新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用2空间中的平面与空间向量第2课时面面的位置关系三垂线定理及其逆定理学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE8第2课时面面的位置关系、三垂线定理及其逆定理课标解读课标要求素养要求1.能用空间向量证明两平面的平行和垂直.2.掌握三垂线定理及其逆定理并会运用.1.数学运算——会利用空间向量证明平面与平面的平行和垂直关系.2.逻辑推理——会利用三垂线定理及其逆定理解决线面、线线垂直问题.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一平面与平面垂直、平行的判定如果n1是平面α1的一个法向量,n2是平面α2的一个法向量,那么n1⊥n2⇔①α要点二三垂线定理及其逆定理1.射影的概念已知空间中的平面α以及点A,过A作α的③垂线l,设l与α相交于点A',则A'就是点A在平面α内的射影（也称为投影）.不难看出,当A不是平面α内的点时,如果A的射影为A',则A'A与A空间中,图形F上所有点在平面α内的射影所组成的集合F',称为图形F在平面α2.三垂线定理及其逆定理三垂线定理：如果⑤平面内的一条直线与平面的一条斜线在该平面内的射影垂直,则它也和这条斜线垂直.三垂线定理的逆定理：如果平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直,则它也和这条斜线在该平面内的射影⑥垂直.自主思考1.若平面α,β的法向量分别为n1=(-1,12,0),n2答案：提示当n2=(2,4,2)时,n1⋅n当n2=(2,-1,0)时,n1∥n2,2.若直线a是平面α的斜线,直线b垂直于a在平面α内的射影,则直线a与b垂直吗？答案：提示不一定垂直.3.三垂线定理及其逆定理中共有哪些垂直关系？答案：提示线面垂直,平面内的直线和平面的斜线垂直,平面内的直线和斜线的射影垂直.名师点睛1.对三垂线定理的说明（1）三垂线定理描述了斜线、射影、平面内的直线之间的垂直关系;（2）定理中的直线和斜线可以相交,也可以异面;（3）三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理.2.关于三垂线定理的应用,关键是找出平面的垂线,至于射影则是由垂足、斜足来确定的,应用三垂线定理证明线线垂直的一般步骤：（1）找平面及其垂线;（2）找射影;（3）证明射影和直线垂直,从而得到直线与直线垂直.互动探究·关键能力探究点一利用空间向量证明平面与平面平行精讲精练例在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,在底面ABC中,∠ABC=90∘,D是BC上一点,且A1答案：证明如图所示,以B点为原点建立空间直角坐标系,设AB=a,BC=2b,BB则B(0,0,0),A(a,0,0),C1所以AD=(-a,设平面AC1D则m⋅AD取y1=a,则x又因为A1B∥平面A解得y0设平面A1BD1的一个法向量为n取z2=1,则x2所以n=-cabm,所以m∥解题感悟向量法证明面面平行设平面α的一个法向量为n1=(a1,b1迁移应用1.如图,在四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA=PD,AB=AD,PA⊥PD,AD⊥CD,∠BAD=60∘,M、N分别为AD、PA的中点,证明：平面BMN∥答案：证明连接BD、PM,∵AB=AD,∠BAD=60∵M为AD的中点,∴BM⊥AD,∵PA=PD,M为AD的中点,∴PM⊥AD,又∵平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,PM⊂平面PAD,∴PM⊥平面ABCD,∴PM⊥BM,则以点M为坐标原点,MB、MD、MP所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系Mxyz,设PA=PD=22a,CD=b,则B(23a,0,0),C(b,2a,0),设n1=(x1,y1由n1⋅MN→=0,n1⋅MB→=0,由n2⋅PC→=0,n2⋅PD→=0,∴n1=n2探究点二利用空间向量证明平面与平面垂直精讲精练例（2020山东日照高二期中）如图,在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,△APB是以∠APB为直角的等腰直角三角形,平面PAB⊥平面ABCD.证明：平面PAD⊥平面PBC.答案：证明取AB的中点O,CD的中点M,连接OM,OP,则OM⊥AB,又平面PAB⊥平面ABCD,平面PAB∩平面ABCD=AB,所以OM⊥平面PAB,又PA=PB,所以PO⊥AB.则以点O为原点,OP,OB,OM所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示,设AP=2a,AD=b,则所以AD=(0,0,b),设n1=(x1,y1则由n1⋅AD=0,n令x1=1,则y1同理,bz2=0,ax2-ay2因为n1⋅n2=1-1=0,所以n解题感悟利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径,一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直问题;二是直接求解两个平面的法向量,证明两个法向量垂直,从而得到两个平面垂直.迁移应用1.如图所示,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,AB=BC=2,BB答案：证明由题意得AB,BC,B1B两两垂直,所以以点B为坐标原点,BA,BC,B则A(2,0,0),则AA设平面AA1C1C的一个法向量为令x1=1,设平面AEC1则n2⋅令z2=4,∵n1⋅n2探究点三三垂线定理及其逆定理的应用精讲精练例如图,三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,若O,Q分别是△ABC和△PBC的垂心,求证：OQ⊥平面PBC.答案：证明如图,连接AO并延长交BC于点E,则AE⊥BC,连接PE.连接BO并延长交AC于点F,则BF⊥AC.连接BQ并延长交PC于点M,则BM⊥PC.连接MF.∵PA⊥平面ABC,AE⊥BC,∴BC⊥PE（三垂线定理),∴点Q在PE上.∵AE⊥BC,PE⊥BC,AE∩PE=E,AE,PE⊂平面PAE,∴BC⊥平面PAE,又OQ⊂平面PAE,∴BC⊥OQ.①∵PA⊥平面ABC,BF⊥AC,∴BF⊥PC（三垂线定理).∵BM⊥PC,BF⊥PC,BM∩BF=B,BM,BFBF⊂平面BMF,∴PC⊥平面BMF,又OQ⊂平面BMF,∴PC⊥OQ.②又BC∩PC=C,BC,PC⊂平面PBC∴由①②,知OQ⊥平面PBC.解题感悟（1）在证明线面垂直时,常常应用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直,可以使其过程简化.（2）利用三垂线定理及其逆定理证明垂直的关键是找到平面的垂线、斜线、射影.迁移应用1.如图所示,已知四棱锥P-ABCD的底面是直角梯形,∠ABC=∠BCD=90∘,AB=BC=PB=PC=2CD,平面PBC⊥平面ABCD答案：证明如图,取BC的中点O,连接AO交BD于点E,连接PO.因为PB=PC,所以PO⊥BC.又平面PBC⊥平面ABCD,平面PBC∩平面ABCD=BC,PO⊂平面PBC,所以PO⊥平面ABCD,所以AP在平面ABCD内的射影为AO.在直角梯形ABCD中,由AB=BC=2CD,易知Rt△ABO∽所以∠BEO=∠OAB+∠DBA=∠DBC+∠DBA=90∘,即由三垂线定理的逆定理,得PA⊥BD.评价检测·素养提升1.若两个不同平面α,β的法向量分别为u=(1,2,-1),A.α∥βB.α⊥βC.α,β相交但不垂直D.以上均不正确答案：A2.（2020浙江温州第五十一中学高二期中）平面α的一个法向量为u=(2,-2,2),平面β的一个法向量为vA.α、β平行B.α、β垂直C.α、β重合D.以上都不对答案：B3.已知平面α和平面β的法向量分别为a=(1,1,2),b=(x,-2,3),且α⊥βA.-4B.-