高考数学第3章三角函数解三角形解答题专项突破(二)三角函数与解三角形创新教学案

解答题专项打破(二)三角函数与解三角形从近几年高考状况来看，高考对本部分内容的考察主要有：①三角恒等变换与三角函数的图象、性质相联合；②三角恒等变换与解三角形相联合．难度一般不大，属中档题型．备考时要娴熟掌握三角函数的图象与性质、三角恒等变换公式及正、余弦定理，在此基础上掌握一些三角恒等变换的技巧，如角的变换、函数名称的变换等．别的，还要注意题目中隐含的各样限制条件，选择合理的解决方法，灵巧实现问题的转变．热门题型1三角函数的图象与性质f(x)＝sinωxcosωx－23典例1(2019·潍坊联考)设函数3cosωx＋2(ω>0)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4.求ω的值；(2)若函数＝(x＋π()＝cos(2x－)在[0,2π]上φ)0<φ<是奇函数，求函数φyf2gx的单一递减区间．解题思路(1)利用三角恒等变换将函数化为f(x)＝sin(＋)＋b的形式，再根Aωxφ据图象上相邻最高点与最低点的距离求出函数周期，进而确立ω.由(1)写出函数y＝f(x＋φ)的分析式．由奇函数确立φ，进而确立函数g(x)的分析式，进一步确立函数g(x)的单一区间．(1)f(x)＝sinωxcosωx－23规范解答3cosωx＋21ωx－31＋cos2ωx3＝sin22＋221ωx－3＝sin2cos2ωx22π＝sin2ωx－3.设T为f(x)的最小正周期，由f(x)的图象上相邻最高点与最低点的距离为π2＋4，T222得2＋[2f(x)max]＝π＋4.T22∵f(x)max＝1，∴2＋4＝π＋4，整理得T＝2π.2π1又ω>0，T＝2ω＝2π，∴ω＝2.(2)由(1)可知f(x)＝sinx－π，3∴f(x＋φ)＝sinx＋φ－π.3∵y＝f(x＋φ)是奇函数，πsinφ－3＝0.π又0<φ<2，ππφ＝3，∴g(x)＝cos(2x－φ)＝cos2x－3.π令2kπ≤2x－3≤2kπ＋π，k∈Z，π2π则kπ＋6≤x≤kπ＋3，k∈Z，∴函数()的单一递减区间是kπ＋π，kπ＋2π，∈Z.gx63k又x∈[0,2π]，∴当k＝0时，g(x)的单一递减区间为π2π；，36当k＝17π5π时，g(x)的单一递减区间为，.63∴函数()在[0,2π]上的单一递减区间是π2π，7π5π，，.gx6363(2019·湘中名校联考)已知函数f(x)＝sinπ>0)．－sinωx＋(ω典例2ωx3(1)若f(x)在[0，π]上的值域为3－2，1，求ω的取值范围；ππ(2)若f(x)在0，3上单一，且f(0)＋f3＝0，求ω的值．解题思路(1)化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式→由x∈[0，π]推出ωx＋φ的取值范围→利用正弦函数图象确立，为使值域为－3，1，ω要知足的不等式，求出ω2的取值范围．(2)①f(x)在π0，3上单一→周期知足的不等式，确立ω的取值范围．ππ②f(0)＋f3＝0→6，0是f(x)图象的对称中心→求ω的可能取值．③综合①②确立ω的值．规范解答f(x)＝sinωx－sinωx＋π313＝sinωx－2sinωx－2cosωx13＝2sinωx－2cosωxπ＝sinωx－3.πππ由x∈[0，π]?ωx－3∈－3，ωπ－3，又f(x)在[0，π]上的值域为－3，1，231，即最小值为－2，最大值为ππ4π则由正弦函数的图象可知2≤ωπ－3≤3，55解得6≤ω≤3.5因此ω的取值范围是6，3.π由于f(x)在0，3上单一，Tπ

ππ因此2≥

3－0，则ω≥

3，即ω≤3，又

ω>0，因此

0<ω≤3，π

π由f(0)

＋f

3

0

f(x)在

0

3π得6，0是f(x)图象的对称中心，因此ωπ－π＝kπ，k∈Z?ω＝6k＋2，k∈Z，63又0<ω≤3，因此ω＝2.热门题型2解三角形(2019·湖北省“四地七校”联考)如图，A，B，C，D四点共典例13圆，∠A为钝角且sinA＝，BA＝BC＝10，BD＝65.5求边AD的长；设∠BDC＝α，∠CBD＝β，求sin(2α＋β)的值．解题思路(1)已知两边一角，利用余弦定理可求第三边．(2)连结AC，依据圆周角定理的推论可获得2α＋β与∠ABD互补，再利用正弦定理求∠ABD的正弦即可．3规范解答(1)∵sinA＝5，且∠A为钝角，4cosA＝－1－5＝－5.3在△ABD中，由余弦定理得，222AD＋AB－2AD·AB·cosA＝BD，2∴AD＋16AD－80＝0，解得AD＝4或AD＝－20(舍去)，故AD＝4.如图，连结AC，则∠BDC＝∠BAC＝∠ADB＝∠ACB＝α，∠CBD＝∠CAD＝β，则2π＝∠BCD＋∠CDA＋∠BAD＋∠CBA，即2π＝4α＋2β＋2∠ABD，故2α＋β＋∠ABD＝π，则2α＋β与∠ABD互补，于是sin(2BDα＋β)＝sin∠ABD，在△ABD中，由正弦定理sinA＝AD?sin∠＝25，因此sin(2α＋β)＝25.sin∠ABDABD2525已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosBcosC23sinA典例2b＋c＝3sinC.求b的值；若cosB＋3sinB＝2，求a＋c的取值范围．解题思路

(1)用正、余弦定理化角为边→求

b.用cosB＋3sinB＝2和sin2B＋cos2B＝1，求B→A与C的关系和A的取值范围→用正弦定理把a＋c化为角，建立对于A的三角函数→求此函数的值域，得a＋c的取值范围．规范解答(1)在△ABC中，cosBcosC23sinAb＋c＝3sinC，a2＋c2－b2b2＋a2－c223∴＋＝a，2abc2abc3c2a223a32abc＝3c，解得b＝2.(2)∵cosB＋3sinB＝2，∴cosB＝2－3sinB，∴sin2B＋cos2B＝sin2B＋(2－3sinB)24sin2B－43sinB＋4＝1，23∴4sinB－43sinB＋3＝0，解得sinB＝2，1进而求得cosB＝2，π∴B＝3.3abc2由正弦定理得sinA＝sinB＝sinC＝π＝1，sin3∴a＝sinA，c＝sinC.由＋＋＝π得＋＝2π，ABCAC3∴＝2π2π3－，且0<<.CAA3∴a＋c＝sinA＋