新教材高中数学第一章空间向量与立体几何2空间向量在立体几何中的应用5空间中的距离第2课时点到平面直线到平面平面到平面的距离学案新人教B版选择性必修第一册

PAGEPAGE9第2课时点到平面、直线到平面、平面到平面的距离课标解读课标要求素养要求1.理解点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离的概念.2.能灵活运用向量方法求点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离.1.数学抽象——能理解点到平面的距离、直线到平面的距离和平面到平面的距离的概念.2.数学运算——会利用空间向量求解三种距离.自主学习·必备知识教材研习教材原句要点一点到平面的距离1.点到平面的距离给定空间中一个平面α及α外一点A,过A可以作平面α的一条垂线段,这条垂线段的长称为点A到平面α的距离.点到平面的距离也是这个点与平面内点的①最短连线的长度.2.点到平面的距离的计算公式一般地,若A是平面α外一点,B是平面α内一点,n是平面α的一个法向量,则点A到平面α的距离d=②|BA要点二相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离1.相关概念当直线与平面平行时,直线上任意一点到平面的距离称为这条直线与这个平面之间的距离;当平面与平面平行时,一个平面内③任意一点到另一个平面的距离称为这两个平行平面之间的距离.一般地,与两个平行平面④同时垂直的直线,称为这两个平面的公垂线,公垂线夹在平行平面间的部分,称为这两个平面的公垂线段.显然,两个平行平面之间的距离也等于它们的公垂线段的长.2.计算公式如图1所示,如果直线l与平面α平行,n是平面α的一个法向量,A,B分别是l上和α内的点,则直线l与平面α之间的距离为d=⑤|BA如图2所示,如果平面α与平面β平行,n是平面β的一个法向量（当然也是平面α的一个法向量）,A和B分别是平面α与平面β内的点,则平面α与平面β之间的距离为d=⑥|BA自主思考1.棱长为2的正方体ABCD-A1B1C答案：提示2.2.当直线与平面平行时,直线上任意两点到平面的距离相等吗?答案：提示相等.3.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线答案：提示都是1.4.相互平行的直线与平面之间、相互平行的平面与平面之间的距离有什么共同之处?答案：提示都是转化为点到平面的距离求解名师点睛1.四种距离的关系2.点到平面的距离的三种求法（1）定义法：这是常规方法,首先过点向平面作垂线,确定垂足的位置,然后将该线段放到一个直角三角形中,最后通过解三角形求得点到平面的距离.（2）等体积法：把点到平面的距离视为一个三棱锥的高,利用三棱锥转化底面求体积,从而求得点到平面的距离.（3）向量法：这是我们常用的方法,利用向量法求解点到平面的距离的优点是不必经过严密的逻辑推理,只需借助空间向量计算即可.互动探究·关键能力探究点一点到平面的距离精讲精练例（2021北京平谷第五中学高二月考）已知四面体ABCD中,AB,BC,BD两两垂直,BC=BD=2,AB与平面ACD所成角的正切值为12,则点BA.32B.233C.答案：D解析：以B为原点,BC,BD,BA所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,如图所示：设BA=t,t>0,则B(0,0,0),C(2D(0,2所以AB=(0,0,-t),设平面ACD的一个法向量为n=(x,y,z)则n令x=1,得y=1,z=2t,故因为直线AB与平面ACD所成角的正切值为12,所以直线AB与平面ACD所成角的正弦值为5即|AB⋅n所以平面ACD的一个法向量为n=(1,1,22),故B到平面解题感悟利用向量求点到平面的距离的一般步骤：（1）建立空间直角坐标系.（2）求出该平面的一个法向量.（3）找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量.（4）法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模,即为点到平面的距离.迁移应用1.已知平面α的一个法向量为n=(2,2,1),点A(-1,3,0)在平面α内,则点P(2,1,3)到平面αA.53B.43答案：A解析：由题意知PA=(-3,2,-3),则点P到平面α的距离d=2.（2021山东省实验中学高二期末）如图所示,在长方体ABCD-A1B1C（1）求证：MN//平面ADD（2）求C到平面A1答案：（1）证明：分别取DD1和AD的中点E,F,连接则EM∥DC且EM=12DC,FN∥DC所以EM∥FN,且EM=FN,所以四边形EMNF是平行四边形,所以EF∥MN,又EF⊂平面ADD1所以MN∥平面ADD（2）以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系则D(0,0,0),A(6,0,0),C(0,4,0),D因为M,N分别是DC所以M(0,2,1),N(3,2,0),所以A1设平面A1MN的一个法向量为n令z=3,则x=1,y=9所以n=(1,设C到平面A1MN的距离为d,则探究点二直线到平面的距离精讲精练例在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面为直角梯形,AB∥CD且答案：以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系则A1(1,0,2),A(1,0,0),E(0,3,1),C(0,3,0).过点C作AB的垂线交∴B(1,23设平面ABE的一个法向量为n=(x,y,z)则n⋅AB→=0,n∵AA1=(0,0,2),∴直线A1解题感悟（1）求直线到平面的距离可以转化为求直线上任意一点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可.（2）选择直线上任意一点时,一般选取相关线段的端点或已知的其他的点.迁移应用1.如图,已知长方体ABCD-A1B1C1DA.5B.13C.6013答案：C解析：∵B1C1∥BC,且B1从而点B1到平面A以D为坐标原点,DA,DC,DD1的方向分别为则C(0,12,0),D1(0,0,5),设B(x,12,0)(x＞0),则B1(x,12,5),则由n⊥BC,n⋅令c=12,则b=5,∴n=(0,5,12)为平面又B1B=(0,0,-5),∴点B1到平面探究点三平面到平面的距离精讲精练例已知正方体ABCD-A1B1C答案：以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系则D(0,0,0),AD1(0,0,1),则设平面A1BD的一个法向量为n＝(x,y,z),则令z=1,得y=1,x=-1,∴n∴点D1到平面A1BD∵平面A1BD与平面B1CD∴平面A1BD与平面B1解题感悟（1）求两个平行平面间的距离可以转化为求点到平面的距离,利用求点到平面的距离的方法求解即可;（2）求空间的各种距离的关键点是合理转化和准确计算.迁移应用1.（2020山东济南高二检测）如图,在棱长为2的正方体ACBD-A1C1B（1）证明：AB∥平面A1（2）若点M是AB的中点,求二面角M-A（3）判断点M到平面A1答案：（1）证明：∵在正方体ACBD-A1C1B1D1中,（2）∵在正方体ACBD-A1C1B1D则M(1,1,0),A1(0,2,2),B1(2,0,2),C(0,0,0),∴MA1=(-1,1,2)取x1=1,同理n2⋅CA1∴cos⟨n1,∴二面角M-A1B（3）由（1）知AB∥平面A1B1C且M在AB上,∴点M到平面A1B1C的距离等于AB上任意一点到平面A1B1C的距离,取点M为AB的中点,由（2）知,平面A1B1评价检测·素养提升1.已知正方体ABCD-A1B1CA.2B.2C.22D.答案：A2.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,A.12