5.3.2函数的极值（第1课时）（教学课件） 高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

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章一元函数的导数及其应用人教A版2019选修第一册5.3.2函数的极值（第1课时）学习目标1．了解函数极值的概念，会从函数图象直观认识函数极值与导数的关系.2．初步掌握求函数极值的方法．

3．体会渗透在数学中的整体与局部的辩证关系．问题引入：

在用导数研究函数的单调性时，我们发现利用导数的正负可以判断函数的增减.如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？探究1：观察下图，我们发现当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度最大，那么函数h(t)在此点处的导数是多少？

此点附近的函数图象有什么特点？相应地，导数的正负有什么变化规律?对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？探究2：如图示，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?y=f(x)在这些点的导数值是多少?在这些点附近，y=f(x)的导数的正负性有什么规律?以x=a,b两点为例,可以发现,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0.类似地,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0.我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值;b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值.

极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.xyOabcde例5解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)xyO-22思考导数值为0的点一定是函数的极值点吗？提示：导数值为0的点不一定是函数的极值点

一般地，函数

y=f(x)在一点的导数值为0是函数

y=f(x)在这点取极值的必要条件，而非充分条件.

(3)极大值与极小值没有必然关系，极大值可能比极小值还小.注意：(1)极值是某一点附近的小区间而言的，是函数的局部性质，不是整体的最值；(2)函数的极值不一定唯一，在整个定义区间内可能有多个极大值和极小值；即f′(x0)=0是函数f(x)在x0处取得极值的必要条件.(4)对于可导函数，若x0是极值点，则f

'(x0)=0;

反之，若f

'(x0)=0，则x0不一定是极值点.Oa

x0bxy

xx0左侧

x0x0右侧f′(x)

f(x)

Oax0bxy

xx0左侧

x0x0右侧f′(x)

f(x)增f′(x)>0f′(x)=0f′(x)<0极大值减f′(x)<0f′(x)=0增减极小值f′(x)>0判断f

(x0)是极大值或是极小值的方法：左正右负为极大，左负右正为极小左增右减为极大，左减右增为极小求可导函数f(x)极值的步骤：(2)

求导数f

′(x)；(3)

求方程f

′(x)=0的根；(4)

把定义域划分为部分区间，并列成表格：检查f

′(x)在方程根左右的符号：如果左正右负（左增右减），那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正（左减右增），那么f(x)在这个根处取得极小值；(1)确定函数的定义域；课堂练习1.下图是导函数y=f′(x)的图象，试找出函数y=f(x)的极值点，并指出哪些是极大值点，哪些是极小值点.abxyx1Ox2x3x4x5x6解：xf′(x)f(x)解：x(－∞,－3)－3(－3,3)3(3,＋∞)f′(x)f(x)解：x(－∞,－2)－2(－2,2)2(2,＋∞)f′(x)f(x)解：x(－∞,－1)－1(－1,1)1(1,＋∞)f′(x)f(x)随堂检测函数的极值与导数的关系(1)函数的极小值与极小值点若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值．(2)函数的极大值与极大值点若函数f(x)在点x＝b处的函