一元二次方程问题综合（解析版）-苏科版2022年初三数学一模（期末）压轴题汇编30题

【玩转压轴题】类型一：一元二次方程问题综合(解析版)

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

311

1.实数X满足V—3"2==一3,则X+上的值为()

XXX

A.3B.0C.3或0D.±3

【答案】A

【分析】

由炉-3*+2=3-二，去分母可得：/-3/+2/-3》+1=0,利用分组分解法可得：

xx

(X2+1)(X2-3X+1)=0,从而可得：X2-3X+1=0,从而可得答案.

【详解】

♦31

解：*.*x—3x+2=--------,

XX"

x4-3x3+2x2=3x-l,

x4—3x^+2x~—3x+1=0,

・•・/-1+(-3/-3x)+(2f+2)=0,

(x2+1)(x2-1)-3x(x2+1)+2(x2+1)=0,

.\(X2+1)(X2-1-3X+2)=0,

/.(X2+1)(X2-3X+1)=0,

•・•f+10o,

x~—3x+1=0,

•・,X工0,

x—34—=0,

X

1c

X4—=3.

X

经检验：x+'=3符合题意.

X

故选：A.

【点睛】

本题考查的是解分式方程，利用因式分解的方法解高次方程，分式的求值，掌握分组分

解法分解因式解方程是解题的关键.

2.用[X]表示不大于x的最大整数，则方程f-2[x]-3=0的解的个数为()

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

由于x2[x],所以可把方程x2-2[x]-3=0写成2[x]=x2-3,可得不等式2x》2司,求得x的

取值范围.再将X的取值范围分为5类求解即可进行选择.

【详解】

解：因为xN[x],方程变形为2[X]=X2-3,

2x>x2-3,

解此不等式得：-10XW3.

现将x的取值范围分为5类进行求解

(1)-l<x<0,则

原方程化为x2-l=0,

解得x=-l；

(2)0<x<l则[x]=0,

原方程化为X2-3=0,

无解；

(3)l<x<2,则[x]=l,

原方程化为x2-5=0,

无解；

(4)2<x<3,则因=2,

原方程化为x2-7=0,

解得x="；

(5)x=3显然是原方程的解.

综合以上，所以原方程的解为-1,不,3.

故选：C.

【点睛】

本题考查了含取整函数的方程，任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和，即：

x=[x|+{x}.解题的关键是确定x的取值范围，从而得到[x]的值.注意分情况进行讨论.

试卷第2页，共64页

3.如果关于x的方程——-2=匕与有正数解，且关于x的方程皿2_2&x-l=0有

2-xx-2

两个不相等的实数根，则符合条件的整数〃，的值是（）

A.-1B.0C.1D.-1或1

【答案】A

【分析】

先由分式方程的解为正数，求解山的范围，再由一元二次方程有两个不相等的实数根,

求解"，的范围，结合机为整数，从而可得答案.

【详解】

去分母得：l-2（2-x）=-l+/nr,

：.（2-rn）x=2,

因为方程有正数解，所以加*2,

2

x=------,

1-m

2—m>0,

w<2,

综上：，"<2且”-1,

•••关于x的方程如2_2&》-1=0有两个不相等的实数根，

,,.A=2>/21+4”?>0,且“7X°,

...机>-2且/nw0,

综上：-2<加〈2旦加且切片0，

又因为m为整数，

故选：A.

【点睛】

本题考查的是分式方程的解及解分式方程，一元二次方程的定义及根的判别式，掌握以

上知识是解题的关键.

4.如图，AOA4，AA4冬,△&&纭，…是分别以A，A,…为直角顶点，一

条直角边在X轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点G(ax),G(超，%)，

【答案】A

【分析】

根据点G的坐标，确定尹，可求反比例函数关系式，由点G是等腰直角三角形的斜边

中点，可以得到04的长，然后再设未知数，表示点C2的坐标，确定”，代入反比例

函数的关系式，建立方程解出未知数，表示点C3的坐标，确定”，……，然后再求和.

【详解】

解：过Cl、C2、C3…分别作X轴的垂线，垂足分别为。I、£>2、£>3...

则/O£(1C1=NOD2c2=/0。3c3=90°,

•.•三角形是等腰直角三角形，

：.ZAtOB\=45°,

：.ZOC\D]=45°,

'.OD\=C\D\,

4

其斜边的中点。在反比例函数y=一上，

X

：.C(2,2),即yi=2,

:.ODi=DiA\=2t

尸2。0尸4,

4

设4£)2=〃，则此时。2(4+m〃)，代入y=—得：a(4+〃)=4,

x

解得：4=20-2,即：”=2近-2,

同理：第=25/3—2A/2，

)4=2\/4—2\/3，

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)'2O21=2V2021-2V2020,

二»+)2+...+券021=2+2s/2-2+26-2&+...+2V202T-2J2020=2V202I，

本题考查反比例函数的图象和性质、反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形

的性质一元二次方程的解法等知识，通过计算有一定的规律，推断出一般性的结论，得

出答案.

4

5.某数学小组在研究了函数y产x与y2=一性质的基础上，进一步探究函数丫=力+丫2

x

的性质，经过讨论得到以下几个结论：①函数y=yi+y2的图象与直线y=3没有交点；

②函数y=yi+y2的图象与直线y=a只有一个交点，则a=±4；③点（a,b）在函数y=yi

+y2的图象上，则点（一a,—b）也在函数丫=丫|+丫2的图象上.以上结论正确的是（）

A.①②B.①②③C.②③D.①③

【答案】B

【分析】

①先求出函数y=%+12的解析式，再与直线y=3联立，看方程组是否有解即可得；②

联立函数y=y+%和直线y=。的解析式，根据只有一个交点可得相应的一元二次方程

只有一个实数根，由此即可求出a的值；③根据点（。为）在函数y=y+%的图象上可得

44

a+-=b,从而可得-“+—=-6，由此即可得出答案.

a-a

【详解】

4

由题意得：y=Ji+?2=x■—»

X

’4

、，、y=x+—

联“X,

）=3

整理得：X2-3X+4=0,

此方程根的判别式为△=(-3)2-4xlx4=-7<0,方程没有实数根，

则函数y=y+必的图象与直线y=3没有交点，结论①正确；

4

联立"+"

y=a

整理得：x2-ar+4=0>

•.・函数>=%+%的图象与直线y=a只有一个交点，

二关于x的一元二次方程-以+4=0只有一个实数根，

,此方程根的判另1」式△=(-a)2-4xlx4=0,

解得a=±4,则结论②正确；

4

•••点(出与在函数>=%+必=*+—的图象上，

x

4,

:.a+—=b,

a

4,

-aH=-b,

-a

点(-a,-力也在函数y=X+必的图象上，则结论③正确：

综上，结论正确的是①②③，

故选：B.

【点睛】

本题考查一次函数与反比例函数的综合、一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握

一元二次方程根的判别式是解题关键.

6.如图，在Rh45c中，ZABC=90°,AB:3c=1:2.点。是AC上一点，连接BQ,

将沿折叠至△BCD.连接AC',AC//BC,AE平分/R4C'交6C'于点E.若

AC,=43+\,则AE的长为()

A.近B.五+1C.8D.V6+1

【答案】A

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【分析】

作EFJ_ACEGJ_AB,通过勾股定理AB?+AC。=3。?，求出AB,BC,的长度，E是

NBAC,的角平分线，得出AGEF为正方形，利用正方形性质及勾股定理即可求出答案.

【详解】

解：作EFJ_ACEGJ_AB,

由题得NABC=90。，AB:BC=l:2,AC'HBC

AZBAC=90°,BC=BC,

；.AB：BC=1:2,ZACB=30°,ZABC=60°,

又AC'=6+I，

；•AB2+AC'2=BC'2

AB2+AC'2=4AB2

.*.AB=l+^.BC'=2Afi=2+—

33

•；AE是/BAC的角平分线

；.EG=EF,

；•四边形AGEF为正方形

设AG=x,：.FA=AG=GE=EF=x

FC=A/3+1—x,CE=2x

EF2+C'F2=CE2

x?+（石+1—x）=4x2

解得x=1或x=-2—6（舍去）

；.x=l,即FA=AG=GE=EF=1

AE为正方形AGEF的对角线

AE=->/l+l=5/2.

【点睛】

本题主要考查折叠的性质正方形的性质及勾股定理的应用，解题关键在于做出辅助线,

得出AGEF为正方形.

7.如图，在等腰内作正方形使点D,E,F分别在边AC,A3,8C上，

在正方形DEBF中依次作正方形JIHG和正方形LMNO使JLHEB.若正方形LMNO和

正方形〃"G的面积分别为1和25,则阴影部分面积为（）

A

E

B

A.25B.—C.—D.75

22

【答案】B

【分析】

首先求出正方形LMNO和正方形的边长，再求出正方形8ED尸的面积，从而得到

边长，同时根据等腰直角三角形的性质得到4E和CK利用勾股定理求出△BH1、AEIJ、

△DGJ、的直角边长，最后利用三角形面积公式计算即可.

【详解】

解：；正方形和正方形的面积分别为1和25,

MN=NO=OL=LM=1,JI=IH=HG=JG=5,

•••四边形BEDF是正方形,

SDEBA-2SAE〃+2SADGJ+2sAFGH+2sABHI+SMNOL=25X2-1=49,

：.DE=DF=BE=BF=1,

；ZVIBC是等腰直角三角形，

.•.NB4C=N3CF=45°,NAED=NDFC=9。。,

△AEQfilADFC是等腰直角三角形，

:.AE=DE=DF=CFW,

由题意可知：△/\FGH,

：.BH=EI=DJ=GF,BI=EJ=DG=HF,

设8/=x,BH=1-x,

则x2+（7-x）2=52,

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解得：户4或3,

即8/=E/=QG=HF=4,BH=EI=DJ=GF=3,

；♦阴影部分面积=SAAU+SACHG.

=-xAIxEJ+-xCHxFG

22

=—xl0x4+—xl1x3

22

_73

-T

故选：B.

【点睛】

本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，正方形的面积，解题的关键是理解题意，

读懂图形，找到图中面积和线段之间的转化关系.

8.如图，在正方形A8CD中，边长为2的等边三角形A功的顶点反厂分别在8C和CD

上，下列结论：①CE=CF；②=75。；③8E+OF=EF；④S正方形48co=2+6，其中

正确的序号是（）

【答案】A

【分析】

根据正方形的性质可得NBAD=ZB=ZD=90。，AB=AD=BC=CD,然后等边三角形的性

质可得AE=AF,ZEAF=60°,然后利用HL即可证出RtAABE丝及△ADF,从而证出

BE=DF,/BAE=/DAF,即可判断①；先求出/BAE,根据直角三角形的性质即可判

断②；证出AE，2BE,即可判断③；设正方形的边长为x,求出CE,最后利用勾股定

理列出方程即可求出x,从而判断④.

【详解】

解：；四边形ABCD为正方形

二NBAD=NB=ND=90°,AB=AD=BC=CD

vAAEF为等边三角形

，AE=AF,ZEAF=60°

在RSABE和RSADF中

AO

[AE^AF

ARtAABE^RtAADF

，BE=DF,ZBAE=ZDAF

BC-BE=CD-DF

：.CE=CF,故①正确；

.•./BAE=NDAF=g(ZBAC-ZEAF)=15°

NAEB=90。-ZBAE=75。，故②正确；

在RSABE中，ZBAE/3O0

二AE#2BE

：.EF¥BE+DF,故③错误；

设正方形的边长为x,

VCE=CF,ZC=90°,EF=2

...△CEF为等腰直角三角形

二ZCEF=45°

，CE=0

贝UBE=BC-CE=x-V2

在RSABE中，AB2+BE2=AE2

x2+(x—V2)2=22

解得：x尸虫捶,x2=0一＞(不符合实际，舍去)

22

S正方形ABCO=/=2+G，故④正确•

综上：正确的有①②④.

故选A.

【点睛】

此题考查的是正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角

形的性质和勾股定理，掌握正方形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定及性

质、直角三角形的性质和勾股定理解直角三角形是解决此题的关键.

9.如图，在矩形ABCD中，AB=14,BC=7,M、N分别为AB、CD的中点，P、Q均

试卷第10页，共64页

为CD边上的动点（点Q在点P左侧），点G为MN上一点，且PQ=NG=5，则当MP+GQ=13

时，满足条件的点P有（）

A.4个B.3个C.2个D.1个

【答案】D

【分析】

分三种情况讨论：当在N的两侧时，设QV=X,则PN=5-X,当P,Q在N的右侧

时，设QV=x,当P,。都在N的左侧时，设QN=x,再利用勾股定理与平方差公式求

解x,从而可得答案.

【详解】

解：如图，当。/在N的两侧时，设QN=x,则PN=5-x,

•••矩形ABC。，M、N分别为AB、CO的中点，

四边形ADVM,四边形MNC8都是矩形，

PQ=NG=5,BC=7,A5=14,

:.MN=BC=7,

由勾股定理得：=49+（5—X）2,QG：=25+X2,

:.PM2-QG-=(PM+QG)(PM-QG)=49-10x,

-.■PM+QG=\3,

49-lOx

：.PM-QG=

13

49-lOx

..2PM=13+

13

.-.PM=lW^5-,QG=60+5x

13

60+5x|=X2+25,

13

整理得：144x2-600.r+625=0,

.■.(12X-25)2=0,

如图，当P,Q在N的右侧时，设QN=x,

解得―“这不合题意舍去，

如图，当只Q都在N的左侧时，设QN=x,

同理可得：加=5等,。6=丝浮

解得：%不合题意舍去，

12

综上：满足条件的P点只有1个，

故选：D

【点睛】

本题考查的是矩形的性质与判定，勾股定理的应用，平方差公式的应用，一元二次方程

的解法，掌握以上知识是解题的关键.

10.如图，直线A8与坐标轴交于43两点，。4=3,OB=\.若将直线AB绕点A逆时

针旋转45。后交x轴于点C,则点C到直线AB的距离是（）

试卷第12页，共64页

y

A

A.2710B.4C.-yflOD.士如

45

【答案】C

【分析】

过点C作CD，A3于点。，八48为等腰直角三角形，AD=CD,BD=AB—AD.BC

边用面积法推导，最后在心中，利用勾股定理求解即可.

【详解】

ZA£)C=90

,/直线48绕点A逆时针旋转45°

Z£)AC=45"

，ZZMC=45°

AD=CD

在RTAAOB中，OA=3,OB=1

AB2OB2=10

AB=y[\0

又：AB.CD=BCOA

.RrViorn

3

在/?以3。。中：BC2=BD2+CD2

设CD=x,则BO=AB-AO=M-X,BC=—X

3

；.呼外2=(加—

化简得：4X2-9A/10X+45=0

解得:芭而；(舍)，亚

g|j：co--Vio

4

故选：c

【点睛】

本题考查勾股定理，等角对等边、一元二次方程的解法等知识点，根据相关内容列出等

量关系是解题关键.

二、填空题

11.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，反比例函数y=&(k>0)的图象上有两点

X

A,B(点A在B上方)，直线AB的解析式为y=k，x+18.在第一象限内有一点C(8,

12),NACB=90。，若△ABC和△ABO的面积相等.则k的值为.

【答案】日或等.

【分析】

分当点C和O在AB的两侧和同侧两种情形分别求解即可.

【详解】

解：分两种情形讨论：

(1)当点C和。在A8的两侧时，如图1中，过点C作CEVAB于E,连接OC交AB

于尸.设直线A3交y轴于点M,交x轴于点M取A8的中点G,连接CG.过。作

于点D.

试卷第14页，共64页

：S^ABc=^-AB-CEfS^ABO=^-AB-OD,且△A3。和△A50的面积相等，

•・CE=OD

：ZFEC=NFDO=90。,ZEFC=NDFO,

二△EFgXDFO(A4S),

•・CF=OF,

：0(0,0),C(8,12),

*・F(4,6),

f

・,直线AB的解析式为y=kx+\Sf

•・k'=-3,

••直线AB的解析式为y=-3x+18,

・.M(0,18),N(6,0),

・・G是AB的中点，

•・GA=GB,

:AM=BN,

(这个一般结论的证明如下：构造如图所示的图形，四边形PQOH是矩形,

•:PQ//OM,・・・一=一,

bn

**PH//ON,/•———,

/cl

如图，•••：=?,?=?,(其中S是矩形PQ。”的面积),

akhk

：.G(3,9),

VZACB=90°fGA=GC

:.CG=AG,

设A(m,-3m+18),则有(m-3)2+(-3〃?+18-9)2=(8-3)2+(12-9)2,

解得,”=3-遮或3+姬(舍弃)，

55

当,”=3-返时，-3，"+18=3(3+返)，

55

”=(3-姬)x3(3+姬)=%

555

(2)当点。和点。在A3的同侧时，如图2中，由题意可得OC〃AB,

VC(8,12),直线AB：y=/x=18,

3

・・・直线AB的解析式为y=1x+18,

：.M(0,18),N(-12,0),

9

：GA=GB1AM=BN,

：.GM=GN,

：.G(-6,9),

试卷第16页，共64页

・・・NACB=90。，GA=GB,

：.AG=CG,

33

设A（m,一m+18）,则有（机+6）2+（一加+18-9）2=（8+6）2+（12-9）2,

22

..的/古、/84「528

・.k的值为工-或方.

故答案为为5或.

【点睛】

本题考查反比例函数的性质，一次函数的性质，解一元二次方程等知识，掌握运用分类

讨论的思想解决实际问题成为解答本题的关键.

12.如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴、y轴上，线段OA、08的长（0408）

是关于x的方程V-18x+72=0的两个实数根，C是线段的08中点.

（2）若P是直线AC上的点，求平面内使0、A、P、Q为顶点的四边形是菱形的点Q

坐标.

【答案】y=-x+6（3,-3）或（-3&,34）或（34，-3五）或（6,6）

【分析】

（1）求出一元二次方程的根，得到0A,0B,从而得到点C坐标，利用待定系数法求

解；

（2）分0A为对角线和边分别讨论，画出图形，再结合菱形的性质求解.

【详解】

解：（1）方程N-]8X+72=0,因式分解得：（x-6）（『⑵=0,

解得:xi=6,X2-12,

即0A=6,OB=12,

即A(6,0),B(0,12),

是线段的。8中点,

；.OC=6,即C(0,6),

设直线AC的解析式为y=kx+h,

0=6k+bk=-\

则6=6,解得:

b=6

*,•直线AC的解析式为y=-x+6；

（2）若为菱形的对角线,

如图，四边形OHAQi为菱形,

则Pi和Qi在OA的垂直平分线上,

'"AC的解析式为：y=-x+6,

：.ZOAC=45°,贝ijNCAQ=90°,

此时菱形OPAQi为正方形，又OA=6,

：.Qi(3,-3)；

若OA为菱形的边,

当四边形OAP20为菱形时,

AP2//OQ2,OQi=OA=6,

ZCAO=ZDOQz=ZCOQ=45°,

=3后,

-02(-30,3亚);

当四边形OAP3Q3为菱形时,

同理可得：（34，-3A/2）:

当四边形O4Q4c为菱形时，此时点P和点C重合,

则/AOC=90°,

则此时菱形OAQC是正方形,

：.QA(6,6)；

综上：点。的坐标为（3,-3）或（-3&，3&）或（372--3&）或（6,6）.

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故答案为：y=-x+6；（3,-3）或（-3&，3拒）或（3亚，-3&）或（6,6）.

【点睛】

本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，解一元二次方程，菱形的性质，正方

形的判定和性质，掌握待定系数法求一次函数解析式的一般步骤、灵活运用分情况讨论

思想是解题的关键.

13.如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC

和CD上，下列结论：①BE+DF=EF；②CE=CF；③NAEB=75。；④四边形ABC。面

【答案】②③④

【分析】

由正方形的性质得ZB=ZD=90°,由等边三角形的性质得则可

判断阳△A8E丝△ADF,得至凡ZBAE^ZDAF,力口上NEAF=60°,易得N8AE

=ZDAF=\5°,利用互余得NA£B=75。，则可对③进行判断；由于CB=CD,BE=DF,

则CE=CF,于是可对②进行判断；先判断△CEF为等腰直角三角形得到CE=CF=XZ

EF,设正方形的边长为x,在放△ABE中利用勾股定理得x,则可计算出BE+D凡即

可判断①错误；然后利用正方形面积公式可对④进行判断.

【详解】

•・•四边形A8CO为正方形，

：.AB=ADfZB=ZD=90°,

;△A所为等边三角形，

：.AE=AF=EF=2fNEA/=60。，

AB=AD

.•JzB=Z£>=90°

AE=AF

：.△48%△AM

；・BE=DF,/BAE=/DAF,

VZEAF=60°,

：.ZBAE=ZDAF=\5°f

o

：.ZAEB=90-ZBAE=75°t即③正确

•:CB=CD,

:.CB-BE=CD-DF,

：.CE=CF,即②正确；

•••△CE广为等腰直角三角形，

：.CE=CF=^EF=42

设正方形的边长为：尤，则

222

放△A3E中，AB+BE=AEf

：.X2+(X-V2)2=22

解得：制=正域，初=变二色(舍去)，

22

:.BE+DF=2(x-亚)=2心坯-丘)=#-夜彳2,即①错误；

2

四边形ABC。面积=/=［幅;=2+6，即④正确.

故答案为：②③④.

【点睛】

本题考查了全等三角形、正方形、等边三角形、等腰三角形、勾股定理、一元二次方程、

直角三角形两锐角互补、二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握全等三角形、正方形、

等边三角形、勾股定理、一元二次方程的性质，从而完成求解.

14.如图，AAOB两个顶点4-2,-1),8(1,2)在反比例函数图象上，若点P是第一象限

内双曲线上一点，且％AP8=2S"OS，则P点的坐标为.

试卷第20页，共64页

【答案】冲号)或3)

【分析】

先求出S^OB,再讨论点尸在点B上方与下方两种情况求解.

【详解】

解：设A8所在直线为>将4-2,-1),3(1,2)代入得:

-l=-2k+bk=l

2=k+b，解得

b=l

/.y=x+l.

当y=o时，x=T,

・・・直线与x轴交点为(-1,0).

。1/、3

SNOB《(力一力)"］，

SMPB=2sM08=3.

,.--2x(-1)=1x2=2,

2

・••反比例函数解析式为y=一，

X

22

设点尸横坐标为加，则纵坐标为一，即点P坐标为(皿4).

mm

①当点P在点8上方时，作PC平行于y轴交A3于点C,

将x=m代入y=X+l得>=机+1,

•0•点C坐标为（孙加+坐

112

S^APB=-（xB-XA）（）＞-）=Tx（I+2）（__m-\）=3,

22m

解得〃?=如或初=会叵（舍）.

22

,2屈+3

••--------,

m2

二点户坐标为（土2叵，丝虫）.

22

②延长A0交双曲线与点尸，右对称性可知。为"中点,

:.AP=2AO,

-S"PB=25AAa,

.••点。坐标为（21）.

故答案为：（马姮，号。）或（2」）.

【点睛】

本题考查反比例函数的应用，解题关键是掌握三角形的水平宽与铅锤高求面积的方法.

15.如图，双曲线）=：（b0）与线段A8交于点A（l,〃）、C两点，点8坐标为B（a+l,O）,

AC

连接OA,AOA£?的面积为6,则…=.

2

【答案】j.

【分析】

将已知点坐标代入函数解析式中，得到。=火,通过三角形面积的表示得到关于“的一元

二次方程，求解出〃和女的值，得到反比例函数解析式以及A、8点的坐标，通过待定

系数法求出直线A8解析式，进一步求得交点坐标，最后根据两点间距离公式求得对应

线段长再求解即可.

【详解】

试卷第22页，共64页

解：将点A（La）代入y中，得。=心

线段0B的长度OB=«4-1,

设△048的茴为h,

则h=a,

S,OAB=g・OB.h=；x(a+1)Xa=6

解得：6=3,a2=-4（舍去）,

a=k=3,

，双曲线y="=2,A（l,3）,B（4,0）,

XX

设直线A3的解析式为：y=cx+d,

3=c+d4,c=-l

0=4c+d，解得

d=4

则直线A8的解析式为：y=-x+4,

令-X+4=3,

x

得：%=1,彳2=3,

令x=3代入y--x+4中，

得：y=l,.•.C（3,l）,

二AC=7（l-3）2+（3-l）2=^，

^B=7（l-4）2+（3-0）2=V18，

nillAC_瓜_2血_2

ABV183V23

2

故答案为：

【点睛】

本题主要考查反比例函数与一次函数的综合应用、解一元二次方程与二元一次方程组等

知识点，其中利用三角形的面积求解出系数k的值是解题的关键.

16.折纸艺术发源于中国，它是一种将纸张折成不同形状图案的艺术活动，在数学中也

有不少折纸活动.如下图是将正方形纸片折叠成了领带形状的折纸过程.其步骤为：先

将8边沿CF折叠，。点的对应点为“，再将BC沿CD折叠，使得8点恰好落在C尸

边上的B'处折痕与A8边交于E.若正方形边长为石，连接防，则.AEF的面积=

AA

【答案】2-73

【分析】

设AE=x,BC=G-x,根据折叠的性质表示出RtAD'EF各边，利用勾股定理列出方程,

解之即可得到AE,利用三角形面积公式计算即可.

【详解】

解：由折叠可得图象，

是正方形，EC,FC平分N3CD,

ZBCF=zLECF=ZFCD=30°.

设4E=x,BC=6-x，

由折叠性质可得：EB，=BE=g-x,

VZB=90°,NBCE=30°,

EC=2BE=2(C-x).

由折叠性质可得，E,尸在同一水平上，

/.AE=AF,

FD=yf3-x,且£>'尸=。尸=V5-X,DC=D'C=g,

'•ED'=EC-D'C=6-2x,

在RCO'EF中，EF=DF+DE，

EF=y/2x.D'F=6-X，»'E=G-2X，

(疯y=(6-+(6_2,2,

试卷第24页，共64页

解出玉=1+石（舍去），1,

X---yfi—1■

2

：.S^F=YAE-AE=^X=2-y/3.

故答案为：2—G.

【点睛】

本题考查了折叠的性质，勾股定理，正方形的性质，一元二次方程，解题的关键是熟练

运用折叠的性质得到相应边的关系.

17.如图，在正方形A8CO中，A8=6,E是对角线AC上的一点，连结8E,过点E作

EFLBE交AD于点F.ABCE和AA£F的面积分别为豆和邑，若2£=3邑，则C£的

长为_______________.

【答案】2拒

【分析】

连接EQ,过E作MN_LBC于N,交于M,推出MN=CD=6,DM=CN,证明

△CDE^/XCBE,得到ED=EB,ZEDC=ZEBC,再利用等腰三角形的性质证明ED=EF,

说明△NEC是等腰直角三角形,设NE=NC=x,分别表示出S,和S2,根据2Si=3Sz

得到方程，解之即可得到CE.

【详解】

解：连接E£>,过E作MN_L8C于M交A£>于

；四边形48co是正方形，

AB=BC=CD=AD=6,NABC=ZBCD=ZADC=ZDAB=90°,

.\Z1=Z2=45O,

•；MN上BC,

・・・ZENC=ZENB=90°t

・・・四边形MNCO是矩形，

:・MN;CD=6,DM=CN,NDME=90。,

在△。。后和4CBE中,

CD=CB

<Z2=Z1,

CE=CE

:ACDE咨4CBE(SAS),

：.ED=EB9/EDC=NEBC,

*：ZCDA=ZCBA=90\

：./CDA-/EDC=NCBA・/EBC,

即NADE=NABE,

VEF1BE,

・•・ZFEB=90°f

'：NFEB+NDAB+NAFE+NABE=360。,

・・・ZAFE+ZABE=360°-ZFEB-ZDAB=180°,

•.*ZAFE+ZEFD=180°,

，NABE:NEFD,

：./ADE=/EFD,

:・ED=EF,

ZDME=90°,

：.EMlDFf

：.DM=MFf

在ANEC中,Zl=45°,

•••△NEC是等腰直角三角形，

设NE=NC=x,

则CE=DM=MF=CN=x,

：.AF=AD-DM-MF=6-2xf

ME=MN-EN=6-x,

2

：.S}=^BCEN=^x6xx=3xf52AF-EM=1(6-2x)(6-x)=x-9x+18,

•・・25,=352,

试卷第26页，共64页

2.3X=3(X2-9X+18),

解得：x,=2,x2=9(舍),

•■CE—>f2x=2>/2,

故答案为：2夜.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，

勾股定理，解一元二次方程，知识点较多，有一定难度，解题的关键是利用特殊图形的

性质得到线段之间的关系.

18.如图1,在aABCD中（AB>BC）,ZDAB=60°,对角线AC,BD相交于点E,

动点P由点A出发，沿ATBTC运动.设点P的运动路程为x,ZiAEP的面积为y,y

与x的函数关系图象如图2所示，当△AEP为等腰三角形时，x的值为一.

图1图2

1n

【答案】:或M

O

【分析】

当点尸到达点3时，ZiAEP的面积为3#，此时的高为qBC,贝=g

XABX出BO）,解得A48C=24,而AB+8C=10,可求得AB、8c的长，再分AP=PE和

4

AP=AE两种情况讨论即可求解.

【详解】

解：从图象看，当点P到达点8时，A4EP的面积为36，

过点E、点C作AB的垂线，分别交直线A8于G、F,

,/四边形ABCD是平行四边形，

：.AD=BC,AD//BC,AE=EC,

C.EG//CF,EG=jCF,

ZDAB=60°,

/.ZC^F=60°,即N8CF=60。，

:.BF*BC,CF=‘Be?_BF。=JBC>一（；BC）=J^BC,

此时△AEP的高为EG=^CF=^-BC,

24

AAEP的面积=、xABx（立BC）=3相，解得AB«BC=24@,

24

而从图②看，AB+8G10②，

__[AB=6

联立①②并解得一

[nC=4

:.EG=BBC=#）,CF=2石，BF=2,则AF=8,AG=4,

4

•，.AC=yjAF2+CF2=JG+（2厨=2M,

AE=yAC=V19,

219

由勾股定理得：（V3y+（4-x）2=x2,解得：4可；

x=AE=y/l9；

1Q

综上，当△AEP为等腰三角形时，x的值为工或M；

O

故答案为：式"或J历.

O

【点睛】

本题考查的是动点问题的函数图象，平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，含

试卷第28页，共64页

30度角的直角三角形的性质，勾股定理等知识，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，

图象和图形的对应关系，进而求解.注意分类讨论的应用.

19.在矩形ABCD中，AB=8cm,BC=3cm,点P从点A出发沿AB以2cm/s的速度向

终点B移动，同时，点Q从点C出发沿CD以3cm/s的速度向终点D移动，其中一个

点到达终点，另一个点也停止运动.经过秒P、Q两点之间的距离是5cm.

【答案】?12或（4

【分析】

设经过x秒P、。两点之间的距离是5cm,如图，过尸点作垂足为M点，

得到DQ的长，并根据四边形ABCD为矩形推出PM和QM的长，利用勾股定理列式解

答即可.

【详解】

解：设经过x秒P、。两点之间的距离是5cm,

如图，过P点作垂足为M点，

CQ=3xcm,AP=2xcm,

DQ=CD-CQ=（8-3x）a〃，

•••四边形ABC。为矩形，

PM=BC=3cm,

DM=AP=2xcm,

.-.QM=DM-DQ=2x-（S-3x）=（5A-8）CTO,

二在直角三角形PQM中，

QM2+PM2=PQ2,

.-.（5X-8）2+32=5?,

25X2-80X+48=0,

（5x-12）（5x-4）=0,

124

=y,x2=",

124

二经过二或二秒P、。两点之间的距离是5cm.

故答案为：?12或4

【点睛】

本题主要考查矩形的动点问题，涉及勾股定理和解一元二次方程，有一定难度，根据题

意做出合适的辅助线，利用勾股定理解答是关键.

20.已知AABC,NC=90°,点E为A3中点，EF1AF，ZBAC^ZCAF,若BC=2日

4尸=1,则£尸=.

A

【答案】2/

【分析】

延长A尸交BC的延长线于点连接EM,则易得△ABM是等腰三角形，且4B=4M=2AE,

根据S&AME=SAABC得EFXAM=BCXAC，可得AExEF=石AC,平方得AE2xEF2=3AC2，

分别在RdABC和RdAE尸中，由勾股定理得：AC-=4AE--BC2=4AE2-12,

EF2=AE2-AF2=AE2-\，设A£2=X，由此三式可得关于x一元二次方程，解方程

即可求得x,从而可求得EF的长.

【详解】

延长A尸交BC的延长线于点M,连接EM,如图

4c8=NACM=90°,AC=AC,ZBAC=^CAF

：./XACB^^ACM(ASA)

：.AB=AM,BC=MC

试卷第30页，共64页

S4ABC=2S&ABM

点是AB的中点

•.AB=2AE,SAAME=—S^ABM

••S&AME=S&ABC

：.^EFxAM=^BCxAC

即EFxAM=BC^AC

：.EFx2AE=2&C

即AExEF=#>AC

/.AE2xEF2=3AC2

在RdABC和Rd4所中，由勾股定理得：AC2=4AE2-BC2=4AE2-12,

EF'=AE1-AF2=AEr

设AE』，则Mx-1)=3(4x-12)

SPx2-13x+36=0

解得：户4或49

即AE=2或AE=3

当AE=2时，由A尸=1及£T_LA凡得乙4£7三30°,则Z£AR=60。，N84C=30°；但此时

AC=2,AB=2AE=4,由NACB=90。，得NABC=30。，则NACB=120。，这与△ABC为直角

三角形矛盾

：.AE=3

•*-EF=』AE?-1=2叵

故答案为：2夜.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判断与性质，勾股定理，三角形中线平分三角形的面积等知识,

用到了等积思想，方程思想，关键和难点是构造全等三角形.

三、解答题

21.菱形ABC。在平面直角坐标系中的位置如图所示，对角线AC与8。的交点E恰好

在y轴上，过点。和BC的中点H的直线交AC于点F,线段OE,8的长是方程

x2-9x+18=0的两根，请解答下列问题：

(1)求点。的坐标；

(2)点。在直线3。上，在直线上是否存在点P,使以点尸，C,P,。为顶点的

四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点尸的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴。(一|，3石｝(2)存在,点尸的坐标为：《,可或［*5句或佟-可

【分析】

(1)先解方程可得8和OE的长，根据直角三角形的性质可得NDCA=30。，分别计

算AC、BD、。例的长，根据菱形面积的两种计算方法可得高的长，得。的坐标;

(2)分三种情况：①以C尸为边时，在C尸的上方，②以C尸为边，在CF的下方，③

以CF为对角线时，分别根据平移规律求点P的坐标

【详解】

(1)x2—9x+18=0,(x—3)(x—6)=0,x=3或6,

•：CD>DE,:,CD=6,DE=3,'・•四边形A8CQ是菱形，

・・AC_LBD,=EC=，62-3?=3\/3，

JZDCA=30°,ZEDC=60°,Rt/XDEM中，