20182019学年高中数学第二章平面向量25平面向量应用举例1课后习题新人教A版必修4

2.5.1平面几何中的向量方法课后篇稳固研究1.已知A,B,C,D四点的坐标分别是(1,0),(4,3),(2,4),(0,2),则四边形ABCD为( )A.梯形B.菱形C.矩形D.正方形分析由题意知,=(3,3),=(2,2),因此.又由于||≠||,因此四边形ABCD为梯形.答案A2.在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6,D为AC中点,则cos∠BDC=( )A.-B.C.0D.分析如图成立平面直角坐标系,则B(0,0),A(0,8),C(6,0),D(3,4),∴=(-3,-4),=(3,-4).又∠BDC为的夹角,∴cos∠BDC=.答案B3.在△中,设O是△的外心,且,则∠( )ABCABCBAC=A.30°B.45°C.60°D.90°分析由于,因此O也是△ABC的重心.又由于O是△ABC的外心,因此△ABC是等边三角形,故∠BAC=60°.答案C4.已知O是四边形ABCD内一点,若=0,则以下结论正确的选项是( )A.四边形ABCD为正方形,点O是正方形ABCD的中心B.四边形为一般四边形,点O是四边形的对角线交点ABCDABCD1C.四边形ABCD为一般四边形,点O是四边形ABCD的外接圆的圆心D.四边形为一般四边形,点O是四边形对边中点连线的交点ABCDABCD分析由0知,=-().设,的中点分别为,,由向量加法=ABCDEF的平行四边形法例,知0,是EF的中点;同理,设,的中点分别为,,则是的中=OADBCMNOMN点,因此O是EF,MN的交点,应选D.答案D5.已知△的外接圆半径为1,圆心为,且3450,则的值为()ABCO++=A.-B.C.-D.分析由于3+4+5=0,因此3+4=-5,因此9+24+16=25.由于,,在圆上,ABC因此||=||=||=1.代入原式得=0,因此=-(34)·()+=-(3+4-3-4)=-.答案A6.在△中,设a,b,c,若a·bb·cc·a,则△的形状为( )ABC=====ABCA.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形分析由于a·b=b·c,因此(a-c)·b=0,而由向量加法的三角形法例可知,a+b+c=0,因此b=-a-c,所以(a-c)·(-a-c)=0,即(a-c)·(a+c)=0,获得a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,因此|a|=|b|=|c|.故△ABC是等边三角形.答案B7.已知,,是单位圆上的三点,且,此中为坐标原点,则∠AOB=.ABCO2分析如下图,由||=||=||=1,,得四边形OACB为边长为1的菱形,且∠AOB=120°.答案120°8.已知A(3,2),B(-1,-1),若点P在线段AB的中垂线上,则x=.分析设AB的中点为M,则M=(x-1,-1),由题意可知=(-4,-3),,则=0,所以-4(x-1)+(-1)×(-3)=0,解得x=.答案9.如下图,在等腰直角三角形ACB中,∠ACB=90°,CA=CB,D为BC的中点,E是AB上的一点,且2求证:⊥AE=EB.ADCE.证明()·()=====-|2+|2.由于,因此-220,故⊥CA=CB|+|=ADCE.10.导学号68254091已知△ABC是等腰直角三角形,∠B=90°,D是BC边的中点,BE⊥,垂足为,延伸交于,连结,求证:∠∠ADEBEACFDFADB=FDC.3证明如图,以B为原点,所在直线为x轴成立平面直角坐标系,BC设A(0,2),C(2,0),则D(1,0),=(2,-2).设=λ,则=(0,2)+(2λ,-2λ)=(2λ,2-2λ).又=(-1,2),由题设,因此=0,因此-2