2019秋人教版高中数学必修二检测评估验收(一)

评估查收(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的)1．以下说法正确的选项是( )A．棱柱的侧面都是长方形B．棱柱的全部面都是四边形C．棱柱的侧棱不必定相等D．一个棱柱起码有五个面分析：由棱柱的定义及性质，A，B，C不正确．三棱柱的面最少，两个底面和三个侧面，D正确．答案：D2．若一个圆柱的轴截面是面积为8的正方形，则这个圆柱的侧面积为( )A．4πB．8πC．42πD．12π分析：设轴截面的边长为a，则a2＝8，所以a＝22.所以圆柱的底面半径R＝2，母线长l＝22，所以S圆柱侧＝2πR·l＝8π.答案：B3．一个几何体的三视图如下图，已知这个几何体的体积为103，则h为( )3A.2B.3C．33D．53分析：由三视图可知，该几何体是四棱锥，其底面是长为6、宽为5的矩形，高为h，所以V＝1×6×5×h＝103，解得h＝3.3答案：B4．如图，Rt△O′A′B′是一平面图的直观图，斜边O′B′＝2，则这个平面图形的面积是( )A.2B．12C.2D．22分析：由于Rt△O′A′B′是一平面图形的直观图，斜边O′B′＝2，所以直角三角形的直角边长是2，1所以直角三角形的面积是2×2×2＝1，所以原平面图形的面积是1×22＝22.答案：D5．已知圆锥的底面半径为1，且它的侧面睁开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为( )A.3B.3π3πC.5D.5π3π解：设圆锥的底面半径为r，母线长为R，如下图，则2πr＝πR，由于r＝1，所以R＝2，所以圆锥的高h＝R2－r2＝3，所以圆锥的体积V＝13π×12×3＝33π.答案：A6．若长方体相邻三个面的面积分别为2，3，6，则长方体的体积等于( )A.6B．6C．66D．36分析：设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，则不如设ab＝6，ac＝3，bc＝2.所以a2b2c2＝2×3×6＝6.故长方体的体积V＝abc＝6.答案：A7．若在棱长为1的正方体上，分别用过共极点的三条棱中点的平面去截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是( )21A.3B.651C.6D.3111115分析：易知V＝1－8×3×2×2×2×2＝6.答案：C8．过球的一条半径的中点作垂直于该半径的平面，则所得截面圆的面积与球的表面积的比值为( )39A.16B.1639C.8D.32分析：设球的半径为R，截面圆的半径为r，则R2222322＋r＝R，所以r＝R.4S截面π2133故＝r2＝×＝.S球π44164R答案：A9．一个圆锥的侧面积是其底面积的2倍，则该圆锥的母线与轴所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．75°分析：设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，则由题意得πrl＝2πr2，所以l＝2r，所以圆锥的母线与轴所成的角为30°.答案：A10．若某几何体的三视图(单位：cm)如下图，则此几何体的体积是( )A．24cm3B．40cm3C．36cm3D．48cm3分析：由三视图可知，该几何体是由一个三棱柱截去两个全等的与三1棱柱等底面且高为2的三棱锥形成的，故该几何体的体积V＝2×4×3×82×13×12×4×3×2＝40(cm3)．答案：B11．(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如下图，则该四棱锥的最长棱的长度为( )A．32B．23C．22D．2分析：在正方体中复原该四棱锥，如下图，可知SD为该四棱锥的最长棱．由三视图可知正方体的棱长为2，故SD＝22＋22＋22＝23.答案：B12．如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为等腰直角三角形，且此三角形内接于圆柱的底面圆．假如圆柱的体积是V，那么三棱柱的体积是( )2VVA.πB.2πVVC.πD.3π分析：设圆柱的底面圆半径为R，高为h，在等腰Rt△A1B1C1中，A1B1＝2R.所以△＝1(2R)2＝2，SA1B1C12R又S圆＝πR2，h＝V2，πR所以＝·△＝2VV三棱柱hR＝.hSA1B1C1π答案：C二、填空题(本大题共4个小题，每题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1-EDF的体积为________．分析：SDDE＝1×1×1＝1，又点F到平面1E的距离为，所以122DD1VD-EDF＝VF-DDE＝1SDDE×1＝1.11316答案：1614.一个水平搁置的圆柱形储油桶(如下图)，桶内有油部分所在圆弧1占底面圆周长的4，则油桶直即刻，油的高度与桶的高度的比值是________．分析：设圆柱桶的底面半径为R，油桶高为h，油桶直即刻油面的高度为x，由题意知，油部分所在圆弧对应的扇形的圆心角为90°，1212，所以x11则π－R＝π2＝－.4R2hRxh42π1答案：4－2π15．湖面上漂着一个小球，湖水结冰后将球拿出，冰面上留下一个直径为12cm、深2cm的空穴，则该球的半径是________cm，表面积是________cm2.分析：设球的半径为Rcm，由条件，知R2＝62＋(R－2)2，解得＝，S表＝π2＝400π2)．R104R(cm答案：10400π16．已知一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，且这32个球的体积是3π，则这个三棱柱的体积是________．4332π分析：设球的半径为r，则3πr＝3，得r＝2，柱体的高为2r＝4.又正三棱柱的底面三角形的内切圆半径与球的半径相等，所以底面正三角形的边长为43，所以正三棱柱的体积V＝43×(43)2×4＝483.答案：483三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必需的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，一个圆锥形的空杯子上边放着一个半球形的冰淇淋，假如冰淇淋消融了，会溢出杯子吗？请用你的计算数听说明原因．解：由于V半球＝12×43πR3＝12×43×π×43≈134(cm3)，V圆锥＝13πr2h＝13π×42×12≈201(cm3)，由于134＜201，所以V半球＜V圆锥，所以冰淇淋消融了，不会溢出杯子．18．(本小题满分12分)如图，正方体ABCD-A′B′C′D′的棱长为a，连结A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，获得一个三棱锥．(1)求三棱锥A′-BC′D的表面积与正方体的表面积的比值；(2)求三棱锥A′-BC′D的体积．解：(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中，六表面皆是正方形，所以A′C′＝A′B＝A′D＝BD＝C′D＝2a.12a×63a2，则S三棱锥A′-BC′D＝4×2×2a＝2又S正方体＝6a2，所以S三棱锥A′-BCD∶S正方体＝3∶3.(2)易知三棱锥A′-ABD，C-′BCD，D-A′D′C′，B-A′B′C′的体积相等．所以三棱锥A′-BC′D＝正方体－＝311213.VV4V三棱锥′a－××a·a＝aA-ABD432319．(本小题满分12分)已知圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径及两底面面积之和．解：如下图，设圆台上底面半径为r，则下底面半径为2r，且∠ASO30°，在Rt△SO′A′中，r＝sin30，°SA′所以SA′＝2r.2r在Rt△SOA中，SA＝sin30，°所以SA＝4r.由于SA－SA′＝AA′，即4r－2r＝2a，所以r＝a.所以S＝S1＋S2＝πr2＋π(2r)2＝5πr2＝5πa2.所以圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面积之和为5πa2.20．(本小题满分12分)在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为3的圆柱，求圆柱的表面积．解：设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S，则ROC＝2，AC＝4，AO＝42－22＝23.如下图，易知△AEB∽△AOC，AEEB3r所以AO＝OC，即23＝2，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝23π.所以S＝S底＋S侧＝2π＋23π＝(2＋23)π.21．(本小题满分12分)已知一个几何体的三视图如下图．(1)求此几何体的表面积S；(2)已知点P，Q在正视图中的地点(P为所在线段的中点，Q为所在线段的端点)，求在几何体的侧面上，从点P到点Q的最短路径的长．解：(1)由三视图知，该几何体是由一个圆锥和一个圆柱构成的，其表面积是圆锥的侧面积、圆柱的侧面积和圆柱的一个底面面积之和．又S圆锥侧＝π×a×2a＝2πa2，S圆柱侧＝2πa×2a＝4πa2，S圆柱底＝πa2，222＋2所以＝π＋π＋π＝(2π.S2a4aa5)a(2)沿点P与点Q所在的母线剪开圆柱侧面，如图．则＝2＋2＝22＝2AQa＋（π）a1＋π.PQAPa所以在几何体的侧面上，从点到点的最短路径的长为2PQa＋π.122．(本小题满分12分)一几何体按比率绘制的三视图如下图(单位：m)：(1)试画出它的直观图；(2)求它的表面积和体积．解：(1)直观图如下图．(2)易知该几何体是由长方体被截去一个三棱柱获得的，且该几何体的3体积是以A1B1、A1D、AA1的长为长、宽、高的长方体体积的4.如图，在直角梯形AA1B1B中，作BE⊥A1B1于点E，由于AA1＝AB＝1m，所以四