考研概率强化讲义(6-8章)

第六章数理统计的基本概念

第一节基本概念

1、概念网络图

.总体.

个体

数理统计的基本概念样本一正态总体下的四大分布

样本函数

统计量

2、重要公式和结论

在数理统计中，常把被考察对象的某•个（或多个）指标的全

总体体称为总体（或母体）。我们总是把总体看成一个具有分布的随

机变量（或随机向量）。

个体总体中的每一个单元称为样品（或个体）。

我们把从总体中抽取的部分样品X”*2，…，X”称为样本。样本

中所含的样品数称为样本容量，一般用n表示。在一般情况下，

总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机

（1）数理

样本变量，这样的样本称为简单随机样本。在泛指任次抽取的结

统计的基

果时，…,与表示n个随机变量（样本）；在具体的一次

本概念

抽取之后，再,X2,％表示n个具体的数值（样本值）。我们

称之为样本的两重性。

设Xi，Z,…，相为总体的一个样本，称

样本函数和（P=（P（x],x2,---,xn）

统计量为样本函数，其中9为一个连续函数。如果夕中不包含任何未

知参数，则称0（x],x2,---,xn）为一个统计量。

—1〃

样本均值工=上2天・

〃/=1

1〃_

样本方差s-£（%，X）.

n-1,=1

样本标准差S=Jy£（巧一分2.

样本k阶原点矩

M='1>：，4=1，2，….

常见统计量

及其性质

样本k阶中心矩

M'k=’才（七一x）”,Z=2,3,….

〃/=1

2

E（X）=//,D（X）=—,

n

E（S2）=a2,E（S*2）=^-a2,

n

1八一

其中S*2=—£（Xj-X）2,为二阶中心矩。

%/=1

设匹产2,…，乙为来自正态总体N(〃,<y2)的一个样本，则样

本函数

正态分布

defX一口八

u=——N(O,1).

a/yjn

设再，》2,…,X”为来自正态总体N(〃,Cf2)的一个样本，则样

本函数

(2)正态X-H

t分布L产〜/(〃—1),

总体下的

四大分布

Vn

其中t(n-l)表示自由度为n-1的t分布。

设X],9,…,X”为来自正态总体N(〃,b2)的一个样本，则样

本函数

/分布询(〃-1斤2

卬-2〜力51)，

(7

其中％2(〃-1)表示自由度为n-1的72分布。

设修，工2,…，X”为来自正态总体的一个样本，而

…，兄为来自正态总体的一个样本，则样本

函数

defS.2/

—WrT•〜％〃「1，〃2一1)，

3)/CT-)

F分布

1"1一|"2_

S1=工(eX)，S2=X(Z-y)；

尸(勺一1,〃2—1)表示第一自由度为勺一1，第二自由度为

〃2-1的F分布。

(3)正态又与S2独立。

总体下分

布的性质

例6.1：从正态总体N(3.4,6?)中抽取容量为n的样本，如果要求其样本均值位于区间(1.4,

5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n至少应取多大？

第二节重点考核点

统计量的分布

第三节常见题型

1、统计量的性质

例6.2：设(乂，丫2,…，万7)取自总体X〜NQOS),则pjfx：〉4]=

_________O

例6.3：设总体X服从正态分布N(〃“2)，总体y服从正态分布

NW,MM,X2,…x“，和匕，八，…，2分别是来自总体x和丫的简单随机样本，则

£(x,-5)+£()；.-n

E/=iy=i

n1+%-2

2、统计量的分布

例6.4：设(XQX?,…，X,)是来自正态总体的简单随机样本，X是样本均值,

记

1〃一

5；二西宫区一行，S”一行,

1〃1n

S；=一^(乂-〃)2,S：=*(Xi)2,

则服从自由度为n-1的t分布的随机变量是

、X.RX-u

(A)t=------r~—-(B)t=-------

S}/y/n—1s2/—1

、X-X-/J

(C)1=------三.(D)t=]

S37rlSJ病

例6.5：设总体X〜N(0,I2),从总体中取一个容量为6的样本(毛，入2,…,x6),设

Y=(X1+X2+X3『+(X4+X5+入6尸，试确定常数C,使随机变量CY服从72分布。

第四节历年真题

数学一:

1(98,4分)从正态总体N(3.4,62)中抽取容量为〃的样本，如果要求其样本均

值位于区间(L4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量〃至少应取多大?

Z1.281.6451.962.33

①(Z)0.9000.9500.9750.990

2(01,7分)设总体X〜N(〃,b2)(b>o),从该总体中抽取简单随机样本

X“2,…，X,“(〃N2),其样本的均值X=—YXi,求统计量

y=£(X,+Xn+i-2Ty的数学期望E⑺。

7=1

3(03,4分)设随机变量X〜/则

X

(A)Y~x2(b)(B)y〜/(〃-1)

(C)Y~F(w,l)(D)Y〜F(l,w)

4.(05,4分)设X],丫2,一…X〃122)为来自总体N(0,l)的简单随机样本，》为样

本均值，S?为样本方差，则

(A)nX~7V(0,l)(B)nS2〜x2(z?)

(C)〜—1)(D)("ML8”])

i=2

5.(05,9分)设X1,X2,一>2)为来自总体N(0,l)的简单随机样本，X为样

本均值，记匕=乂一灭，i=l2…。

求：(I)匕的方差。匕，i-=12…,〃；

(IDX与匕的协方差。。丫化,工)。

--

数学二:

1(94,3分)设X1,X2,…,X”是来自正态总体的简单随机样本，X

是样本均值，记

1n一I〃_

s；*驶­…

1〃

S"=X(X，-〃)2s：=71(x「万

则服从自由度为片1的t分布的随机变量是

X-u

(A)t=------(B)t=X*

S]/—1S2/

,、X-u.

(C)(D)t=------三[]

S3/&Sj4n

2(97,3分)设随机变量才和V相互独立且都服从正态分布N(0,32),,而

乂，工2,…丫9和匕，丫2,…，为分别是来自总体才和y的简单随机样本。则统计量

X]+…+X

9服从.分布，参数为

-彳+…+年

3(98,3分)设乂,丫2，入3，乂,是来自正态总体〃(0,22)的简单随机样本。

X=a(X]—2X?)2+6(3^3—4X4)2.则当。=,b=时，统计量才

服从十分布，其自由度为.

4(99,7分)设X”X2,…X9是来自正态总体1的简单随机样本，

Yi=J(X]+•••+X),

6丫2=产+4+乂9)

o

52=空19(七-丫2)2，6(丫「丫2)

Z=----------

Lz=iS

证明统计量Z服从自由度为2的t分布。

5(01,3分)设总体4N(0,22),而X1,X2,…，丫竹是来自总体X的简单随机

样本，则随机变量

y；X；+…+X；>

2（X：[+…+X]

服从分布，参数为o

6（02,3分）设随机变量才和F都服从标准正态分布，则

（A）户「服从正态分布。（B）1+P服从/分布。

（C）/和-都服从?分布。（D）『/0服从尸分布。[]

7（03,4分）设总体/服从参数为2的指数分布，X1,X2,…X”为来自总体才

的简单随机样本，则当〃-00时，工=,£x,2依概率收敛于O

n,=1

8（04,4分）设总体X服从正态分布N（〃|,c2）,总体丫服从正态分布

NO4,。?），

乂,入2,…x“,和乂,八,…九分别是来自总体x和丫的简单随机样本，则

22

之（X,-灭）+£（yy-n

Z=1j=l

+〃2-2

9.（06,4分）设总体X的概率密度为/（x）=；e[M（-8<x<+8）,王,刀2,…,x”为

总体的简单随机样本，其样本方差S2,则助2

第七章参数估计

第一节基本概念

1、概念网络图

'无偏性］

f矩估计〕

点估计L工•一估计量的评选标准有效性"

一致性.

从样本推断总体，1极大似然估计

区间估计｛单正态总体的区间估计｝

2、重要公式和结论

设总体X的分布中包含有未知数d,…，则其分布函数可以表成

F（x;4，名，…,内）•它的k阶原点矩v,=E（X*）（左=1,2,…，⑼中也

包含了未知参数四，％，…，/，即匕=巳（4，/，…，％,）。又设

匹,*2,X”为总体X的n个样本值,其样本的k阶原点矩为

1n

n..

这样，我们按照“当参数等于其估计量时，总体矩等于相应的样本矩”

的原则建立方程，即有

AAA1」

vi（4,％，…，/）=一工七,

⑴点

矩估计

估计%（自,，，…

%/=1

*

,J

AAA1

匕〃（仇也，…4）=—Z寸

[n/=i

由上面的m个方程中，解出的m个未知参数（4，。,・・・,。,）即为参数

（四,。2,…,仇”）的矩估计量。

若）为。的矩估计,

g（x）为连续函数，则g必）为g（6）的矩估计。

当总体X为连续型随机变量时，设其分布密度为

，（苍4,出，…。），其中，，氏，…4为未知参数。又设

X],%2,…,X”为总体的一个样本，称

£（4,凡,…,屐）=立/（匹；4，仇，…4）

/=1

为样本的似然函数，简记为心.

当总体X为离型随机变量时，设其分布律为

p{x=x}=p（x；q,仇，…,鹤）,则称

£区,工2/-,与；仇,//一,4“）=[[。区；仇，仇，…,4”）

极大似i=l

然估计为样本的似然函数。

若似然函数£（修户2,…，阳，血，仇,在A/,…,3,“处取

到最大值，则称4,8，…点,分别为仇，&，…,3,„的最大似然估计值，

相应的统计量称为最大似然估计量。

"=0,7=1,2,…，加

阻e=4

若）为。的极大似然估计，g（x）为单调函数，则g（4）为g⑹的极大

似然估计。

设1=）区/2,…,乙）为求知参数。的估计量。若E（6）=9,则称

无偏性）梏的无偏估计量。

E（耳）=E（X）,E（Sz）=D（X）

设31=）|（X],X，2,•••,%„）和）2=）2（X],X，2，…,x“）是未知参数。

有效性

AAAA

（2）估的两个无偏估计量。若。（夕）<。（仇），则称历比偏有效。

计量的

设2“是。的一串估计量，如果对于任意的正数£,都有

评选标

准

iimp（\e„-e\>£）=o,

M—>OC

则称4”为6的一致估计量（或相合估计量）。

一致性

若）为夕的无偏估计，且。（初一>0（〃->8）,则3为e的一致估计。

只要总体的E（x）和D（X）存在，一切样本矩和样本矩的连续函数都是相

应总体的一致估计量。

X”出

,x，2,

本的

从样

我们

。如果

参数0

未知

估的

个待

有一

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设总

与

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，2,…

区，x

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