新教材高中数学第7章三角函数3.1三角函数的周期性课件苏教版必修第一册

1.了解周期函数、最小正周期的概念.2.理解并掌握三角函数的周期,会求一些简单的、常见的函数的周期.7.3

三角函数的图象和性质7.3.1

三角函数的周期性1.周期函数的定义一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果存在一个非零的常数T,使得对于任意的x∈A,都有x+T∈A,并且①

f(x+T)=f(x)

,那么函数f(x)就叫作周期函数,非零常数T叫作这个函数的周期.2.最小正周期对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小的正数就叫作f(x)的最小正周期.1|周期函数1.三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的最小正周期分别是②2π

、③2π

、④

π

.2.一般地,函数y=Asin(ωx+φ)及y=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为⑤

,函数y=Atan(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数,且A≠0,ω>0)的周期为⑥

.知识拓展1.一般地,如果定义在R上的函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a为正常数),那么这个函数的

周期为2a.2.一般地,如果定义在R上的函数f(x)满足f(x+a)=

(a为正常数),那么这个函数的周期为2a.2|三角函数的最小正周期3.一般地,如果定义在R上的函数f(x)满足f(x+a)=-

(a为正常数),那么这个函数的周期为2a.4.一般地,如果定义在R上的函数f(x)满足f(x+a)=

(a为正常数),那么这个函数的周期为2a.1.若某函数的最小正周期为T,则kT(k∈Z,k≠0)也是该函数的周期.

(√)提示:根据函数周期性的定义,可得f(x+kT)=f(x+(k-1)T+T)=f(x+(k-1)T)=f(x+(k-2)T+T)=f(x+(k-2)T)=…=f(x+T)=f(x),k∈Z,k≠0,所以kT(k∈Z,k≠0)是该函数的周期.2.已知函数y=f(x),若f(1+2)=f(1),f(2+2)=f(2),则2是该函数的周期.

(

✕)提示:函数的周期性是对整个定义域来说的,f(x)对定义域内任意值都有f(x)=f(x+2)时,2才是f(x)的周期.3.y=|sinx|的最小正周期是π.

(√)提示:函数y=sinx的最小正周期是2π,所以y=|sinx|的最小正周期是π.4.y=tan2x的最小正周期是π.

(

✕)提示:y=tanωx的最小正周期是

,所以y=tan2x的最小正周期是

.判断正误，正确的画“√”，错误的画“✕”.5.y=cos

的最小正周期是4π.

(√)1|求三角函数的最小正周期求三角函数的最小正周期,一般先通过恒等变形化为y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)或y=Atan(ωx+φ)的形式(其中A,ω,φ都是常数),再应用公式T=

或T=

或T=

分别求解.若函数解析式不满足使用周期公式的条件,则可结合周期函数的定义或函数图象确定其周期.在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos

2x+

,④y=tan

2x-

中,最小正周期为π的是

(A)A.①②③

B.①③④C.②④

D.①③解析

对于①,y=cos|2x|=cos2x,∴y=cos|2x|的最小正周期为

=π;对于②,∵y=cosx的最小正周期为2π,∴y=|cosx|的最小正周期为π;对于③,y=cos

的最小正周期为

=π;对于④,y=tan

的最小正周期为

.综上,①②③的最小正周期为π.2|利用函数的周期性求值利用函数周期性求值的步骤(1)确定函数的周期;(2)根据f(x+kT)=f(x)(k∈Z且k≠0),把自变量x加上或减去周期的非零整数倍;(3)计算得出结果.已知f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx-β),其中α,β,a,b均为非零实数,若f(2020)=-1,则f(2021)=

1

.解析

因为y=sin(πx+α)和