平行四边形的判定的复习

§平行四边形的判定的复习关于平行四边形判定的知识结构一、平行四边形的判定方法1、判定定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形；2、判定定理１：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；3、判定定理２：两组对边分别相等的四边形是平行四边形；4、判定定理３：对角线分别平分的四边形是平行四边形；5、判定定理４：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。二、平行四边形知识应用比较广泛1、直接运用平行四边形性质解决某些问题，例如求角的度数，线段的长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等；2、判定一个四边形为平行四边形，从而判定直线平行；3、先判定一个四边形为平行四边形，然后再用平行四边形的性质去解决某些问题。三、平行四边形的作图：1、常见的平行四边形的作图：（1）已知两邻边和夹角作平行四边形；（2）已知一边，一条对角线及它们夹角作平行四边形；（3）已知一边和两条对角线求作平行四边形；（4）已知两邻边和一条对角线作平行四边形；（5）已知一边和一个内角以及过这个角顶点的一条对角线。2、完成作图的关键步骤：（1）先由条件作出它们能确定的三角形；（2）然后再将三角形补成平行四边形；关于平行四边形判定复习的重点难点分析：重点分析：平行四边形的判定方法涉及平行四边形元素的各方面，同时它又与平行四边形的性质联系，判定一个四边形是否为平行四边形是利用平行四边形性质解决其他问题的基础，所以平行四边形的判定定理是重点。难点：灵活运用判定定理证明平行四边形。难点分析：平行四边形的判定方法较多，综合性较强，能灵活的运用判定定理证明平行四边形，是难点。典型例题分析：例1、已知：如图，E，F分别为ABCD的边CD，AB上一点，AE∥CF，BE，CF分别交CF，AE于H，G，求证：EG=FH。证明：∵AE∥CF，AF∥CE，∴四边形AECF是平行四边形。∴AF=CE；∵AB=CD；∴BF=DE；∵BF∥DE；；∴四边形BFDE是平行四边形。∴DF∥BE；∵AE∥CF；∴四边形GFHE是平行四边形。∴EG=FH。本题考查平行四边形的判定定理，解题关键是设法证四边形GFHE是平行四边形。例2、如图，已知：四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，E，F为垂足，且AE=CF，∠BAC＝∠DCA。求证：四边形ABCD是平行四边形。证法1∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴∠1=∠2。∵∠BAC＝∠DCA，∴∠BAE=∠DCF，在Rt△AEB和Rt△CFD中，∵∠AEB=∠CFD=90º，AE=CF，∠BAE=∠DCF，∴Rt△AEB≌Rt△CFD，∴AB=-CD∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形.证法2设AC与BD交点为O，∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴AE∥CF，∴∠1=∠2。在△AOE和△COF中，∠1=∠2，AE=CF，∠AEO=∠CFO=90º，△AOE≌△COF。∴AO=CO，OE=OF。在△AEB和△CFD中，∵∠AEB=∠CFD=90º，AE=CF，∠BAE=∠DCF，∴△AEB≌△CFD，∴BE=DF，BE+OE=DF+OF，即BO=DO，AO=CO。∴四边形ABCD是平行四边形。例3、一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行的四边形吗？为什么？——错解是平行四边形。（只所以产生错解，是因为没有根据平行四边形定义或判断定理进行判断）正解：不一定是平行四边形.如图，△ADC≌△DAE，AB=AC=DE，则在四边形ABDE中有AB=DE，∠B=∠E，但四边形ABDE显然不是平行四边形。例4、已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，以AD，AC为边作ACED，延长DC交EB于F。求证：EF=FB。证明：过B作AD∥BG，交DC的延长线于G，连结EG。∵AB∥DC，∴四边形ABGD是平行四边形。∴BGAD；∵ADCE；∴BGCE。∴四边形BGEC是平行四边形。∴。例5、已知一个六边形的六个内角都是120°，其连续四边的长依次是1，9，9，5厘米，那么这个六边形的周长是______厘米。解答：如图，延长FA，CB相交于G，延长CD，FE相交于H.由题设条件，易知△ABG、△DEH都是等边三角形。∴∠H＝∠G=60º。∴GCHF为平行四边形。∴GC=HF=`10，GFHC=14。∴EF=HF-EH=10-5=5；AF=CG-AG=GF-AB=14-1=13。∴六边形的周长为：1+9+9+5+5+13=42（cm）。本题考查平行四边形及等边三角形的应用，解题关键是作辅助线，将“不规则”的六边形变成“规则”的平行四边形，本题还可以将其变成等边三角形，其作辅助线的方法可以是延长FA，CB交于G，延长BC，ED交于K，延长DE，AF交于Q，则△GKQ为等边三角形。例6、如图，已知：在四边形ABCD中，AD=BC，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，且AF=CE。求证：四边形ABCD是平行四边形。分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，已给出的条件有AD=BC，所以只需再证DC=AB或AD∥BG就可以了，那么通过三角形全等证明AD∥BG更容易一些。证明：∵AF=CE（已知），∴AE-EF=CE-EF，即AE=CF。∵DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，∴△ADE和△CBF是直角三角形。在Rt△AEB和Rt△CFD中，AE=CF，AD=CB，∴Rt△AEB≌Rt△CFD（HL），∴∠DAE=∠BCF，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行），又∵AD=BC（已知），∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）。说明：要证明一个四边形是平行四边形，首先要联想到判定四边形是平行四边形的几种判定方法，然后结合给出条件和图形的特点，选择一种可行的判定方法。小结梳理：平行四边形知识的运用包括三个方面：一是直接运用平行四边形的性质来解决某些问题，例如求角的度数，线段长度，证明角相等或互补，证明线段相等或倍分等；二是判定一个四边形是平行四边形，从而判定直线平行等；三是先判定一个四边形是平行四边形，然后再用四边形的性质来解决有关问题。思考题（美妙的莫雷定理）：已知：如图，在△ABC中，AB∥DE∥FG，BE=CG。求证：DE+FG=AB已知：如图，AE和AF,BD和BF,CD和CE分别为△ABC的∠A、∠B、∠C的三等分线。求证：△DEF是正三角形。这是英国数学家富兰克·莫雷在1899年提出的，不管从已知条件和结论看，都十分对称美妙，数学家柯克特称它是初等几何最惊人的定理之一。

§平行四边形的判定的复习——习题精选一、选择题1、如图，EF过ABCD的对角线的交点O交AD于E，交BC于F，若AB=4，BC=5，OE=，那么四边形EFCD的周长为（

）A．16

B．14

C．12

D．102、能判定四边形ABCD是平行四边形的题设是（

）A．AB∥CD，AD=BC

B．∠A=∠B，∠C=∠DC．AB=CD，AD=BC

D．AB=AD，CB=CD3、A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③CB∥AD；④CB=AD这四个条件中任选两个，能使四边形ABCD是平行四边形的选法有（

）A．3种

B．4种

C．5种

D．6种4、下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（

）A．一组对边相等，另一组对边平行

B．一组对边平行，一组对角互补C．一组对角相等，一组邻角互补

D．一组对角互补，另一组对角相等5、下列条件中能判断四边形是平行四边形的是（

）A．一组对角相等

B．两条对角线互相垂直C．两条对角线互相平分

D．一对邻角和为180°6．下列四个条件中，能判断四边形是平行四边形的是（

）A．一组对边平行，另一组对边相等

B．两条对角线互相垂直C．两条对角线相等

D．一组对边平行，一组对角相等7．以不在同一直线上的三个点为顶点作平行四边形，最多能作（

）A．4个

B．3个

C．2个

D．1个二、填空题1、E是△ABC中线BD上任意一点，延长BE到F，使DF=ED，则四边形AECF是_____。2、在ABCD中，E，F分别为AB、DC的中点，连结DE、EF、FB，则图中共有______个平行四边形。3、把边长为3cm，5cm，7cm的两个全等三角形拼成四边形，一共能拼成______种不同的四边形，其中有______个平行四边形。4、如果一个四边形每相邻两角互补，那么这个四边形是________。5、如图，△ABC是等边三角形，P是三角形内任一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC周长为12，PD+PE+PF=_____________。三、判断题（正确的打“√”，错误的打“×”）：1、在四边形ABCD中，如果AB=BC，CD=AD，那么四边形ABCD一定是平行四边形。2、如果四边形中，有一组对边相等，还有一组对角相等，那么这四边形一定是平行四边形。四、解答题1、如图，ABCD中，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F，BG⊥AG于G，DH⊥AC于H。求证：GE=FH。2、已知△ABC（如图），请用直尺（没有刻度）和圆规，作一个平行四边形，使它的三个顶点恰好是△ABC的三个顶点（只需作一个，不必写作法，但要保留作图痕迹）。3、已知：如图，在ABCD中，DE平分∠ADC交CB延长线于E，BF平分∠ABC，交AD延长线于F。求证：四边形BFDE是平行四边形。4、如图，已知在ABCD中，EF交AC于O，若AE=CF，BE=DF，求证：EF与AC互相平分。5、如图，BD是△ABC角平分线，DE∥BC，EF∥AC，求证：BE=CF。6．如图，ABCD中，E，F在AC上，且AF=CE，EH⊥BC，FG⊥AD，垂足分别为H，G连GH交EF于点O。求证：GH与EF互相平分。34567、已知：如图，AC是ABCD的对角线，MMN∥AC，分别交DA，DC的延长线于M，N交AB，BC于P，Q。求证：MQ=PB。789108、已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F分别在DB，BD的延长线上，BE=DF。求证：AFCE。9、已知：如图，ABCD中，DF⊥AC，BE⊥AC，M，N分别是AB，DC的中点.求证：四边形MENF是平行四边形.10、如图，已知O是ABCD对角线AC的中点，过点O的直线EF分别交AB、CD于E、F两点。（1）求证：四边形AECF是平行四边形；（2）填空：不加辅助线的原图中，全等三角形共有_______对（不要求将全等三角形表示出来，也不要证明）。

习题精选参考答案：一、1．C；2．C；3．B；4．C；5．C；6．D；7．B。二、1．平行四边形；2．4；3．6，3；4．平行四边形；5．4。三、1．×

2．×四、1、证明：在ABCD中，ABCD；∴∠BAG＝∠DGH。∵AE⊥BD，CF⊥BD，BG⊥AG，DH⊥AC，∴△BAG≌△DCH，∴AG=GH∴OA=OC∴OG=OH。同理OE=OF。∴四边形GEHF是平行四边形.∴GE=FH。2、略3、在ABCD中，∴AD∥BC，∠ADC＝∠ABC，∴∠1=∠E。∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，∴∠1=∠2；∴∠2=∠E，∴DE∥BF。∵DF∥BE，∴四边形BFDE是平行四边形.4、连AF、CE易证，得，从而证得，则四边形AECF是平行四边形.故EF