图2

(1)如图1,已知。P经过点0,且与直线11相切于点B,求。P的直径长；

(2)如图2,已知直线k：y=3x-3分别交x轴和y轴于点C和点D,点Q是直线12上的一个动点，以Q

为圆心，2亚为半径画圆.

①当点Q与点C重合时，求证：直线h与。Q相切；

②设。Q与直线h相交于M,N两点，连结QM,QN.问:是否存在这样的点Q,使得△QMN是等腰直角

三角形，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

41.(2019•绍兴)在屏幕上有如下内容：

如图，AABC内接于。O,直径AB的长为2,过点C的切线交AB的题长线于点D.张老师要求添加条件

后，编制一道题目，并解答。

（1）在屏幕内容中添加条件/D=30。，求AD的长，请你解答。

（2）以下是小明、小思的对话：

小明:我加的条件是BD=1,就可以求出AD的长。

小聪:你这样太简单了，我加的是/A=30。，连结0C,就可证明4ACB与△DCO全等。

参考此对话:在屏幕内容中添加条件，编制一道题（可以添线、添字母），并解答。

答案解析部分

一、单选题

1.D

【解答】解：连接OB，

,：四边形0.15。是菱形，

OA=AB>

：OA=OB>

OA=.IB=OB>

：."03=60。，

:BD是0。的切线，

^DBO=9Q°，

-：OB=1>

:.BD=0OB=0

故答案为：D.

【分析】连接OB,利用菱形的性质可证得/AOB=60。，利用切线的性质，可证得/DBO=90。，再利用解

直角三角形求出BD的长。

2.D

【解答】解：连接BR,

■：£BEC=Z5JC=15°.NCEO=30。，

/.ABED=2BEC+NCED=45。，

Z.4BOD=24BED=90。.

故答案为：D.

【分析】连接BE,利用同弧所对的圆周角相等，可求出/BEC的度数，从而可求出/BED的度数，然后

利用圆周角定理求出NBOD的度数。

3.B

【解答】解：四边形J5CO内接于0。，£ABC=70°,

/.Z.WC=180°-Z.1SC=180°-70°=110°，

故答案为：B.

【分析】利用圆内接四边形的对角互补，就可求出NADC的度数。

4.D

【解答】解：如图，连接OD.

.07'是半径，OTL4B，

.DT是0。的切线，

,QC是0。的切线，

.DC=DT，故答案为：J正确,

OA=OB<N<08=90。，

.zj=Z5=45°，

.QC是切线，

.CD1OC,

.ZJCZ>=90°.

.zj=Z.1DC=45°.

.AC=CD=DT，

.AC=^2CD=^DT'故答案为：月正确,

OD=OD，OC=OT，DC=DT，

.dDOC=dDOT(SSS),

.乙DOC=乙DOT，

OA=OB，OTiAB，2*06=90°，

.NdOT=N6OT=45。，

.lDOT=NOOC=22・5°，

.乙BOD=Z02)5=67.5°，

.BO=BD，故答案为：。正确，

故答案为：D.

【分析】连接OD,利用切线的判定定理可证得DT是圆的切线，再利用切线长定理可对A作出判断；再

证明AADC是等腰直角三角形，利用解直角三角形可得到AD和CD的数量关系，可对B作出判断；再证

明△DOC丝△DOT,利用全等三角形的性质，可证得NDOC=/DOT,然后求出/BOD和/CDB的度

数，就可推出BD=BO,可对C作出判断；从而可得到错误的选项。

5.D

【解答】解：如图，连接AB

B

贝|JNDBA=4/DOA=4Zp

且NDEA=NDBA+/OAB=a

VOA=OB,ZBOA=90°,即NOAB=45°

：.a=Jp+45。

化简后得2a-B=90。

即D选项为正确选项

故答案为：D

【分析】利用一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半，可得到NDBA=利用三角形的外角的性

质，可证得/DBA+NOAB=a,再证明NOAB=45。，继而可得到a和0之间的关系式。

6.B

【解答】解：连接OE,OF,

/Vzz\

BFC

•.•点EF分别是切点，ZOEB=ZOFB=90°,

「△ABC是等边三角形，AZB=60°,

ZEOF=360°-ZOEB-ZOFB-ZB=120°,

NP=\NEOF=60°.

故答案为：B.

【分析】连接OE,OF,根据切线的性质可得NOEB=NOFB=90。，利用等边三角形的性质可得ZB=60。，

根据四边形内角和等于360。，可求出/EOF的度数，根据圆周角定理可得/P=J/EOF,据此求出结论.

7.C

【解答】解：因为A、L、G共线，LE〃GB,得当=髻=畔=喏=>a=3b>则

S?="一/=8户，在RtAFHP中有叨=业!—正=麻二？=2日b，•••

Sj=\PHx£/T=4x2亚bx(a-b)=2向，£1==专。

故答案为：Co

【分析】本题关键是求出a、b的关系，把未知量化归统一，A、L、G共线，利用平行线对应线段成比例

的性质列式可求a=3b。大正方形面积减小正方形面积即是阴影部分面积。运用勾股定理求出PH,则4

EPH也易求出。分别求出面积相比则比值可求。

8.C

【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得：/=品;rR="筌=3；r。

故答案为：c»

【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。

9.B

解：连结OD,0A,如图，设半径为r,

VAB=8,CD1AB,

••.AD=4,点0、D、C三点共线，

VCD=2,

，0D=r-2,

在Rtz^ADO中，

VAO2=AD2+OD2,,

即产=4?+(r-2)2,

解得：r=5,

故答案为：B.

【分析】连结OD,0A,设半径为r,根据垂径定理得AD=4,OD=r-2,在RtZ^ADO中，由勾股定理建立

方程，解之即可求得答案.

10.A

【解答】解：连接OC、0B,

A

ZA=180°-ZABC-ZACB

.•.NA=180°-65°-70°=45°

弧BC=MBC

，ZB0C=2ZA=2x45°=90°

VOB=OC

在Rt^OBC中，ZOBC=45°

AOC=BCsin45°={§

...弧BC的长为:907rx2

故答案为：A

【分析】利用三角形内角和定理求出/A,再根据圆周角定理，求出NBOC的度数，就可证得aBOC是等

腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。

11.B

【解答】解：：PA、PB分别为。。的切线,

，PA=PB,

又：PA=3,

/.PB=3.

故答案为：B.

【分析】根据切线长定理可得PA=PB,结合题意可得答案.

12.C

【解答】解：•.•五边形ABCDE为正五边形,

AZABC=ZC=(5-2)x180°=108°,

VCD=CB,

7.ZCBD==J(180°-108°)=36°,

：.ZABD=ZABC-ZCBD=72°,

故答案为：C.

【分析】由正多边形的内角和公式可求得/ABC和NC的度数，又由等边对等角可知/CBD=/CDB,从

而可求得/CBD,进而求得NABD。

13.B

【解答】解：连接OA

,?NABC=30。弧AC=MAC

.,.ZAOC=2ZABC=60°

：AP是圆O的切线，

AOA1AP

ZOAP=90°

AP=OAtan60°=:lx百=与

故答案为：B

【分析】连接OA,利用圆周角定理可求出NAOC的度数，再根据切线的性质，可证aAOP是直角三角

形，然后利用解直角三角形求出PA的长。

14.B

【解答】解：设AB=x,由题意，

得=(6-x加，

1oU

解得x=4.

故答案为：B。

【分析】设AB=x,根据扇形的弧长计算公式算出弧AF的长，根据该弧长等于直径为(6-x)的圆的周长,

列出方程，求解即可。

15.B

【解答】解：设圆锥母线为R,圆锥底面半径为r,

VR=13cm,r=5cm,

112

圆锥的侧面积S=亍27Tr.R=才x27Fx5x13=657T(cm").

故答案为：B.

【分析】根据圆锥侧面展开图为扇形，再由扇形面积计算即可求得答案.

二、填空题

16.55°

【解答】解：・・・AD为。。的直径，

AZAED=90°,

AZADE+ZDAE=90°；

・・・。0与BC相切，

AZADC=90°,

.\ZC+ZDAE=90o,

AZC=ZADE,

VZADE=55°,

ZC=55°.

故答案为：55°.

【分析】由直径所对的圆周角为直角得NAED=90。，由切线的性质可得NADC=90。，然后由同角的余角

相等可得NC=NADE=55。.

4533

*-

【解答】解：根据弧长公式:=1=4

80

故答案为：47T-

【分析】利用弧长公式：掷，代入计算可求解。

18.3

【解答】解：过点O作OHJLCD于H，连接0C，如图,

则CH=DH=3CD=4,

在RUOCH中，OH=^52-42=3>

所以CQ与之间的距离是3.

故答案为3.

【分析】过点O作OHJ_CD于点H,连接0C,利用垂径定理求出CH的长，再利用勾股定理求出OH

的长。

2

【解答】解：：BC与。O相切于点B

ZCBA=90°

VsinZBAC=g

设BC=X,AC=3x

二AB=^AC2-BC2=20X

/.AO=OB=JAB=也x

..•tanNBOC=八口=

UB

故答案为:

【分析】利用切线的性质，可知/CBA=90。，再利用锐角三角函数的定义设BC=X,AC=3x,利用勾股定

理用含x的代数式表示出AB,0B的长，然后就可求出tan/BOC的值。

20.2亚或2㈡

【解答】解：如图，连接OB,

VOA=OB,OA=BC,

:.BC=OC=2,

・・・BC为切线，

AOB±BC,

2比

'-OC=^OB-+BC=,

当AC为斜边，

ZAOC=90°,

•••AC=JoF+"2=也+8=2^3，

当OC为斜边，

OC=2出

故答案为：2也或2亚.

【分析】连接OB,利用切线的性质，结合同圆的半径相等，利用勾股定理求出OC的长，然后在AAOC

中，分别设OC和AC为斜边求值即可.

21兴6

【解答】如图，过作AD〃BC,过点B作BHLAD垂足为H,；./A邛，

设正六边形的边长为a,；.BH=6x2a=12a,ZAED=120°,AE=AD=a,

在等腰三角形ADE中，ZADE=ZEAD=30°,

AD=6a，AH=4a+亚a+下a=a,

tanp=tan=.

S15

故答案为：生5.

15

【分析】如图，过作AD〃BC,过点B作BH_LAD垂足为H,可得NA邛，设正六边形的边长为a,根

据正六边形的性质及卡通图形，可得BH=12a,ZADE=ZEAD=30°,AE=AD=a,从而求出AD=Qa,从

而可得AH=5卷a,由tan0=tanA二即可求出结论.

9Ari

22.57

【解答】连接OF、0E,

：AB、AC为切线，，OE±AB,0F±AC,故N尸。E=360,-90'1—90♦—66=114’，故

£FPE=^乙FOE=5/。故答案为：57。

【分析】连接切点是常作的辅助线，同弧所对的圆周角是其圆心角的一半。

23.113

【解答】解：设母线为R,底面圆的半径为r,依题可得，

R=12cm,r=3cm,

11,

：.Sm=jx27TrxR=x2Jx3x12=367TR13或112(cm').

故答案为：113或112.

【分析】设母线为R,底面圆的半径为r,根据圆锥侧面展开图为扇形，由扇形的面积公式计算即可得出答

案.

24.30°

【解答】解：•.•一条弧所对的圆周角的度数为15。，

,它所对的圆心角的度数为：30。.

故答案为：30°.

【分析】根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，由此即可得出答案.

251

2

【解答】解：如图，

B（D）

•在aCOD中，OD的长一定，要使CD最长，则0C最短，OC_LCD

，过点0作OCLAB于点C,则点D与点B重合

x

.,.CD=Jas"i=J

故答案为：得

【分析】利用垂线段最短，可知RtACOD中，0D的长一定，要使CD最长，则0C最短，因此过点。作

OCJ_AB于点C,则点D与点B重合，利用垂径定理，就可求出CD的最大值。

26.早或3而

【解答】解：在Rtz^ACD中，ZC=90°,AC=12,CD=5,/.AD=13；

在RtZXACB中，ZC=90°,AC=12,BC=CD+DB=18,；.AB=6伍'；

过点D作DM_LAB于点M,：AD=BD=13,AM=J，6=3同；

在Rt^ADM中，VAD=13,AM=3,.\DM=2M；

•.•当点P运动到点D时，点P到AC的距离最大为CD=5<6,

半径为6的。P不可能与AC相切；

当半径为6的。P与BC相切时，设切点为E,连接PE,

.♦.PEJ_BC,且PE=6,

VPE1BC,AC1BC,

；.PE〃AC,

/.△ACD^APED,

APE：AC=PD:AD,

即6：12=PD：13,

/.PD=6.5,

/.AP=AD-PD=6.5;

当半径为6的。P与BA相切时，设切点为F,连接PF,

.♦.PFJLAB,且PF=6,

VPF1BA,DM1AB,

，DM〃PF,

/.△APF^-AADM,

AAP:AD=PF:DM即AP：13=6：2万,

.,.AP=

综上所述即可得出AP的长度为：今或3眄

故答案为：或3机3

【分析】根据勾股定理算出AD,AB的长，过点D作DMJLAB于点M,根据等腰三角形的三线合一得出

AM的长，进而再根据勾股定理算出DM的长；然后分类讨论：当点P运动到点D时，点P到AC的距离

最大为CD=5<6,故半径为6的。P不可能与AC相切；当半径为6的。P与BC相切时，设切点为E,连

接PE,根据切线的性质得出PE_LBC,且PE=6,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出

PE〃AC,根据平行于三角形一边的直线截其它两边，所截的三角形与原三角形相似得出aACDsAPED,

根据相似三角形对应边成比例得出PE:AC=PD:AD,由比例式即可求出PD的长，进而即可算出AP的

长；当半径为6的。P与BA相切时，设切点为F,连接PF,根据切线的性质得出PFLBC,且PF=6,根据

同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出DM〃PF,根据平行于三角形一边的直线截其它两

边，所截的三角形与原三角形相似得出△APFS/XADM,根据相似三角形对应边成比例得出AP：

AD=PF:DM,由比例式即可求出AP的长，综上所述即可得出答案。

27.52°

【解答】解：•.•四边形ABCD是圆内接四边形，ZABC=64°,

/.ZADC=116°,

又：点D关于AC对称的点E在BC上，

.,.ZAEC=ZADC=116°,

ZAEC=ZABC+ZBAE,

/.ZBAE=116O-64O=52°.

故答案为：52。.

【分析】由圆内接四边形性质及对称性质得NAEC=NADC=116。，再由三角形外角性质即可求得NBAE

度数.

三、综合题

28.(1)证明：：AE=DE,0C是半径，

•*-AC=CD>

，NCAD=/CBA

(2)解：AB为。0的直径，

ZACB=90°

VAE=DE,

，OC_LAD,

,ZAEC=90°.

，NAEC=NACB

XVZCAD=ZCBA,

・・・△ACEsABAC,

.CEAC

••AC=ABf

.CE_6_

“"T=IO

ACE=3.6

XVOC=JAB=5,

AOE=OC-EC=5-3.6=1.4.

【分析】(1)利用垂径定理以及圆周角定理解决问题即可.(2)证明△AECS/XBCA,推出

与CF圣=%AC，求出EC即可解决问题.

ACAB

29.(1)解:VZEFB=ZEDB,ZEBF=ZEDF

・•・ZEFB+ZEBF=ZEDB+ZEDF=90°

・•・ZFEB=90°,

•••△BEF为直角三角形

(2)解：VBC=BD,

AZBDC=ZBCD,

•/NEFB=/EDB,

・・・NEFB=NBCD,

・.,AC=AD,BC=BD,

AAB±CD,

AZAMC=90°,

•・・ZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

AZBCD=ZCAB,

AZBFE=ZCAB,

*：ZACB=ZFEB=90°,

AABEF^ABCA.

(3)解：设EF交AB于J.连接AE.

・・・EF与AB互相平分，

・・・四边形AFBE是平行四边形，

・・・NEFA=NFEB=90°,即EF_LAD,

VBD±AD,

・・・EF〃BD,

VAJ=JB,

・・・AF=DF,

l_111

••JrJ—DRkJn—o,

/.EF=m,

:△ABCs△CBM,

ABC：MB=AB：BC,

・・・BM=午，

6

VABEJ^ABME,

ABE：BM=BJ：BE,

ni

VABEF^ABCA,

・ACBC

一EF=BEf

解得m=2百（负根己经舍弃）.

【分析】（1）想办法证明NBEF=90。即可解决问题（也可以利用圆内接四边形的性质直接证明）.（2）

根据两角对应相等两三角形相似证明.（3）证明四边形AFBE是平行四边形，推出FJ="BD=当，

m

EF=m,由△ABCs/\CBM,可得BM=牛,由△BEJsaBME,可得BE=,由aBEFs4

6

BCA,推出珞=暮，由此构建方程求解即可.

EFBE

30.(1)证明：VZADC=ZG,

AC=AD

VAB为。O的直径，

：•ACB=ADB

•••ACB-AC=ADB-AD>即CB=DB

.,.Z1=Z2»

(2)解：连结DF

G

\AB1CD,CE=DE,

*.FD=FC=10

.•点C,F关于GD对称,

\DC=DF=10,2；.DE=5

/tanZ1=5

/.EB=DEtanZl=2

/.Z1=Z2,

2DE95

.•.tanN2=冷，.・.AE=丁匕诲="

5tanZ22

，AB=AE+EB="，六。。的半径为彳

24

【分析】(1)利用圆周角定理可证得弧AC=MAD,再利用AB是圆的直径，去证明弧CB=MBD,然后

根据等弧所对的圆周角相等可证得结论。

(2)连接DF,利用垂径定理可证得CE=DE,AB1CD,就可求出DF,DE的长，再利用解直角三角形

求出EB,AE的长，然后根据AB=AE+EB,就可求出AB的长，即可得到圆的半径。

31.(1)证明：BC平分/ABD,

ZDBC=ZABC

ZCAD=ZDBC

/.ZCAD=ZABC

(2)解；/CAD=/ABC,

•*-CD=AC=^ACD

「AD是。O的直径，AD=6,

.-1..113

••CD=-^ACD=弓xxjr*6=5元

【分析】(1)利用角平分线的定义可得到ZDBC=NABC,再利用同弧所对的圆周角相等，可得至！|NCAD=

ZDBC,据此可证得结论。

(2)利用/CAD=NABC,可证得弧CD和半圆的关系，根据圆的直径可得到圆的半径长，然后就可求

出弧CD的长。

32.(1)解：VOEXAB,ZBAC=30°,

；.E为AB中点，AE=WO4=W，

：AC为直径，半径为1,

ZABC=90°,

ZBAC=30°,

.,.BC=JAC,

;OB=OC=JAC

VOB=BC=OC,

.,.△OBC为等边三角形，

VOF=CF,

ABFIOC,

.•.EF=!AB=G

22

(2)解：①证明：取OB中点M,连接ME,MF

VOF=CF,OM=BM

AMFxBC

—2

由⑴可得AE=BE,AO=OC

AOE//jBC

—2

AMF//OE

四边形OEMF为平行四边形

；.PE=PF

②延长FM交AB于点N

则FN〃BC

VBC±BE

AFNIBE

：OE〃BC

，OE〃FN〃BC

.ENOF1

'NB=FC=1

/.EN=NB

即FN垂直平分BE

，BF=EF

VBO=DO

AFOIBD

ZAOB=90°

VOA=OB

，NBAC=45°

【分析】(1)利用垂径定理及直角三角形的性质，就看求出AE的长，即可求出AB的长，利用圆周角定

理可证得/ABC=90。，利用直角三角形的性质及等边三角形的判定，可证得AOBC为等边三角形，利用

等边三角形的性质，然后求出EF的长。

(2)①易证MF是△OBC的中位线，利用已知易证MF和BC的数量关系和位置关系，再证明OE和BC

的数量关系和位置关系，由此可证得MF平行且等于OE,由此可以推出OEMF是平行四边形，利用平行

四边形的性质，可证得结论；②延长FM交AB于点N,利用已知易证OE〃FN〃BC,利用平行线分线段

成比例定理可证得EN二NB,利用线段垂直平分线的判定和性质，可证得BF=EF,然后证明aAOB是等腰

直角三角形，由此可求出NBAC的度数。

33.(1)解：:BE平分NABC,CE平分NACD

,ZE=ZECD-ZEBD

1

=-

2ZABC

D-

1

--Dz

2-1

1-

--a

22

(2)解：如图，延长BC到点T,

・・•四边形FBCD内接于。O,

.\ZFDC+ZBC=180°,

又「ZFDE+ZFDC=180°,

AZFDE=ZFBC,

,.,DF平分LADE,

AZADF=ZFDE,

VZADF=ZABF,

AZABF=ZFBC,

・・・BE是NABC的平分线，

,:介=俞，

AZACD=ZBFD,

ZBFD+ZBCD=180°,ZDCT+ZBCD=180°,

AZDCT=ZBFD,

AZACD=ZDCT,

ACE是AABC的外角平分线，

・・・ZBEC是4ABC中ZBAC的遥望角

(3)解：①如图，连结CF

E

A

•・・ZBEC是aABC中NBAC的遥望角,

AZBAC=2ZBEC,

AZBFC=ZBAC,

.\ZBFC=2ZBEC,

ZBFC=ZBEC+ZFCE,

AZBEC=ZFCE,

•・・ZFCE=ZFAD,

AZBEC=ZFAD,

又・.・NFDE二NFDA,FD=FD,

AAFDE^AFDA(AAS),

ADE=AD,

AZAED=ZDAE,

〈AC是。O的直径，

ZADC=90°,

・•・ZAED+ZDAE=90°,

・•・ZAED=ZDAE=45°

②如图，过点A作AG_LBE于点G,过点F作FM_LCE于点M

〈AC是。的直径,

・・・ZABC=90°,

VBE平分NABC,

1

・・・ZFAC=ZEBC=2ZABC=45°

•/ZAED=45°,

AZAED=ZFAC,

AZFED=ZFAD,

ZAED-ZFED=ZFAC-ZFAD,

/.ZAEG=ZCAD,

VZEGA=ZADC=90°,

/.△EGA^-AADC,

•AG

''~AC='CD

•.•在RtAABG中，

AG=AB=4J2

T

在RtAADE中，AE=^2AD

.

AC=5

在RtAADC中，AD2+DC2=AC2,

，设AD=4x,AC=5x,则有(4x尸+5?=(5x尸

5

..x=3

，ED=AD=

；.CE=CD+DE=笄

VZBEC=ZFCE,

・・・FOFE,

VFMICE,

4CE=

.♦.EM=365

5

_

；.DM=DE-EM=6

丁ZFDM=45°,

AFM=DM=焉

•••SADEF=段DEFM=/

【分析】(1)由三角形的外角的性质把/E转化为ZECD-ZEBD,结合角平分线的性质可得

NE=g(ZACD-ZABC),于是根据外角的性质可得NE=gNA,则NE和a的关系可知；

(2)用圆内接四边形的一个外角等于它的内对角可得NFDE=/FBC,再由DF平分NADE,

结合同弧所对的圆周角相等，可得NABF=NFBC,于是BE是NABC的平分线，然后由同弧所对的圆

周角相等，结合圆内接四边形对角互补和角平分线的定义得出CE是AABC的外角平分线，于是由题

(1)可得/BEC是aABC中/BAC的遥望角；

(3)①连结CF,由遥望角的性质可得NBAC=2NBEC,再由同弧所对的圆周角相等，结合三角形

的外角的性质可得NBEC=NFCE,再结合NFCE=NFAD,得出NBEC=/FAD,于是利用角角边定理

可证4FDE丝AFDA,则对应边DE=AD,结合直径所对的圆周角是直角可得4ADE是等腰直角三角

形，则/AED的度数可知；

②过点A作AG1.BE于点G,过点F作FM_LCE于点M,由直径所对的圆周角是直角，结合BE平分

ZABC,可得ZFAC=45°,于是推得NAEG=/CAD,结合NEGA=NADC=90。，可证Z\EGAs4

ADC,根据三角形的性质列比例式，结合AE=@AD,求得AD和AC的比值，设AD=4x,AC=5x,

在Rt^ADC中，根据勾股定理列式求出x,则ED、CE的长可求，从而求出DM,由等腰直角三角形的

性质求出FM,最后根据三角形面积公式求面积即可.

34.(1)解：在RtZ\AOC中，ZAOC=60°,

AC=AO-sinZAOC=2sin60°=J3,

VOC±AB,

AAB=2AC=2百

(2)解：：OA=OB=2,OC1AB,

.,.ZAOB=2ZAOC=120°.

.-_21Kr_120"2

.3-180面一

=4TT

一于

，石的长是.

【分析】(1)在RtZXAOC中，由AC=AOsinNAOC,可求出AC=〃，根据垂径定理可得AB=2AC

=2祗；

(2)根据等腰三角形的性质可得NAOB=2NAOC=120。，直接利用弧长公式即可求出结论.

35.(1)证明：连结AE,

A

'：ZBAC=90°,ACF为。O的直径.

：AC=EC,ACFIAE.

：AD为。。的直径，.,./AED=90。，即GDLAE,

・・・CF〃DG.

VAD为。O的直径，，ZACD=90°,

AZACD+ZBAC=180°,

・・・AB〃CD,

.•・四边形DCFG为平行四边形。

(2)解：由CD=-|AB,可设CD=3X,AB=8X,

.\CD=FG=3x.

o

VZAOF=ZCOD,.\AF=CD=3x,

BG=8x-3x-3x=2x.

VGE/7CF,

.BEBG2

"EC=GF=3

又：BE=4,；.AC=CE=6,.,.BC=6+4=10,

/.AB=Jld—6：=8=8X,x=1.

在RtZ\ACF中,AF=3,AC=6,

•••CF=杼+62=