2020-2021苏教版数学第二册教师用书：第9章9.29.2.1第1课时向量的加法含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年新教材苏教版数学必修第二册教师用书：第9章9.29.2.1第1课时向量的加法含解析9.2向量运算9。第1课时向量的加法学习目标核心素养1.理解并掌握向量加法的概念，了解向量加法的物理意义及其几何意义．(重点）2．掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并能熟练地运用这两个法则作两个向量的加法运算．(重点、易错点）3．了解向量加法的交换律和结合律,并能依据几何意义作图解释向量加法运算律的合理性．(难点)1.通过向量加法的概念及向量加法法则的学习，培养数学抽象素养．2．通过向量加法法则的应用，培养数学运算素养。假如家住台北的张明暑假想去上海观看上海外滩的建筑群，他乘飞机先从台北到香港，再从香港到上海，则飞机的位移是多少？(如图)1．向量的加法（1)向量加法的定义求两个向量和的运算叫作向量的加法．（2）向量加法的运算法则①三角形法则:如图，已知向量a和b，在平面内任取一点O，作eq\o(OA,\s\up8(→））＝a,eq\o（AB,\s\up8(→))＝b，则向量eq\o(OB，\s\up8（→）)叫作a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝eq\o（OA,\s\up8（→))＋eq\o(AB,\s\up8(→）)＝eq\o(OB,\s\up8(→)）。这个法则称为向量加法的三角形法则．②平行四边形法则：如图，已知两个不共线的非零向量a，b，作eq\o（OA，\s\up8(→））＝a，eq\o（OC,\s\up8（→）)＝b，以OA，OC为邻边作▱OABC，则以O为起点的对角线表示的向量eq\o（OB，\s\up8（→)）＝a＋b,这个法则叫作向量加法的平行四边形法则．思考：向量的三角形法则和平行四边形法则是否对任意两个向量的加法都适用？提示：向量的三角形法则对任意两个向量的加法都可以实施；向量的平行四边形法则仅适用两个不共线的非零向量．2．向量加法的运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a。（2）结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c)．（3）a＋0＝0＋a＝a.（4）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0。1．思考辨析（正确的画“√"，错误的画“×"）(1)两个向量相加就是两个向量的模相加． （)(2）两个向量相加，结果有可能是个数量． ()(3）向量加法的平行四边形法则适合任何两个向量相加． （)[解析］（1)错误，向量相加与向量长度、方向都有关;（2）错误，向量相加，结果仍是一个向量；(3)错误，向量加法的平行四边形法则适合有相同起点的向量相加．[答案］（1）×（2）×（3)×2．(eq\o(AB,\s\up8(→））＋eq\o（MB,\s\up8(→)））＋（eq\o(BO,\s\up8（→)）＋eq\o（BC，\s\up8(→)））＋eq\o(OM,\s\up8(→))＝________.eq\o（AC，\s\up8(→))［（eq\o(AB，\s\up8(→)）＋eq\o（MB,\s\up8(→)))＋（eq\o（BO，\s\up8（→））＋eq\o（BC,\s\up8（→))）＋eq\o（OM，\s\up8（→)）＝eq\o(AB,\s\up8（→))＋eq\o(BO,\s\up8（→)）＋eq\o（OM,\s\up8(→)）＋eq\o(MB，\s\up8（→）)＋eq\o(BC,\s\up8（→）)＝eq\o（AC,\s\up8(→)）.]3.eq\o(AB，\s\up8（→））＋eq\o(BC,\s\up8（→)）＋eq\o（CA,\s\up8(→)）＝________.0[eq\o（AB，\s\up8（→））＋eq\o(BC,\s\up8(→）)＋eq\o（CA,\s\up8(→))＝eq\o（AC，\s\up8（→）)＋eq\o(CA，\s\up8（→））＝0。]向量加法的三角形法则和平行四边形法则【例1】如图，已知向量a，b，c,求作和向量a＋b＋c。［思路点拨］根据三角形法则或平行四边形法则求解．［解]法一：可先作a＋c，再作（a＋c）＋b，即为a＋b＋c(用到向量加法运算律)．如图①，首先在平面内任取一点O，作向量eq\o(OA，\s\up8(→)）＝a，接着作向量eq\o(AB，\s\up8（→)）＝c，则得向量eq\o(OB，\s\up8（→））＝a＋c,然后作向量eq\o(BC,\s\up8（→))＝b,则向量eq\o（OC，\s\up8(→)）＝a＋b＋c为所求．法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图②，(1）在平面内任取一点O,作eq\o(OA，\s\up8(→)）＝a，eq\o（OB，\s\up8(→))＝b；（2）作平行四边形AOBC,则eq\o（OC,\s\up8(→））＝a＋b；（3)再作向量eq\o（OD，\s\up8（→)）＝c；（4)作▱CODE,则eq\o(OE，\s\up8（→)）＝eq\o(OC，\s\up8（→))＋c＝a＋b＋c.则eq\o（OE,\s\up8(→)）即为所求．向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系：区别：(1)三角形法则中强调“首尾相接”，平行四边形法则中强调的是“共起点”；（2）三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和．联系：（1)当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的；（2)三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出的图形的一半．[跟进训练］1．如图所示，求作向量和．(1)（2)（3)[解]如图中(1)，（2)所示，图（1)图(2)图(3)首先作eq\o(OA,\s\up8(→))＝a，然后作eq\o(AB,\s\up8(→))＝b，则eq\o（OB，\s\up8(→））＝a＋b.如图（3)所示，作eq\o（AB，\s\up8（→））＝a，eq\o(BC,\s\up8（→))＝b,则eq\o(AC，\s\up8（→））＝a＋b,再作eq\o（CD,\s\up8(→)）＝c，则eq\o(AD,\s\up8（→）)＝eq\o(AC,\s\up8(→））＋eq\o（CD，\s\up8(→)）＝(a＋b)＋c，即eq\o（AD，\s\up8（→)）＝a＋b＋c。向量的加法运算【例2】(1）（一题多空)在正六边形ABCDEF中，eq\o（AB，\s\up8（→))＝a，eq\o（AF，\s\up8（→））＝b，则eq\o(AC，\s\up8（→））＝________，eq\o(AD,\s\up8（→)）＝________,eq\o(AE,\s\up8（→))＝________。（2)eq\o（AB,\s\up8(→)）＋eq\o（DF，\s\up8(→））＋eq\o（CD,\s\up8（→）)＋eq\o（BC，\s\up8（→))＋eq\o（FA，\s\up8(→))＝________.［思路点拨］（1)结合正六边形的性质及向量的平行四边形法则求解．（2)由向量加法的三角形法则求解．（1）2a＋b2a＋2ba＋2b(2）0[(1)如图,连接FC交AD于点O,连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF，四边形ABCO均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有eq\o（AO，\s\up8(→)）＝eq\o(AB,\s\up8（→））＋eq\o(AF,\s\up8(→））＝a＋b.在平行四边形ABCO中,eq\o(AC,\s\up8(→))＝eq\o（AB,\s\up8（→）)＋eq\o（AO,\s\up8(→）)＝a＋a＋b＝2a＋b。eq\o（AD,\s\up8（→)）＝2eq\o(AO，\s\up8（→）)＝2a＋2b.而eq\o（FE，\s\up8（→))＝eq\o(AO，\s\up8(→）)＝a＋b，由三角形法则得：eq\o（AE，\s\up8（→)）＝eq\o(AF,\s\up8（→））＋eq\o(FE，\s\up8(→）)＝b＋a＋b＝a＋2b。（2）eq\o(AB，\s\up8(→）)＋eq\o(DF,\s\up8(→））＋eq\o(CD,\s\up8（→）)＋eq\o(BC，\s\up8（→)）＋eq\o（FA，\s\up8（→)）＝eq\o（AB，\s\up8（→))＋eq\o（BC，\s\up8(→))＋eq\o(CD,\s\up8(→）)＋eq\o(DF,\s\up8(→））＋eq\o(FA,\s\up8(→）)＝0.］1．解决该类题目要灵活应用向量加法运算，注意各向量的起点、终点及向量起点、终点字母排列顺序，特别注意勿将0写成0.2．运用向量加法求和时,在图中表示“首尾相接”时，其和向量是从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．[跟进训练]2.如图,E，F,G,H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点,化简下列各式：(1）eq\o（DG,\s\up8(→））＋eq\o（EA,\s\up8（→））＋eq\o(CB,\s\up8(→))；(2）eq\o(EG，\s\up8（→)）＋eq\o（CG,\s\up8（→))＋eq\o(DA，\s\up8(→)）＋eq\o（EB,\s\up8(→））.［解]（1）eq\o(DG，\s\up8（→）)＋eq\o(EA,\s\up8(→）)＋eq\o（CB，\s\up8(→)）＝eq\o(GC,\s\up8(→））＋eq\o(BE，\s\up8(→))＋eq\o（CB,\s\up8(→）)＝eq\o(GC,\s\up8(→)）＋eq\o（CB，\s\up8(→）)＋eq\o(BE，\s\up8(→)）＝eq\o（GB，\s\up8（→)）＋eq\o（BE，\s\up8(→）)＝eq\o（GE,\s\up8(→)).（2）eq\o（EG，\s\up8(→）)＋eq\o（CG,\s\up8(→）)＋eq\o(DA,\s\up8(→))＋eq\o(EB，\s\up8（→)）＝eq\o(EG,\s\up8（→））＋eq\o(GD,\s\up8（→）)＋eq\o(DA，\s\up8(→）)＋eq\o（AE，\s\up8（→))＝eq\o（ED,\s\up8(→）)＋eq\o（DA,\s\up8（→）)＋eq\o(AE，\s\up8(→））＝eq\o(EA，\s\up8(→))＋eq\o（AE,\s\up8（→）)＝0。向量加法在实际问题中的应用［探究问题]1．速度、位移等物理量是向量吗？为什么?［提示］是向量．因为它们既有大小，又有方向，具有向量的两个要素．2．利用向量加法解决实际问题的关键是什么？［提示］关键是把实际问题向量模型化，并借助向量加法知识解决实际问题．【例3】已知小船在静水中的速度与河水的流速都是10km/h，问：（1)小船在河水中行驶的实际速度的最大值与最小值分别是多少?（2）如果小船在河南岸M处，对岸北偏东30°有一码头N,小船的航向如何确定才能直线到达对岸码头?（河水自西向东流)［思路点拨］(1)结合向量共线知识求解；(2）借助三角形的边角关系求解．［解](1)小船顺流行驶时实际速度最大，最大值为20km/h；小船逆流行驶时实际速度最小，最小值为0km/h，此时小船是静止的．（2）如图所示,设eq\o（MA，\s\up8（→)）表示水流的速度，eq\o（MN,\s\up8(→)）表示小船实际过河的速度．设MC⊥MA，｜eq\o(MA，\s\up8(→））｜＝|eq\o(MB,\s\up8（→)）|＝10，∠CMN＝30°。∵eq\o（MA,\s\up8（→））＋eq\o(MB,\s\up8（→)）＝eq\o(MN，\s\up8(→)），∴四边形MANB为菱形．则∠AMN＝60°，∴△AMN为等边三角形．在△MNB中，｜eq\o(BN,\s\up8（→))|＝|eq\o(MN,\s\up8（→)）|＝|eq\o(MB，\s\up8（→））|＝10，∴∠BMN＝60°，而∠CMN＝30°，∴∠CMB＝30°，所以小船要由M直达码头N，其航向应为北偏西30°.解决与向量有关的实际应用题，应本着如下步骤：弄清实际问题→转化为数学问题→正确画出示意图→用向量表示实际量→向量运算→回扣实际问题→作出解答．［跟进训练］3．在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55°的方向飞行800km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和．[解]如图所示，设eq\o（AB，\s\up8（→)），eq\o(BC，\s\up8（→)）分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800km,从B地按南偏东55°的方向飞行800km.则飞机飞行的路程指的是｜eq\o（AB，\s\up8(→））｜＋|eq\o(BC,\s\up8(→））|；两次飞行的位移的和指的是eq\o(AB，\s\up8(→））＋eq\o（BC，\s\up8（→)）＝eq\o(AC,\s\up8(→))。依题意，有｜eq\o(AB,\s\up8（→））|＋｜eq\o（BC,\s\up8(→)）｜＝800＋800＝1600（km）．又α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°.所以｜eq\o（AC，\s\up8(→))｜＝eq\r（\（｜\o（AB，\s\up8（→)）｜2＋|\o（BC,\s\up8（→)）|2)）＝eq\r(8002＋8002）＝800eq\r(2）（km）．其中∠BAC＝45°,所以方向为北偏东35°＋45°＝80°.从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为800eq\r(2)km,方向为北偏东80°。1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用．2．要掌握向量加法的三个问题（1)求作向量的和．(2)向量加法运算．（3）向量加法的应用．3．求作向量和时应注意以下两点（1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点．(2）利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点．1．如图所示，在平行四边形ABCD中，eq\o（BC,\s\up8（→））＋eq\o（DC,\s\up8(→）)＋eq\o（BA,\s\up8（→))＝(）①eq\o(AD,\s\up8（→)）；②eq\o(DB,\s\up8(→）)；③eq\o(BC，\s\up8（→)）；④eq\o（CB,\s\up8(→))。A．①③B．②④C．①④D．②③A[∵四边形ABCD为平行四边形，∴eq\o（BC,\s\up8(→）)＝eq\o(AD，\s\up8（→）),∴eq\o（BC,\s\up8（→）)＋eq\o（DC，\s\up8(→））＋eq\o(BA,\s\up8（→））＝eq\o(AD,\s\up8（→））＋eq\o（DC,\s\up8（→)）＋eq\o（BA,\s\up8（→)）＝eq\o(AC，\s\up8(→))＋eq\o(BA，\s\up8(→）)＝eq\o（BC，\s\up8（→））。]2．如图所示，在四边形ABCD中，eq\o（AC,\s\up8(→))＝eq\o(AB，\s\up8（→））＋eq\o(AD,\s\up8（→）），则四边形为（）A．矩形 B．正方形C．平行四边形 D．菱形C[∵eq\o(AC,\s\up8（→)）＝eq\o(AB,\s\up8(→）)＋eq\o（AD,\s\up8(→)），∴eq\o（DC,\s\up8（→)）＝eq\o(DA，\s\up8（→））＋eq\o(AC，\s\up8(→）)＝eq\o（DA，\s\up8（→））＋eq\o（AB，\s\up8（→）)＋eq\o（AD，\s\up8（→)）＝eq\o（DA,\s\up8(→))＋eq\o(AD，\s\up8（→))＋eq\o(AB，\s\up8(→）)＝eq\o(AB,\s\up8（→）），即eq\o（DC,\s\up8（→））＝eq\o(AB,\s\up8（→))。∴四边形ABCD为平行四边形．故选C。]3．在平行四边形ABCD中，若｜eq\o（BC,\s\up8（→))＋eq\o(BA，\s\up8（→))｜＝|eq\o(BC,\s\up8（→))＋eq\o（AB,\s\up8(→））|，则四边形ABCD是________．矩形［由图知｜eq\o(BC，\s\up8（→))＋eq\o（BA,\s\up8（→））|＝｜eq\o(BD，\s\up8（→）)|。又｜eq\o（BC，\s\up8（→)）＋eq\o（AB,\s\up8（→））|＝|eq\o（AD，\s\up8（→）)＋eq\o(AB，\s\up8（→））｜＝｜eq\o（AC，\s\up8(→)）｜，∴|eq\o(BD,\s\up8(→)）|＝｜eq\