高三数学寒假作业3

关注公众号《品数学》高中数学资料共享群（284117036）高三数学寒假作业3一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z1＝3+4i，z2＝1+i，则z1A．7+i B．7﹣i C．﹣7+i D．﹣7﹣i2．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，则A∩（∁RB）＝（）A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]3．已知直线l：y＝k（x+3）和圆C：x2+（y﹣1）2＝1，若直线l与圆C相切，则kA．0 B．3 C．33或0 D．34．已知α为第三象限角，tanα=43，则A．210 B．-210 C．75．已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）=ln|x|ex B．f（x）＝exln|C．f(x)=ln|x|x D．f（x）＝（x﹣1）ln|6．已知a=(12)0.5，b＝log20.3，c＝ab，则a，A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b7．如图，为测得河对岸铁塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在铁塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东30°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则铁塔AB的高为（）A．30+103 B．30-103 C．10+108．执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是n＞6，则输出的结果为（）A．72 B．30 C．42 D．569．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A．计算机行业好于化工行业 B．建筑行业好于物流行业 C．机械行业最紧张 D．营销行业比贸易行业紧张10．双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于AA．3 B．2+3 C．2 D．211．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），（n≥3，n∈N*）．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4除后的余数构成一个新的数列{bn}，又记数列{cn}满c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn﹣bn﹣1（n≥3，n∈N*），则c2020＝（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．012．不等式ax﹣2a＞2x﹣lnx﹣4（a＞0）解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，2） B．[2﹣ln3，2） C．（0，2﹣ln3] D．（0，2﹣ln3）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为14．已知向量a→=(2，1)，b→=(3，4)，c→=(k，2)，若向量3a15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsinA=a(2-3cosB)，b＝4，点D为边AB上的一点，CD＝2，锐角△ACD的面积为15，则c＝16．已知点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，其中PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，AC=3AB，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，第22-23题为选考题）17．（12分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率）：根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D、E两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D级别”的概率．18．（12分）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1＝1，a2a4＝16．（1）设bn＝log2an，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．19．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，底面ABCD是矩形，EF＜BC．（1）证明：EF∥平面ABCD；（2）在中国古代数学经典著作《九章算术》中，称图中所示的五面体ABCDEF为“刍甍”（chúméng），书中将刍甍ABCDEF的体积求法表述为：术曰：倍下袤，上袤从之，以广乘之，又以高乘之，六而一．其意思是：若刍甍ABCDEF的“下袤”BC的长为a，“上袤”EF的长为b，“广”AB的长为c，“高”即“点F到平面ABCD的距离”为h，则刍甍ABCDEF的体积V的计算公式为：V=1高三数学寒假作业3（答案解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数z1＝3+4i，z2＝1+i，则z1A．7+i B．7﹣i C．﹣7+i D．﹣7﹣i【解答】解：∵z2＝1+i，∴z2又z1＝3+4i，∴z1⋅z2=（3+4i）（1﹣i）＝3+4i故选：A．2．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{x|x≥2}，则A∩（∁RB）＝（）A．（2，4） B．（﹣2，4） C．（﹣2，2） D．（﹣2，2]【解答】解：∁RB＝{x|x＜2}；∴A∩（∁RB）＝（﹣2，2）．故选：C．3．已知直线l：y＝k（x+3）和圆C：x2+（y﹣1）2＝1，若直线l与圆C相切，则kA．0 B．3 C．33或0 D．3【解答】解：由圆的方程得到圆心C（0，1），半径r＝1，∵圆心C（0，1）到直线l：y＝k（x+3）和的距离d=∴k=3故选：D．4．已知α为第三象限角，tanα=43，则A．210 B．-210 C．7【解答】解：∵α为第三象限角，tanα=4∴cosα=-11+tan2∴cos(π4+α)=22cosα-22sinα=22故选：A．5．已知函数f（x）的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）A．f（x）=ln|x|ex B．f（x）＝exln|C．f(x)=ln|x|x D．f（x）＝（x﹣1）ln|【解答】解：由图象可知，f（x）是非奇非偶函数，排除C；当0＜x＜1时，图象在x轴的上方，ln|x|＜0，ex＞0，排除A，B；故选：D．6．已知a=(12)0.5，b＝log20.3，c＝ab，则a，A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．a＜c＜b【解答】解：0＜(12)0.5＜1，lo∴ab＞a0＝1，∴b＜a＜c．故选：C．7．如图，为测得河对岸铁塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在铁塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东30°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则铁塔AB的高为（）A．30+103 B．30-103 C．10+10【解答】解：在△BCD中，∠B＝180°﹣45°﹣（90°+30°）＝15°，sin15°＝sin（45°﹣30°）=2∴BCsin45°=10sin15°，解得在Rt△ABC中，AB＝BCtan60°＝10（3+1）×3=故选：A．8．执行如图所示的程序框图，若判断框中的条件是n＞6，则输出的结果为（）A．72 B．30 C．42 D．56【解答】解：模拟程序的运行，可得s＝0，a＝2，n＝1；s＝2，a＝4；不满足条件n＞6，执行循环体，n＝2，s＝6，a＝6；不满足条件n＞6，执行循环体，n＝3，s＝12，a＝8；不满足条件n＞6，执行循环体，n＝4，s＝20，a＝10；不满足条件n＞6，执行循环体，n＝5，s＝30，a＝12；不满足条件n＞6，执行循环体，n＝6，s＝42，a＝14；不满足条件n＞6，执行循环体，n＝7，s＝56，a＝16；此时，满足条件n＞6，退出循环，输出s的值为56．故选：D．9．某地2004年第一季度应聘和招聘人数排行榜前5个行业的情况列表如下行业名称计算机机械营销物流贸易应聘人数2158302002501546767457065280行业名称计算机营销机械建筑化工招聘人数124620102935891157651670436若用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，则根据表中数据，就业形势一定是（）A．计算机行业好于化工行业 B．建筑行业好于物流行业 C．机械行业最紧张 D．营销行业比贸易行业紧张【解答】解：∵用同一行业中应聘人数与招聘人数比值的大小来衡量该行业的就业情况，∴建筑行业招聘人数是76516，而应聘人数没有排在前五位，小于65280，建筑行业人才是供不应求，∵物流行业应聘人数是74570，而招聘人数不在前五位，要小于70436，∴物流行业是供大于求，∴就业形势是建筑行业好于物流行业，故选：B．10．双曲线x2a2-y2b2=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为60°的直线与y轴和双曲线的右支分别交于AA．3 B．2+3 C．2 D．2【解答】解：由题意可得直线方程为y=3（x+c当x＝0时，y=3c∴A（0，3c），∵F1（﹣c，0），设B（x，y），∴2×0＝x﹣c，23c＝y+0，∴x＝c，y＝23c，∴B（c，23c），∴c2即12c2∴b4＝12a2c2，即（c2﹣a2）2＝12a2c2，整理可得e4﹣14e2+1＝0，即e2＝7+43=（2+3）解得e＝2+故选：B．11．历史上数列的发展，折射出许多有价值的数学思想方法，对时代的进步起了重要的作用，比如意大利数学家列昂纳多•斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，…．即F（1）＝F（2）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2），（n≥3，n∈N*）．此数列在现代物理及化学等领域有着广泛的应用，若此数列被4除后的余数构成一个新的数列{bn}，又记数列{cn}满c1＝b1，c2＝b2，cn＝bn﹣bn﹣1（n≥3，n∈N*），则c2020＝（）A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．0【解答】解：记“兔子数列”为{an}，则数列{an}每一项被4除后的余数构成新的数列{bn}为1，1，2，3，1，0，1，1，2，3，1，0，…，可得数列{bn}是周期为6的循环数列，由题意可知数列{cn}为1，1，1，1，﹣2，﹣1，1，0，1，1，﹣2，﹣1，…，观察数列{cn}可知该数列从第三项开始后面所有的数列构成一个周期为6的周期数列，所以c2020＝c4＝1，故选：A．12．不等式ax﹣2a＞2x﹣lnx﹣4（a＞0）解集中有且仅含有两个整数，则实数a的取值范围是（）A．（ln3，2） B．[2﹣ln3，2） C．（0，2﹣ln3] D．（0，2﹣ln3）【解答】解：由题意可知，ax﹣2a＞2x﹣lnx﹣4，设g（x）＝2x﹣lnx﹣4，h（x）＝ax﹣2a．由g′（x）＝2-1x=2x-1x．可知g（x）＝2x﹣lnxh（x）＝ax﹣2a的图象恒过点（2，0），在同一坐标系中作出g（x），h（x）的图象如图，若有且只有两个整数x1，x2，使得f（x1）＞0，且f（x2）＞0，则a＞0h(1)＞g(1)h(3)≤g(3)，即解得0＜a≤2﹣ln3，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．13．已知曲线y=x24-3lnx的一条切线的斜率为【解答】解：求导函数得：y′=x2-3x令x2-3x=12即（x则切点的横坐标为3．故答案为：314．已知向量a→=(2，1)，b→=(3，4)，c→=(k，2)，若向量3a【解答】解：3a→-b→=(3，-1)，∴6+k＝0，解得k＝﹣6．故答案为：﹣6．15．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足bsinA=a(2-3cosB)，b＝4，点D为边AB上的一点，CD＝2，锐角△ACD的面积为15，则c＝15【解答】解：∵bsinA=a(2-3由正弦定理得sinBsinA＝sinA（2-3cosB∵sinA≠0，∴sinB＝2-3cosB即sinB+3cosB即2sin（B+π即sin（B+π∵0＜B＜π，∴B+π即B=π6，△ACD的面积为S=12即sin∠ACD=15∵△ACD是锐角三角形∴cos∠ACD=1-si由余弦定理得AD2＝22+42﹣2×2×4×1则AD＝4，在△ACD中，CDsinA∴sinA=15则△ABC中，BCsinA=ACsinB∴△ABC中，由余弦定理可得：42=(15)2+c2﹣215解得c=15故答案为：15+16．已知点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，其中PA⊥平面ABC，∠BAC=30°，AC=3AB，则三棱锥P﹣ABC的体积的最大值为81【解答】解：点P，A，B，C均在表面积为81π的球面上，可得球的半径为：81π4π∠BAC=30°，AC=3AB，可得BC=外接圆的半径为：r=AB2sin30°三棱锥的高PA＝2(9则三棱锥P﹣ABC的体积：V==3令AB2＝x，则V2=1可得V≤818．当且仅当x=272故答案为：818三、解答题（共70分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17-21题为必考题，第22-23题为选考题）17．（12分）某学校为缓解学生的学习压力，其中高三年级经常举行一些心理素质综合能力训练活动，经过一段时间的训练后从该年级1600名学生中随机抽取200名学生进行测试，并将其成绩分为A、B、C、D、E五个等级，统计数据如图所示（视频率为概率）：根据以上抽样调查数据，回答下列问题：（1）试估算该校高三年级学生获得成绩为B的人数；（2）若等级A、B、C、D、E分别对应100分、90分、80分、70分、60分，学校要求平均分达90分以上为“考前心理稳定整体过关”，请问该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”是否过关？（3）为了解心理健康状态稳定学生的特点，现从D、E两种级别中，用分层抽样的方法抽取5个学生样本，再从中任意选取2位学生样本分析，求事件“至少1位学生来自D级别”的概率．【解答】解：（1）从条形图中可知这200人中，有112名学生成绩等级为B，所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为，112200则该校高三年级学生获得成绩为B的人数约有1600×14（2）这200名学生成绩的平均分为91.3，∵91.3＞90，∴该校高三年级目前学生的“考前心理稳定整体”已过关．（3）由题可知用分层抽样的方法抽取5个学生样本，其中D级3个，E级2个，从而任意选取2个学生，共有n=C记事件“至少1位学生来自D级别”为F，则事件F包含基本事件个数m=C∴事件“至少1位学生来自D级别”的概率为P(F)=918．（12分）已知数列{an}是各项均为正数的等比数列，若a1＝1，a2a4＝16．（1）设bn＝log2an，求数列{bn}的通项公式；（2）求数列{anbn}的前n项和Sn．【解答】解：（1）∵a1＝1，a2．a4＝16由等比数列的性质可得，a2a4＝a32＝16且an＞0∴a3＝4，∴q2=a∴q＝2，q＝﹣2（舍去），∴an＝2n﹣1，∵bn＝log2an，∴bn＝n﹣1；（2）由（1）可知anbn＝（n﹣1）•2n﹣1，Sn＝0•20+1•21+2•22+…+（n﹣1）•2n﹣1，2Sn＝0•21+1•22+2•23+…+（n﹣1）•2n，两式相减可得，﹣Sn＝2+22+23+…+2n﹣1﹣（n﹣1）•2n=2-2n1-2-（n﹣1）•2n∴Sn＝（n﹣2）2n+2．19．（12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，底