10.5图形的全等（备课件）2023学年七年级数学下册同步备课系列（华东师大版）

10.5图形的全等华东师大版第10章轴对称、平移与旋转1.知道全等图形，全等多边形，全等三角形的概念和性质.2、能找出全等多边形、全等三角形的对应元素，会利用图形的全等解决一些简单的问题.学习目标我们已经认识了图形的轴对称、平移和旋转，这是图形的三种基本变换，图形经过这样的变换，位置发生了改变，但变换前后两个图形的对应线段相等，对应角相等，图形的形状和大小并没有改变.合作探究新知一全等图形要想知道两个图形的形状和大小是否完全相同，可以通过轴对称、平移和旋转这些图形的变换，把两个图形叠合在一起，观察它们是否完全重合.能够完全重合的两个图形叫做全等图形(congruentfigures).归纳小结1.定义：能够完全重合的两个图形叫做全等图形．要点精析：(1)图形的全等与它们的位置无关，只要满足能够完

全重合即可；而完全重合包含两层含义：图形的

形状相同，大小相等；(2)全等形的周长、面积分别相等，但周长或面积相

等的两个图形不一定全等．2.几种常用全等变换的方式：轴对称、平移、旋转．合作探究下图中是全等图形的是__________________________________________.例1(1)和(9)、(2)和(3)、(4)和(8)、(11)和(12)导引：上述图形中，(5)和(7)形状相同，但大小不同，(6)和(10)形状不同，故都不是全等图形；(1)和(9)、(2)和(3)、(11)和(12)尽管方向不同，但大小、形状完全相同，所以它们是全等图形；(4)和(8)都是五角星，大小、形状都相同，是全等图形．(1)此题运用定义识别全等图形，确定两个图形全等

要符合两个条件：①形状相同，②大小相等；是

不是全等图形与位置无关．(2)判断两个图形是否全等还可以通过平移、旋转、

翻折等方法把两个图形叠合在一起，看它们能否

重合，即用叠合法判断．归纳小结如图中给出了8个图形，你能发现哪两个图形是全等图形吗？动手试试看.合作探究新知二全等三角形及其对应元素一个图形经过轴对称、平移和旋转等变换所得到的新图形一定与原图形全等；反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定能够互相重合.思考：观察图中的两对多边形，每对中的其中一个可以经过怎样的变换和另一个图形重合？上面的两对多边形都是全等图形，也称为全等多边形.两个全等的多边形，经过变换而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角.如图中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A′B′C′D′E′(这里，符号“≌”表示全等，读作“全等于”).点A与点A′、点B与点B′、点C与点C′、点D与点D′、点E与点E′分别是对应顶点.依据上面的分析，我们知道：全等多边形的对应边相等，对应角相等.这就是全等多边形的性质.实际上，边、角分别对应相等这两个特征足以刻画多边形的全等了.也就是说，在数学上我们可以给出全等多边形如下的定义：边、角分别对应相等的两个多边形称为全等多边形.1.全等三角形的定义：如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等．2.全等三角形对应元素：把两个全等的三角形重合

到一起，(1)对应顶点：重合的顶点；(2)对应边：

重合的边；(3)对应角：重合的角．3.全等三角形的表示法：如图，△ABC和△DEF全

等，记作△ABC≌△DEF，符号“≌”读作全等于.

其中“∽”表示形状相同，“＝”表示大小相等．记

两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母

写在对应的位置上，如点A和点D

，点B和点E

，

点C和点F

是对应顶点；AB和DE，BC和EF

，AC

和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E

，∠C和∠F是对应角．4.对应元素的确定方法：(1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点

确定对应边、对应角，如△CAB≌△FDE，则AB与DE、AC与DF、BC与EF是对应边，∠A和

∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角．(2)图形位置确定法：①公共边一定是对应边；②公

共角一定是对应角；③对顶角一定是对应角．(3)图形大小确定法：两个全等三角形的最大的边(角)

是对应边(角)，最小的边(角)是对应边(角)．5.对应边(或角)与对边(或角)的区别：对应边、对应

角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的

关系；而对边、对角是指一个三角形的边和角的

位置关系.对边是与角相对的边，对角是与边相对

的角．6.易错警示：记两个三角形全等时，通常把表示对

应顶点的字母写在对应的位置上，字母顺序不能

随意书写．如图，△ACB≌△BDA，AC和BD对应，BC和AD对应，写出其他的对应边及对应角．例2因为已经知道了两组对应边，所以剩下的一组边是对应边．根据对应边所对的角是对应角，容易发现AC的对角∠CBA和BD的对角∠DAB是对应角，BC的对角∠CAB和AD的对角∠DBA是对应角，剩下的一组角∠ACB和∠BDA是对应角．导引：解：其他的对应边是AB和BA；对应角是∠CBA和∠DAB，∠CAB和∠DBA，∠ACB和∠BDA.

根根据对应边(角)找对应角(边)的方法：对应边所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边．归纳小结三角形是特殊的多边形，因此，全等三角形的对应边、对应角分别相等.同样，我们也可以得到全等三角形的定义，从而也得到了判断两个三角形是否全等的准确方法：如果两个三角形的边、角分别对应相等，那么这两个三角形全等.合作探究新知三全等三角形的性质如图所示，△ABC≌△DEF，且∠A=∠D，∠B=∠E.你能指出它们之间其他的对应顶点、对应角和对应边吗？1.性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等．要点精析：(1)全等三角形的对应元素相等．其中，对应元素包

括：对应边、对应角、对应中线、对应高、对应

角平分线、周长、面积等．(2)在应用全等三角形的性质时，要先确定两个条件：

①两个三角形全等；②找对应元素．(3)全等三角形的性质是说明线段、角相等的常用

方法．如图，△ABC沿着BC的方向平移至△DEF，∠A=80°，∠B=60°，求∠F的度数.例3解：由图形平移的特征，可知与△ABC与△DEF的形状与大小相同，即△ABC≌△DEF.∴∠D=∠A=80°(全等三角形的对应角相等).同理∠DEF=∠B=60°.又∵∠D+∠DEF+∠F=180°(三角形的内角和等于180°)，∴∠F=180°-∠D-∠DEF

=180°-80°-60°=40°.(1)全等三角形的性质在几何计算中起着重要作用，

当所求线段不是全等三角形的对应边时，可利用

等式的性质进行转换，从而找到所求线段与已知

线段的关系．(2)本题运用转化思想，通过全等三角形的性质，可

把线段AB转化成线段DF，再利用等式的性质可把

求线段FB的长转化成求线段AD的长．归纳小结全等图形的定义1.下列四组图形中,全等的图形是(

)B2.如图,△BCE≌△ACD,指出所有的对应边与对应角.解:△BCE绕点C顺时针旋转一定角度,与△ACD重合.故对应边有BC与AC,BE与AD,CE与CD.对应角有∠BCE与∠ACD,∠BEC与∠ADC,∠EBC和∠DAC.全等三角形的判定和性质3.如图,△ABC≌△ADE,∠B=80°,∠C=30°,∠DAC=35°,则∠EAC的度数为(

)(A)40° (B)35° (C)30° (D)25°4.如图,△ABC≌△CDA,并且BC=DA,那么下列结论错误的是(

)(A)∠1=∠2 (B)AC=CA(C)AB=AD (D)∠B=∠DBC5.“七巧板”又称“智慧板”,是我国古代的一种拼板工具,板中有长方形、平行四边形和三角形.请你找出七巧板中(如图)全等的图形.解:△ADE与△CDE,△EHK与△JCF,△ADC与△ABC,是全等的图形;四边形AGKE与四边形CFKE,四边形AGKD与四边形CFKD是全等的图形.6.如图,△ABC≌△DEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=8.(1)求∠DFE的度数;(2)求EC的长.解:(1)因为△ABC≌△DEF,所以∠D=∠A=30°,∠E=∠B=50°,因为∠DFE+∠D+∠E=180°,所以∠DFE=180°-∠D-∠E=180°-30°-50°=100°.(2)因为△ABC≌△DEF,所以BC=EF,所以BC-CF=EF-CF,即BF=EC,因为BF=8,所以EC=8.1.下列叙述中错误的是(

)(A)能够重合的图形称为全等图形(B)全等图形的形状和大小都相同(C)所有正方形都是全等图形(D)形状和大小都相同的两个图形是全等图形C2.(易错题)如图,5个全等的正六边形A,B,C,D,E,请仔细观察A,B,C,D四个图案,其中与E图案完全相同的是(

)3.已知图中的两个三角形全等,则∠α的度数是(

)(A)72° (B)60° (C)58° (D)50°DD4.如图,直角△ABC沿直角边BC所在直线向右平移到直角△DEF,则下列结论中,错误的是(

)(A)BE=EC (B)BC=EF(C)AC=DF (D)△ABC≌△DEF5.如图,△ABC≌△AEF,AB=AE,∠B=∠E,则对于结论①AC=AF,②∠FAB=∠EAB,③EF=BC,④∠EAB=∠FAC,其中正确结论的个数是(

)(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个AC6.请观察图中的5组图案,其中是全等形的是

(填序号).7.如图①,已知△ABC的六个元素,则图②中甲、乙、丙三个三角形与图①中△ABC全等的图形是

.

(1)(4)(5)丙8.(2018眉山期末)如图,△AEB≌△DFC,AE⊥CB,DF⊥BC,AE=DF,∠C=28°,则∠A=

.62°9.如图,已知△EFG≌△NMH,∠F与∠M是对应角.(1)写出相等的线段与角;解:(1)因为△EFG≌△NMH,∠F与∠M是对应角,所以EF=NM,EG=NH,FG=MH,∠F=∠M,∠E=∠N,∠EGF=∠NHM,所以FH=GM,∠EGM=∠NHF.(2)若EF=2.1cm,FH=1.1cm,HM=3.3cm,求MN和HG的长度.解:(2)因为EF=NM,EF=2.1cm,所以MN=2.1cm;因为FG=MH,FH+HG=FG,FH=1.1cm,HM=3.3cm,所以HG=FG-FH=HM-FH=3.3-1.1=2.2(cm).10.如图,△ABC≌△DEF,小明观察图后得出AB∥DE,EF∥BC的结论,你能说明其中的道理吗?解:因为△ABC≌△DEF.所以∠A=∠D,∠EFD=∠BCA(全等三角形的对应角相等),所以AB∥DE(内错角相等,两直线平行),因为∠EFD=∠BCA,所以∠EFC=∠BCF,所以EF∥BC(内错角相等,两直线平行).11.(易错题)如图,∠C=∠CAM=90°,AC=8,BC=4,P,Q两点分别在线段AC和射线AM上运动,且PQ=AB.若△ABC与△PQA全等,则AP的长度为

.

8或412.(探究题)如图所示,A,D,E三点在同一直线上,且△BAD≌△ACE.(1)你能说明BD,DE,CE之间的数量关系吗?解:(1)BD=DE+CE.理由:因为△BAD≌△ACE,所以BD=AE,AD=CE,所以BD=AE=AD+DE=CE+DE,即BD=DE+CE.(2)请你猜想△ABD满足什么条件时,BD∥CE?解:(2)△ABD满足∠ADB=90°时,BD∥CE,理由:因为△BAD≌△ACE,所以∠E=∠ADB=90°(添加的条件是∠ADB=90°),所以∠BDE=180°-90°=90°=∠E,所以BD∥CE.1．如图，在△ABC中，D，E分别是边BC，AC上的点，若△EAB≌△EDB≌△EDC，则∠C的度数为()A．15°B．20°C．25°D．30°D课后练习2．已知△ABC≌△DEF，AB＝2，AC＝4.若△DEF的周长为偶数，则EF的取值为____．43．如图所示，若△ABD≌△ACE，∠B与∠C是对应角，若AE＝5cm，BE＝7cm，∠ADB＝100°，则∠AEC＝_________，AC＝____cm.100°124．(教材P136习题T1变式)如图所示的是两个全等的五边形，β＝115°，d＝5，指出它们的对应顶点，对应边与对应角，并说出图中标的a，b，c，e，α各字母所表示的值．解：对应顶点：A和G，E和F，D和J，C和I，B和H；对应边：AB和GH，AE和GF，ED和FJ，DC和JI，BC和HI；对应角：∠A和∠G，∠B和∠H，∠C和∠I，∠D和∠J，∠E和∠F.∵两个五边形全等，∴a＝12，b＝10，c＝8，e＝11，α＝90°5．如图，△ACF≌△ADE，AD＝12，AE＝5，求DF的长．解：∵△ACF≌△ADE，AD＝12