2021-2022学年湖南省郴州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)

2021-2022学年湖南省郴州市普通高校对口单招高等数学一自考测试卷(含答案)学校:________班级:________姓名:________考号:________

一、单选题(20题)1.微分方程y＋y＝0的通解为（）．A.A.

B.

C.

D.

2.

A.1

B.2

C.x2+y2

D.TL

3.极限等于()．A.A.e1/2B.eC.e2D.1

4.（）。A.0

B.1

C.2

D.＋∞

5.

6.

7.

8.

9.A.A.x2+cosy

B.x2-cosy

C.x2+cosy+1

D.x2-cosy+1

10.

11.A.

B.

C.

D.

12.

13.设函数f(x)在(0，1)内可导，f'(x)＞0，则f(x)在(0，1)内A.A.单调减少B.单调增加C.为常量D.不为常量，也不单调14.设Y=x2-2x+a，贝0点x=1()。A.为y的极大值点B.为y的极小值点C.不为y的极值点D.是否为y的极值点与a有关

15.

16.

[]A.e-x+C

B.-e-x+C

C.ex+C

D.-ex+C

17.

18.设函数为()．A.A.0B.1C.2D.不存在

19.下列命题中正确的为

A.若x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

B.若f'(x)=0，则点x0必为f(x)的极值点

C.若f'(x0)≠0，则点x0必定不为f(x)的极值点

D.若f(x)在点x0处可导，且点x0为f(x)的极值点，则必有f'(x0)=0

20.若函数f(x)=5x，则f'(x)=

A.5x-1

B.x5x-1

C.5xln5

D.5x

二、填空题(20题)21.

22.23.设函数y=y(x)由方程x2y+y2x+2y=1确定，则y'=______．24.25.设z=ln(x2+y)，则全微分dz=__________。

26.

27.设y=f(x)在点x0处可导，且在点x0处取得极小值，则曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为________。

28.

29.极限=________。

30.

31.

32.

33.

34.设区域D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，则x2dxdy化为极坐标系下的二重积分的表达式为________。35.

36.过点M1(1，2，-1)且与平面x-2y+4z=0垂直的直线方程为__________。

37.

38.

39.40.∫x(x2-5)4dx=________。三、计算题(20题)41.研究级数的收敛性(即何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散，其中常数a>0．

42.

43.求曲线在点(1，3)处的切线方程．

44.

45.

46.求函数一的单调区间、极值及其曲线的凹凸区间和拐点．47.当x一0时f(x)与sin2x是等价无穷小量，则48.

49.已知某商品市场需求规律为Q=100e-0.25p，当p=10时，若价格上涨1％，需求量增(减)百分之几?

50.51.证明：52.53.将f(x)=e-2X展开为x的幂级数．54.求函数y=x-lnx的单调区间，并求该曲线在点(1，1)处的切线l的方程．55.求函数f(x)=x3-3x+1的单调区间和极值．56.57.设平面薄板所占Oxy平面上的区域D为1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求该薄板的质量m．58.设抛物线Y=1-x2与x轴的交点为A、B，在抛物线与x轴所围成的平面区域内，以线段AB为下底作内接等腰梯形ABCD(如图2—1所示)．设梯形上底CD长为2x，面积为

S(x)．

(1)写出S(x)的表达式；

(2)求S(x)的最大值．

59.求微分方程的通解．

60.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

四、解答题(10题)61.

62.

63.

64.

65.66.67.计算∫tanxdx．

68.

69.设z=x2y+2y2，求dz。70.五、高等数学(0题)71.设求六、解答题(0题)72.

参考答案

1.D本题考查的知识点为－阶微分方程的求解．

可以将方程认作可分离变量方程；也可以将方程认作－阶线性微分方程；还可以仿二阶线性常系数齐次微分方程，并作为特例求解．

解法1将方程认作可分离变量方程．

解法2将方程认作－阶线性微分方程．由通解公式可得

解法3认作二阶常系数线性齐次微分方程特例求解：

特征方程为r＋1＝0，

特征根为r＝－1，

2.A

3.C本题考查的知识点为重要极限公式．

由于，可知应选C．

4.B

5.D

6.D

7.C

8.C

9.A

10.A解析：

11.A

12.D

13.B由于f'(x)＞0，可知．f(x)在(0，1)内单调增加。因此选B。

14.B本题考查的知识点为一元函数的极值。求解的一般步骤为：先求出函数的一阶导数，令偏导数等于零，确定函数的驻点．再依极值的充分条件来判定所求驻点是否为极值点。由于y=x2-2x+a，可由y'=2x-2=0，解得y有唯一驻点x=1．又由于y"=2，可得知y"|x=1=2＞0。由极值的充分条件可知x=1为y的极小值点，故应选B。如果利用配方法，可得y=(x-1)2+a-1≥a-1，且y|x=1=a-1，由极值的定义可知x=1为y的极小值点，因此选B。

15.B解析：

16.B

17.B

18.D本题考查的知识点为极限与左极限、右极限的关系．

由于f(x)为分段函数，点x=1为f(x)的分段点，且在x=1的两侧，f(x)的表达式不相同，因此应考虑左极限与右极限．

19.D解析：由极值的必要条件知D正确。

y=｜x｜在x=0处取得极值，但不可导，知A与C不正确。

y=x3在x=0处导数为0，但x0=0不为它的极值点，可知B不正确。因此选D。

20.C本题考查了导数的基本公式的知识点。f'(x)=(5x)'=5xln5.

21.y=-x+1

22.

23.

；本题考查的知识点为隐函数的求导．

将x2y+y2x+2y=1两端关于x求导，(2xy+x2y')+(2yy'x+y2)+2y'=0，(x2+2xy+2)y'+(2xy+y2)=0，因此y'=24.0

25.

26.0

27.y=f(x0)y=f(x)在点x0处可导，且y=f(x)有极小值f(x0)，这意味着x0为f(x)的极小值点。由极值的必要条件可知，必有f"(x0)=0，因此曲线y=f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0)=0，即y=f(x0)为所求切线方程。

28.29.因为所求极限中的x的变化趋势是趋近于无穷，因此它不是重要极限的形式，由于=0，即当x→∞时，为无穷小量，而cosx-1为有界函数，利用无穷小量性质知

30.

31.e1/2e1/2

解析：

32.00解析：

33.(-33)(-3,3)解析：34.因为D：x2+y2≤a2(a＞0)，y≥0，所以令且0≤r≤a，0≤0≤π，则=∫0πdθ∫0acos2θ.rdr=∫0πdθ∫0ar3cos2θdr。

35.

36.

37.-4cos2x

38.33解析：39.2本题考查的知识点为二阶导数的运算．

f'(x)=(x2)'=2x，

f"(x)=(2x)'=2．

40.

41.

42.

43.曲线方程为，点(1，3)在曲线上．

因此所求曲线方程为或写为2x+y-5=0．

如果函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0)存在，则表明曲线y=f(x)在点

(x0，fx0))处存在切线，且切线的斜率为f′(x0)．切线方程为

44.45.由一阶线性微分方程通解公式有

46.

列表：

说明

47.由等价无穷小量的定义可知

48.

则

49.需求规律为Q=100ep-2.25p

∴当P=10时价格上涨1％需求量减少2．5％需求规律为Q=100ep-2.25p,

∴当P=10时,价格上涨1％需求量减少2．5％

50.

51.

52.

53.

54.

55.函数的定义域为

注意

56.

57.由二重积分物理意义知

58.

59.

60.解：原方程对应的齐次方程为y"-4y'+4y=0，

61