高考数学函数与导数练习题

函数与导数一、填空题（2017·11）若是函数的极值点，则的极小值为（）A.B.C.D.1（2016·12）已知函数满足，若函数与图像的交点为，，…，，则（）A．0 B．m C．2m D．4m（2015·5）设函数，则（）A．3 B．6 C．9 D．12（2015·10）如图，长方形ABCD的边AB=2，BC=1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记∠BOP=x.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f（x），则f（x）的图像大致为（）A． B． C． D．（2015·12）设函数是奇函数的导函数，，当x>0时，，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是（）A． B．C． D．（2014·8）设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0 B．1 C．2 D．3（2014·12）设函数，若存在的极值点满足，则m的取值范围是（）A． B．C． D．（2013·8）设，，，则（）A. B. C. D.（2013·10）已知函数，下列结论中错误的是（）A.B.函数的图像是中心对称图形C.若是的极小值点，则在区间单调递减D.若是的极值点，则（2012·10）已知函数，则的图像大致为（）11y1yyyxyoy1y1yyyxyoy1y1yyyxyoy1y1yyyxyoyA. B. C. D.（2012·12）设点P在曲线上，点在曲线上，则的最小值为（）A. B. C. D.（2011·2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（）A．B．C． D．（2011·9）由曲线，直线及y轴所围成的图形的面积为（）A． B．4 C． D．6（2011·12）函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（）A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题（2014·15）已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减，f(2)=0.若f(x-1)>0，则x的取值范围是_________.（2016·16）若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln(x+1)的切线，则b=.三、解答题（2017·21）已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数的单调性，并证明当>0时，；（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值.设g(x)的最小值为，求函数的值域.14．（2015·21）设函数.（Ⅰ）证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f(x1)-f(x2)｜≤e-1，求m的取值范围．15．（2014·21）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，当时，，求的最大值；（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）.16．（2013·21）已知函数.（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明.17.（2012·21）已知函数. （Ⅰ）求的解析式及单调区间； （Ⅱ）若，求的最大值.18．（2011·21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求k的取值范围.

2011年—2017年新课标全国卷Ⅱ理科数学试题分类汇编7．函数与导数（解析版）（2017·11）A【解析】∵∴导函数，∵，∴，∴导函数，令，∴，，当变化时，，随变化情况如下表：+0-0+极大值极小值从上表可知：极小值为.故选A（2016·12）B解析：由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，，∴，故选B．（2016·12）B解析：由得关于对称，而也关于对称，∴对于每一组对称点，，∴，故选B．（2015·5）C解析：由已知得，又，所以，故．（2015·10）B解析：由已知得，当点P在BC边上运动时，即时，；当点P在CD边上运动时，即，时，，当时，；当点P在AD边上运动时，即时，，从点P的运动过程可以看出，轨迹关于直线对称，且，且轨迹非线型，故选B．（2015·12）A解析：记函数，则，因为当x>0时，xf´(x)-f(x)<0，故当x>0时，g´(x)<0，所以g(x)在(0,+∞)单调递减；又因为函数f(x)(x∈R)是奇函数，故函数g(x)是偶函数，所以g(x)在(-∞,0)单调递增，且g(-1)=g(1)=0．当0<x<1时，g(x)>0，则f(x)>0；当x<-1时，g(x)<0，则f(x)>0，综上所述，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(-∞,-1)∪(0,1)，故选A．（2014·8）D解析：∵，且在点处的切线的斜率为2，∴，即.（2014·12）C解析：∵，令得，∴，即，的极值为，∴，，，即：，故：或.（2013·8）D解析：根据公式变形，，，，因为lg7＞lg5＞lg3，所以，即c＜b＜a.故选D.（2013·10）C解析：∵f´(x)=3x2+2ax+b，∴y＝f(x)的图像大致如右图所示，若x0是f(x)的极小值点，则则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．（2012·10）B解析：易知对恒成立，当且仅当时，取等号，故的值域是(-∞,0).所以其图像为B.（2012·12）B解析：因为与互为反函数，所以曲线与曲线关于直线y=x对称，故要求|PQ|的最小值转化为求与直线y=x平行且与曲线相切的直线间的距离，设切点为A，则A点到直线y=x距离的最小值的2倍就是|PQ|的最小值.则，，即，故切点A的坐标为，因此，切点A点到直线y=x距离为，所以.（2011·2）B解析：由各函数的图像知，故选B.（2011·9）C】解析：用定积分求解，故选C.（2011·12）D解析：的对称中心是（1,0）也是的中心，他们的图像在x=1的左侧有4个交点，则x=1右侧必有4个交点.不妨把他们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则，故选D.二、填空题（2014·15）解析：∵是偶函数，∴，又∵在单调递减，∴，解得：（2016·16）解析：的切线为：（设切点横坐标为），的切线为：，∴，解得，∴．三、解答题（2017·21）已知函数且.（1）求a；（2）证明：存在唯一的极大值点，且.（2017·21）解析：(1)法一：由题知：，且，所以，即当时，；当时，；当时，成立.令，，当时，，递减，，所以：，即：，所以；当时，，递增，，所以：，即：.所以，.综上，.法二：洛必达法则：由题知：，且，所以：.即当时，；当时，；当时，成立.令，.令，.当时，,递增，；所以，递减，，所以：；当时，,递减，；所以，递减，，所以：.故.（2）由(1)知：，，设，则.当时，；当时，.所以在递减，在递增.又，，，所以在有唯一零点，在有唯一零点1，且当时，；当时，；当时，.又，所以是的唯一极大值点.由得，故.由得.因为是在的唯一极大值点，由，得所以.（2016·21）（Ⅰ）讨论函数的单调性，并证明当>0时，；（Ⅱ）证明：当时，函数有最小值.设g(x)的最小值为，求函数的值域.（2016·21）证明：⑴，∵当时，，∴在上单调递增，∴时，，∴.⑵，，由(1)知，当时，的值域为，只有一解．使得，，当时，，单调减；当时，单调增，，记，在时，，∴单调递增，∴．（2015·21）设函数.（Ⅰ）证明：f(x)在（-∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）若对于任意x1,，x2∈[-1，1]，都有｜f(x1)-f(x2)｜≤e-1，求m的取值范围．（2015·21）解析：（Ⅰ），若，则当时，；当时，，.若，则当时，；当时，，，所以，在单调递减，在单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，对任意的，在[-1，0]单调递减，在[0,1]单调递增，故在处取得最小值，所以对于任意，的充要条件是，即①.设函数，则，当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增.又，，故当时，.当时，，即①式成立；当时，由的单调性，，即；当时，，即，综上，的取值范围是[-1,1].（2014·21）已知函数.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设，当时，，求的最大值；（Ⅲ）已知，估计ln2的近似值（精确到0.001）.（2014·21）解析：（Ⅰ）∴当且仅当x=0时等号成立，所以函数在R上单调递增．（Ⅱ）∴当x>0时，，，，(1)当时，，当且仅当x=0时等号成立.所以此时g(x)在R上单调递增，而g(0)=0，所以对任意x>0，有g(x)>0.(2)当时，若x满足时，即时，，而g(0)=0，因此当时，g(x)<0.综上可知，当时，才对任意的x>0，有g(x)>0，因此b的最大值为2.（Ⅲ）由(Ⅱ)知，，当b=2时，，；当时，，，，所以ln2的近似值为0.693.（2013·21）已知函数.（Ⅰ）设是的极值点，求，并讨论的单调性；（Ⅱ）当时，证明.（2013·21）解析：（Ⅰ）f′(x)＝.由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.于是f(x)＝ex-ln(x+1)，定义域为(-1，+∞)，f′(x)＝.函数f′(x)＝在(-1，+∞)单调递增，且f′(0)＝0.因此当x∈(-1,0)时，f′(x)＜0；当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.所以f(x)在(-1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．（Ⅱ）当m≤2，x∈(-m，+∞)时，ln(x+m)≤ln(x+2)，故只需证明当m=2时，f(x)＞0.当m=2时，函数f′(x)=在(-2，+∞)单调递增．又f′(-1)＜0，f′(0)＞0，故f′(x)=0在(-2，+∞)有唯一实根x0，且x0∈(-1,0)．当x∈(-2，x0)时，f′(x)＜0；当x∈(x0，+∞)时，f′(x)＞0，从而当x=x0时，f(x)取得最小值．由f′(x0)=0得=，ln(x0+2)=-x0，故f(x)≥f(x0)=+x0=＞0.综上，当m≤2时，f(x)＞0.（2012·21）已知函数. （Ⅰ）求的解析式及单调区间； （Ⅱ）若，求的最大值.（2012·21）解析：（Ⅰ），令x=1得，f(x)=1，再由，令得.所以的解析式为，∴，易知是R上的增函数，且.所以，，所以函数的增区间为，减区间为.（Ⅱ）若恒成立，即恒成立，.(1)当时，恒成立，为R上的增函数，且当时，，不合题意；(2)当时，恒成立，则，；(3)当时，为增函数，由得，故，，当时，取最小值.依题意有，即，，，令，则，，所以当时，取最大值.故当时，取最大值.综上，若，则的最大值为.（2011·21）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求k的取值范围.解析：（Ⅰ）由于直线的斜率为，且过点，故，即，解得，.（Ⅱ