2020-2021数学人教版选择性第一册章末综合测评2直线和圆的方程

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材数学人教A版选择性必修第一册章末综合测评2直线和圆的方程章末综合测评（二)直线和圆的方程(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设直线x＋my＋n＝0的倾斜角度为θ,则它关于y轴对称的直线的倾斜角是（)A．θ B．eq\f（π,2)－θC．π－θ D．eq\f(π，2)＋θC[设关于y轴对称的直线的倾斜角为α，则有α＋θ＝π,所以α＝π－θ。故选C.］2．与直线l：mx－m2y－1＝0垂直于点P(2，1)的直线的一般方程是（)A．x＋y－3＝0 B．x＋y＋3＝0C．x－y－3＝0 D．m2x＋my－1＝0A［由已知可得2m－m2－1＝0⇒m＝1⇒k＝1⇒y－1＝－1（x－2）⇒x＋y－3＝0，这就是所求直线方程，故选A。]3．若过点（1，2)总可以作两条直线与圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2－15＝0相切，则实数k的取值范围是（)A．k〉2 B．－3〈k<2C．k<－3或k>2 D．以上都不对C[由题意知点在圆外，故12＋22＋k＋2×2＋k2－15>0，解得k<－3或k〉2。］4．若直线x＋(1＋m）y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行,则m的值是（)A．1 B．－2C．1或－2 D．－eq\f(3,2)A[①当m＝－1时，两直线分别为x－2＝0和x－2y－4＝0，此时两直线相交，不合题意．②当m≠－1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(－\f（1，1＋m)＝－\f（m,2)，,\f(2,1＋m）≠－2，))解得m＝1。综上可得m＝1。故选A.]5．圆(x－3）2＋（y－3)2＝9上到直线3x＋4y－11＝0的距离等于2的点有（）A．1个 B．2个C．3个 D．4个B［圆心(3，3）到直线3x＋4y－11＝0的距离d＝eq\f（|3×3＋3×4－11|，5)＝2，而圆的半径为3，故符合题意的点有2个．］6．过点(1,0）且倾斜角为30°的直线被圆(x－2)2＋y2＝1所截得的弦长为（)A．eq\f（\r（3），2) B．1C．eq\r（3) D．2eq\r(3）C[由题意得,直线方程为y＝eq\f（\r(3)，3)（x－1），即x－eq\r（3)y－1＝0.圆心(2，0）到直线的距离为d＝eq\f(｜2－1|,2）＝eq\f(1，2)，故所求弦长为l＝2eq\r(r2－d2)＝2eq\r（1－\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\f(1,2)））\s\up12（2))＝eq\r（3).故选C。］7．若方程x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0所表示的圆取得最大面积,则直线y＝(k－1）x＋2的倾斜角α等于（）A．45° B．135°C．60° D．120°B［将圆x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0化成标准方程，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1（x＋\f(k,2）)）eq\s\up12(2）＋（y＋1）2＝1－eq\f(3k2,4）,∴r2＝1－eq\f（3k2，4)，当圆取得最大面积时，k＝0，半径r＝1，因此直线y＝(k－1)x＋2，即y＝－x＋2。得直线的倾斜角α满足tanα＝－1，∴α＝135°。]8．已知点A(1，1），B(3,5）到经过点（2，1)的直线l的距离相等,则l的方程为(）A．2x－y－3＝0B．x＝2C．2x－y－3＝0或x＝2D．以上都不对C[当A,B都在l的同侧时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，此时,AB∥l，所以k＝kAB＝eq\f(5－1，3－1）＝2，l的方程为2x－y－3＝0.当A，B在l的两侧时，A，B到x＝2的距离相等，因此，l的方程为x＝2，故选C.]二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分,有选错的得0分)9．若A(－4,2）,B(6，－4)，C(12,6），D(2，12），下面结论中正确的是（）A．AB∥CD B．AB⊥ADC．|AC|＝｜BD｜ D．AC⊥BDABCD［kAB＝eq\f（－4－2,6＋4)＝－eq\f(3，5），kCD＝eq\f(12－6，2－12)＝－eq\f（3，5)。且C不在直线AB上，∴AB∥CD，故A正确；又因为kAD＝eq\f(12－2,2＋4）＝eq\f(5,3）,∴kAB·kAD＝－1，∴AB⊥AD，故B正确；∵｜AC|＝eq\r(6－22＋12＋42）＝4eq\r（17)，|BD|＝eq\r（2－62＋12＋42）＝4eq\r（17），∴|AC｜＝｜BD｜.故C正确；又kAC＝eq\f(6－2，12＋4)＝eq\f(1，4)，kBD＝eq\f（12＋4，2－6）＝－4.∴kAC·kBD＝－1,∴AC⊥BD，故D正确．］10．若圆C：x2＋y2－4x－4y－10＝0上至少有三个不同的点到直线l：x－y＋c＝0的距离为2eq\r（2)，则c的取值可能是（）A．－2 B．0C．1 D．3ABC[圆方程为(x－2)2＋(y－2）2＝18，圆心为(2,2）,半径为3eq\r(2）,要使条件成立，设圆心到直线的距离为d，只需要d＝eq\f（|c|，\r（2)）≤3eq\r（2）－2eq\r(2），即－2≤c≤2，所以ABC均符合条件．］11．已知平面上一点M(5,0），若直线上存在点P使|PM｜＝4，则称该直线为“切割型直线"．下列直线中是“切割型直线”的是(）A．y＝x＋1 B．y＝2C．y＝eq\f（4,3)x D．y＝2x＋1BC［对于A，d1＝eq\f(｜5－0＋1｜,\r(2））＝3eq\r（2)>4；对于B，d2＝2〈4；对于C，d3＝eq\f(｜5×4－3×0｜，5)＝4；对于D，d4＝eq\f(｜5×2－0＋1｜，\r(5））＝eq\f(11,\r（5）)〉4，所以符合条件的有BC.］12．从点A（－3，3）发出的光线l射到x轴上被x轴反射后，照射到圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上，则下列结论正确的是（)A．若反射光光线与圆C相切，则切线方程为3x－4y－3＝0或4x－3y＋3＝0B．若反射光线穿过圆C的圆心，则反射光线方程为x－y＝0C．若反射光线照射到圆上后被吸收,则光线经过的最短路程是5eq\r(2)－1D．若反射光线反射后被圆C遮挡,则在x轴上被挡住的范围是eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1（－\f(3,4),1））ABCD［点A（－3,3)关于x轴的对称点为A′（－3,－3)．圆方程为(x－2)2＋(y－2）2＝1，斜率存在时，设反射光线方程为y＋3＝k(x＋3)，即kx－y＋3k－3＝0。由相切知eq\f(｜2k－2＋3k－3｜,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq\f(4，3）或eq\f（3，4）.∴反射光线方程为y＋3＝eq\f(4,3)(x＋3)或y＋3＝eq\f（3，4)（x＋3）．即4x－3y＋3＝0或3x－4y－3＝0，故A正确．又A′（－3，－3)，C（2，2)的方程为y＝x，故B正确;因｜A′C｜＝eq\r(2＋32＋2＋32）＝5eq\r（2），所以直线的最短路程为5eq\r（2）－1，故C正确．由于两条与圆C相切的反射光线与x轴的交点为（1，0)和eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f（3,4），0）)，所以被挡住的范围是eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(－\f(3,4)，1）），故D正确．］三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知点M（a，b)在直线3x＋4y＝15上，则eq\r(a2＋b2)的最小值为______．3[eq\r(a2＋b2）的最小值为原点到直线3x＋4y＝15的距离:d＝eq\f（|0＋0－15|，\r(32＋42))＝3.]14．直线2x＋y－3＝0与圆x2＋y2－2x－2y＝0相交于A，B两点，O为坐标原点，则｜eq\o（OA，\s\up8（→））＋eq\o（OB，\s\up8（→)）｜＝________。2eq\r（2)[设A(x1，y1),B（x2,y2），AB的中点为M，联立直线方程与圆的方程:eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x2＋y2－2x－2y＝0，y＝－2x＋3）)，整理可得：5x2－10x＋3＝0,故x1＋x2＝2，y1＋y2＝(－2x1＋3）＋（－2x2＋3)＝－2（x1＋x2)＋6＝2，据此可得:M(1，1），|eq\o（OM,\s\up8（→))|＝eq\r(1＋1）＝eq\r（2），结合平面向量的运算法则有：｜eq\o（OA,\s\up8（→))＋eq\o（OB,\s\up8(→)）|＝2|eq\o（OM，\s\up8(→)）|＝2eq\r(2）.］15．若直线l被直线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0截得的线段长为2eq\r(2)，则直线l的倾斜角θ(0°≤θ〈90°)的值为________．15°或75°[易求得平行线l1，l2之间的距离为eq\f(｜1－3｜，\r(2）)＝eq\r（2)。画示意图（图略)可知，要使直线l被l1,l2截得的线段长为2eq\r(2）,必须使直线l与直线l1，l2成30°的夹角。∵直线l1,l2的倾斜角为45°，∴直线l的倾斜角为45°－30°＝15°或45°＋30°＝75°.］16．阿波罗尼斯（约公元前262－190年)证明过这样一个命题:平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2,动点P满足eq\f（｜PA|,|PB｜)＝eq\r（2），则动点P的轨迹是________．当P,A,B不共线时，△PAB面积的最大值是________．（第一空2分，第二空3分）半径为2eq\r（2）的圆2eq\r（2）［以经过A,B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系(图略），则A（－1,0）,B(1,0）．设P(x，y)，∵eq\f（|PA｜,｜PB|）＝eq\r（2)，∴eq\f（\r（x＋12＋y2),\r（x－12＋y2))＝eq\r（2)，两边平方并整理得：x2＋y2－6x＋1＝0⇒(x－3)2＋y2＝8，即点P的轨迹是以(3，0)为圆心，2eq\r（2）为半径的圆。当点P到AB（x轴)的距离最大时，△PAB的面积最大,此时面积为eq\f（1,2）×2×2eq\r（2)＝2eq\r（2）。]四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分）已知△ABC的顶点A(－2,1)，B（4,3),C(2，－2），试求：(1）AB边的中线所在直线的方程;(2)AC边上的高所在直线的方程．[解］(1）线段AB的中点坐标为（1,2)，所以AB边上的中线所在直线的方程是：eq\f(y－2,－2－2)＝eq\f（x－1，2－1)，即4x＋y－6＝0。（2)由已知kAC＝eq\f(1－－2，－2－2)＝－eq\f(3,4），则AC边上高的斜率是eq\f(4,3）,AC边上的高所在直线方程是y－3＝eq\f（4，3）(x－4)，即4x－3y－7＝0。18．（本小题满分12分)当k为何值时，直线3x－（k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0,(1）相交；(2）垂直;(3)平行；（4）重合．[解］（1）若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋（2k－3）y＋2＝0相交，则有3（2k－3)＋k（k＋2)≠0，解得k≠1且k≠－9。（2)若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋（2k－3）y＋2＝0垂直，则有3k－（k＋2)（2k－3)＝0，解得k＝eq\f(1±\r(13）,2)。（3）若直线3x－(k＋2)y＋k＋5＝0与直线kx＋(2k－3)y＋2＝0平行，则有3(2k－3）＋k（k＋2）＝0，解得k＝1或k＝－9；当k＝1时,两条直线方程均为x－y＋2＝0,重合，故舍去;当k＝－9，两条直线分别为3x＋7y－4＝0和9x＋21y－2＝0，平行,符合题意，所以k＝－9。(4)由（3)可知，k＝1,直线3x－（k＋2）y＋k＋5＝0与直线kx＋（2k－3）y＋2＝0重合．19．(本小题满分12分)已知圆C：x2＋y2－4x＝0。(1)直线l的方程为x－eq\r(3）y＝0,直线l交圆C于A，B两点，求弦长|AB|的值；(2)从圆C外一点P(4,4)引圆C的切线，求此切线的方程．[解](1）∵圆C：x2＋y2－4x＝0，∴圆心C（2，0),r＝2，圆心C到直线距离d1＝eq\f（｜2｜，\r(12＋－\r（3）2）)＝1，∴|AB｜＝2eq\r（r2－d\o\al(2,1））＝2eq\r(3）。（2)①当直线为x＝4时,与圆相切,符合题意．②当斜率存在时，设斜率为k，∴直线方程为y－4＝k（x－4),即kx－y＋4－4k＝0，圆心C到直线距离d2＝eq\f（|2k＋4－4k｜,\r（k2＋1））＝eq\f（|2k－4|，\r(k2＋1）)，∵直线与圆相切，∴d2＝r，即eq\f（|2k－4｜，\r（k2＋1）)＝2，∴k＝eq\f(3，4)，∴直线方程为3x－4y＋4＝0，∴综上可知,切线方程为x＝4或3x－4y＋4＝0.20．（本小题满分12分)如图，已知一艘海监船O上配有雷达,其监测范围是半径为25km的圆形区域，一艘外籍轮船从位于海监船正东40km的A处出发,径直驶向位于海监船正北30km的B处岛屿，速度为28km/h.问：这艘外籍轮船能否被海监船监测到?若能，持续时间多长？（要求用坐标法)[解］如图，以O为原点，东西方向为x轴建立直角坐标系，则A(40，0)，B(0，30),圆O方程x2＋y2＝252.直线AB方程:eq\f（x，40）＋eq\f(y,30）＝1，即3x＋4y－120＝0。设O到AB距离为d，则d＝eq\f(|－120｜,5）＝24〈25，所以外籍轮船能被海监船监测到．设持续时间为t，则t＝eq\f(2\r(252－242），28)＝0.5(h），即外籍轮船能被海监船监测到，持续时间是0.5h.21．（本小题满分12分）已知一束光线经过直线l1：3x－y＋7＝0和l2:2x＋y＋3＝0的交点M,且射到x轴上一点N(1,0)后被x轴反射．(1)求点M关于x轴的对称点P的坐标；(2)求反射光线所在的直线l3的方程;（3）求与直线l3的距离为eq\r（10）的直线方程．［解](1)由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（3x－y＋7＝0，,2x＋y＋3＝0，))得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－2，，y＝1,）)∴M（－2,1)．∴点M关于x轴的对称点P的坐标为(－2，－1)．(2)易知l3经过点P与点N,∴l3的方程为eq\f(y－0,－1－0）＝eq\f（x－1,－2－1），即x－3y－1＝0。（3）设与l3平行的直线为y＝eq\f(1，3）x＋b.根据两平行线之间的距离公式，得eq\f（\b\lc\|\rc\|(\a