中考数学提升讲义共顶点旋转模型其延伸

创作时间：二零二一年六月三十天中考数学共极点旋转模型之答禄夫天创作创作时间：二零二一年六月三十天一、题源剖析（人教版八年级上册第55页）如图,CACD,12，BCEC,求证ABDE（人教版九年级上册第63页）如图,ABD,AEC都是等边三角形,BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系建立的理由吗？二、共极点旋转模型简要概括共极点模型,是指两个等腰或许等边三角形的极点重合,两个三角形的两条腰分别组成的两个三角形全等或许相像.比如上题中的三角形ADC和三角形ABE.找寻共极点旋转模型的步伐以下：1）找寻公共的极点2）列出两组相等的边或许对应成比率的边3）将两组相等的边分别分别到两个三角形中去,证明全等或相像即可.典例剖析1：（2014年河南）（1）问题发现如图1,△ACB和△DCE均为等边三角形,点A、D、E在同向来线上,连结BE填空：（1）∠AEB的度数为；创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天2）线段AD、BE之间的数目关系是.2）拓展研究如图2,△ACB和△DCE均为等腰三角形,∠ACB=∠DCE=900,点A、D、E在同向来线上,CM为△DCE中DE边上的高,连结BE.请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数目关系,并说明原因.思路点拨：（1）第一问,考虑到两个等边三角形有一个公共极点C,在点C处能够找到两组相等的边,列出来即可示意为：CACB,察看CDCE边的形式,就能够获取全等的两个三角形是：CADCBE.（2）类比第一问,能够获取CACB,故而全等的三角形为CDCECADCBE,以后再做计算即可.典例剖析2：（2015年安徽）如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点,过点E作AB的垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连结AG、BG、CG、DG,且∠AGD＝∠BGC．（1）求证：AD＝BC；（2）求证：△AGD∽△EGF；AD（3）如图2,若AD、BC所在直线相互垂直,求EF的值．思路点拨：（1）第一问,联合共极点旋转全等模型即可创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天（2）类比第一问,全等模型的延长,相像模型.依据GEGF,类GAGD比全等证明相像.AD（3）联合前两问的相像即可获取EF即为相像比,亦即求解GEGFGAGD

的值即可.典例剖析3：（2011年广州中考）如图1,⊙O中AB是直径,C是⊙O上一点,∠ABC=45°,等腰直角三角形DCE中∠DCE是直角,点D在线段AC上．1）证明：B、C、E三点共线；2）若M是线段BE的中点,N是线段AD的中点,证明：MN2OM.思路点拨：1）第一问,共极点旋转模型2）依据第一问的全等证明即可结构旋转模型求解.三、共极点旋转模型的应用1．半角模型：所谓半角模型,是指在从角的极点向角内部引出两条直线,这两条直线形成的夹角恰巧即是原角的一半大年夜小.典例剖析1：（2014年四川绵阳）如图,在正方形ABCD中,E、F分别是边BC、CD上的点,∠EAF=45°,△ECF的周长为4,则正方形ABCD的边长为．思路点拨：将三角形ADF绕点A顺时针旋转90°即可.创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天典例剖析2：（2016?南岗区模拟）已知△ABC是等边三角形,点D在△ABC外,连结BD、CD,且∠BDC=120°,BD=DC,点M,N分别在边AB,AC上,连结DM、DN、MN,∠MDN=60°,研究：△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系．1）如图1,当DM=DN时,=；2）如图2,当DM≠DN时,猜想=；并加以证明．思路点拨：模范的半角模型,将三角形DCN绕点D逆时针旋转120°即可.总结：1）半角模型的基本形式：大年夜角包小角,小角得一半2）半角模型的解题方法：将被两条直线分开的两个角中随意一个旋转全角大年夜小即可.延长例题：（2016春?黄岛区期中）问题：如图（1）,点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上,∠EAF=45°,试判断BE、EF、FD之间的数目关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG,进而发现EF=BE+FD,请你利用图（1）证明上述结论．【类比引申】如图（2）,四边形ABCD中,∠BAD≠90°,AB=AD,∠B+∠D=180°,点E、F分别在边BC、CD上,则当∠EAF与∠BAD知足关系时,仍有EF=BE+FD．【研究应用】创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天如图（3）,在某公园的同一水平面上,四条通道围成四边形ABCD．已知AB=AD=80米,∠B=60°,∠ADC=120°,∠BAD=150°,路程BC、CD上分别有景点E、F,且AE⊥AD,DF=（40﹣40）米,现要在E、F之间修一条笔挺路程,求这条路程EF的长为米．2．K字模型：所谓K字模型,与半角模型近似,实则是指组成的图形近似于“K”字.题源：人教版课本新课标八年级下册第30页,勾股定理的证明.典例剖析1：（2014年四川南充）如图,将正方形OABC放在平面直角坐标系中,O是原点,A的坐标为（1,）,则点C的坐标为（）A．（﹣,1）B．（﹣1,）C．（,1）D．（﹣,﹣1）思路点拨：过点C作x轴的垂线即可.典例剖析2：（2015山东省德州市）（1）问题：如图1,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,∠DPC=∠A=∠B=90°.求证：AD·BC=AP·BP.（2）研究：如图2,在四边形ABCD中,点P为AB上一点,当∠DPC=∠A=∠B=θ时,上述结论能否依旧建立？说明原因.（3）应用请利用（1）（2）获取的经验解决问题：如图3,在△ABD中,AB=6,AD=BD=5.点P以每秒1个单元长度的速度,由点A起程,沿边AB向点B运动,且知足∠DPC=∠A.设点创作时间：二零二一年六月三十天创作时间：二零二一年六月三十天P的运动时间为t（秒）,当以D为圆心,以DC为半径的圆与AB相切,求t的值.总结：K字形模型解题基本思路是：利用角的和相等的原理,证明K的两边的三角形相像或全等.在不相像或许全等时,结构三角形使两个三角形全等相像.比如：（2016?洛阳模拟）（1）【问题发现】小明碰到这样一个问题：如图1,△ABC是等边三角形,点D为BC的中点,且知足∠ADE=60°,DE交等边三角形外角均分线CE所在直线于点E,尝试究AD与DE的数目关系．小明发现,过点D作DF∥AC,交AC于点F,经过结构全等三角形,经过推理论证,能够使问题获取解决,请直接写出AD与DE的数目关系：；（2）【类比研究】如图2,当