2022-2023学年天津市和平区高二年级上册学期期末数学试题【含答案】

2022-2023学年天津市和平区高二上学期期末数学试题一、单选题1．直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由斜率为倾斜角的正切值及倾斜角的范围求得倾斜角.【详解】设倾斜角为，直线的斜率为.，，故选：A.2．已知等比数列中，，则（

）A．8 B． C．16 D．【答案】B【分析】利用等比中项的性质即可求解.【详解】因为等比数列中，，由等比中项的性质可得：，所以，故选：.3．三个顶点的坐标分别是，，，则外接圆的方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用圆的一般方程列出方程组求解即可.【详解】设所求圆方程为,因为，，三点都在圆上，所以，解得，即所求圆方程为：.故选：C.4．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中描述过如图所示的“三角垛”，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球……设各层的球数构成一个数列，即，，，…，且满足，则第六层球的个数为（

）A．28 B．21 C．15 D．10【答案】B【分析】利用递推公式进行累加法求解.【详解】由题意得，，，，，以上式子累加可得，因为，所以，故选:B.5．已知直线与圆交于，两点，则线段的长度为（

）A． B．2 C． D．【答案】C【分析】先求出圆心到直线的距离，然后根据弦的一半，圆心到直线的距离，半径构成直角三角形，用勾股定理解决.【详解】的圆心为，半径圆心到直线的距离为，则.故选：C6．已知等差数列的前项和为，若，，则（

）A．40 B．70 C．90 D．100【答案】D【分析】利用等差数列的前项和分别求出首项和公差，代入公式即可求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为，，所以，解得：，所以，故选：.7．已知正方体的棱长为1，则点到平面的距离为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据正四面体顶点到底面之间的距离即可.【详解】如图所示三棱锥为边长为的正四面体所以，，故点到平面的距离为故选：C8．已知双曲线C：的焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，则双曲线C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据相似三角形，直接得到，计算渐近线的斜率.【详解】如图，可知焦点F到渐近线的距离与顶点A到渐近线的距离之比为3：1，即，，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A.9．已知是抛物线上的一点，过点作直线的垂线，垂足为，若是圆：上任意一点，则的最小值是（

）A． B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】画出抛物线的焦点和准线，利用抛物线的几何性质将转化为C，P，F之间的距离之和，根据三点共线求得最小值.【详解】抛物线的焦点是，准线方程是，PH与准线的交点是，圆C的半径为，圆心为，依题意作下图：由图可知：，，当C，P，F三点共线时最小，的最小值是6；故选：D.二、填空题10．抛物线：的焦点坐标为______.【答案】【分析】根据抛物线的相关知识即可求得焦点坐标.【详解】由已知，所以故，所以焦点坐标为：故答案为：11．已知，若直线：与直线：相互垂直，则______.【答案】##【分析】根据直线垂直的充要条件列出方程，解之即可求解.【详解】因为直线：与直线：相互垂直，所以，解得：，故答案为.12．在等差数列中，若，则______.【答案】【分析】根据等差数列的性质由可得：，再利用等差数列的通项公式可得，进而求解.【详解】设等差数列的首项为，公差为，因为，由等差数列的性质可得：，又，所以，故答案为：.13．若正三棱柱的所有棱长都相等，是的中点，则直线与平面所成角的余弦值为______.【答案】##0.6【分析】利用空间向量的坐标运算求解线面角即可.【详解】如图，取中点，连接,则有,所以以为轴正方向建系如图，设,则,设平面的法向量为，则有，令则，所以，设直线与平面所成角为，则，因为，所以故答案为:.14．设双曲线（，）的左焦点为，过作直线与圆相切于点，与双曲线的一条渐近线交于点，若为线段的中点，则双曲线的离心率为______.【答案】2【分析】设双曲线的右焦点为，由题可得，结合条件可得，进而即得.【详解】由题可得如图双曲线，设双曲线的右焦点为，因为为线段的中点，O为中点，所以，又，则，由，则，，所以，又，所以，在中，，所以，即.故答案为：2.三、解答题15．已知等差数列的前项和为，公差为整数，，且，，成等比数列.(1)求的通项公式；(2)求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)利用等比数列和等差数列的定义求解即可；(2)利用裂项相消求和.【详解】（1）因为，所以，又因为，，成等比数列，所以，即，所以，联立解得，所以.（2）由（1）可得，所以.16．如图，在四棱雉中，平面，，且，，，，，为的中点.(1)求证：∥平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.【答案】(1)证明见详解(2)余弦值为【分析】（1）根据线面平行的判定即可证明相面平行.（2）利用向量法即可求得二面角的余弦值.【详解】（1）如图所示取中点为，连接，.所以∥且又因为∥且所以∥，，所以四边形为平行四边形.所以∥，又因为平面，平面所以∥平面.（2）如图所示取中点为，以为空间直角坐标系原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，所以，，，，设平面的法向量为，因为，则所以令，得设平面的法向量为，因为，则所以令，得所以又因为平面与平面夹角为钝角所以平面与平面夹角的余弦值为17．已知椭圆的右顶点为A，下顶点为，上顶点为，椭圆的离心率为，且.(1)求椭圆的标准方程；(2)设过点的直线与椭圆相交于点（不在坐标轴上），当时，求的面积.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据离心率，等列出方程组，利用待定系数法求出椭圆方程；（2）得到点为以为圆心，为半径的圆与椭圆的交点（不在坐标轴上），从而联立圆与椭圆方程，求出点坐标，从而利用求出答案.【详解】（1）由题意得：，故，又，，解得：，故椭圆的标准方程为；（2）因为，所以点为以为圆心，为半径的圆与椭圆的交点（不在坐标轴上），其中以为圆心，为半径的圆的方程为，联立与，得：，解得：或，其中时，点位于y轴上，不合题意，舍去；当时，，解得：，故.18．数列的前项和为，且，数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）求证：数列是等比数列；（3）设数列满足，其前项和为，证明：.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【解析】（1）当时，.检验，当时符合，即可得解；（2）当时，根据，即可得证；（3）利用错位相减法可得：，即可得证.【