新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用2空间中的平面与空间向量第2课时面面的位置关系三垂线定理及其逆定理训练含解析新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE7第2课时面面的位置关系、三垂线定理及其逆定理基础达标练1.若平面α,β平行,则下列可以是这两个平面的法向量的是()A.nB.nC.nD.n答案：D2.已知两个不重合的平面α与平面ABC,若平面α的一个法向量为n=(2,-3,1),向量ABA.平面α∥平面ABCB.平面α⊥平面ABCC.平面α、平面ABC相交但不垂直D.以上均有可能答案：A3.已知平面α的一个法向量是(2,3,-1),平面β的一个法向量是(4,λ,-2),若α∥β,则λ的值是()A.-310答案：C4.（多选）（2020山师附中高二检测）下列命题中是真命题的有()A.直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),直线m的一个方向向量为b=(2,1,-12)B.直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1)C.平面α,β的法向量分别为n1=(0,1,3),D.平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则答案：A;D解析：∵a=(1,-1,2),b∴直线l与m垂直,故A正确;a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1)则a⊥n,∴l∥α∵n1=(0,1,3),n2∵点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),∴AB∵向量n=(1,u,t)是平面α∴n⋅AB→=0,5.（2021山东青州第一中学高二月考）设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(-2,4,-8)垂直,则平面α与答案：平行或重合6.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C求证：AB答案：证明如图,连接AC易知A∴∠A∴∠∵ABC-A1又∵B1∴B1C1⊥素养提升练7.已知平面α内的两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1)且c=ma+nbA.-1,2B.1,-2C.1,2D.-1,-2答案：A解析：c=m由c为平面α的一个法向量,得c⋅a8.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=22,P为A.平行B.异面C.垂直D.以上都不对答案：C解析：取CD的中点P',连接PP',AP',M所以MP'为PM在平面由题意得,AM=6,MP'由三垂线定理知AM⊥PM.9.若正三棱锥P-ABC的侧面互相垂直,则棱锥的高与底面边长之比为.答案：1:解析：设棱锥的高为h,底面边长为1,O为△ABC的中心,以O为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,0,h),A(PA=(设平面PAB的一个法向量为n1则PA→⋅令x1=所以平面PAB的一个法向量为n1设平面PAC的一个法向量为n2则PA即33x2-hz2=0,-3由平面PAB⊥平面PAC,知n即n1⋅n故高与底面边长之比为6610.（2020山东济南高二期末）如图,在三棱锥P-ABC中,已知PA⊥平面ABC,△ABC是边长为2的正三角形,D、E分别为PB、PC的中点.（1）若PA=2,求直线AE与PB所成角的余弦值;（2）若平面ADE⊥平面PBC,求PA的长.答案：（1）取AC的中点F,连接BF,则BF⊥AC.以A为坐标原点,过A且与BF平行的直线为x轴,AC、AP所在直线分别为y轴,z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.易知A(0,0,0),B(3,1,0),C(0,2,0),P(0,0,2),PB=(设直线AE,PB所成角的大小为θ,则cosθ=所以直线AE,PB所成角的余弦值为14（2）设PA=a,则P(0,0,a),PB=(3,1,-a),PC=(0,2,-a)则PB→⋅m=3x1D(3设平面ADE的一个法向量为n=(则AD令z2=2,则n=(-若平面ADE⊥平面PBC,则m⋅即-13a所以PA=3创新拓展练11.如图1,在直角三角形ABC中,∠ABC=90∘,∠A=60∘,AB=2.D,M分别是AC,BD的中点.现将三角形ABD沿BD边折起,记折起后的点A位于点P的位置,且平面PBD⊥平面DBC,如图2所示,点（1）若DB⊥平面PMN,求λ的值;（2）是否存在λ,使平面PDN⊥平面PMN？若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.解析：命题分析本题为立体几何中的折叠问题,体现了平面与空间的辩证统一,考查学生的运算求解能力和直观想象的核心素养,难度稍大.答题要领（1）根据题意,得到折叠前AD=AB=DB=2,∠DBC=30∘,BC=23,折叠后,得出DM=BM=1,求出（2）先由平面PBD⊥平面DBC,得到PM⊥平面DBC,由（1）得到,当|BN|=|BC|3=233时,答案：详细解析（1）折叠前,直角三角形ABC中,AB⊥BC,∠A=60∘,D是所以AD=AB=DB=2,∠DBC=30折叠后,三角形PDB为等边三角形,PD=PB=DB=2,因为点M为BD的中点,所以DM=BM=1.由DB⊥平面PMN,知DB⊥MN,直角三角形BMN中,∠DBC=30∘,所以BN=BM（2）不存在.理由：由平面PBD⊥平面DBC,平面PBD∩平面DBC=DB,PM⊥DB,知PM⊥平面DBC.由（1）知,当|BN|=|BC|3=233时,以M为坐标原点,MN0所在直线为x轴,MB所在直线为y轴,作垂直于平面则M(0,0,0),P(0,0,3故PM=(0,0,-设平面PDN的一个法向量为n1则n所以-令z1=1,则设平面PMN的一个法向量为n2则n所以-令y2=3要使平面PDN⊥平面PMN,则n1⋅n2=0,即2-3λλ⋅3λ-1