哈尔滨某大学结构力学I一八

1.弹性杆件的变形与变形能计算2.变形体虚功原理3.单位荷载法4.图乘法5.其他外因引起的位移计算6.互等定理7.结论与讨论第三章静定结构的位移计算DisplacementofStaticallyDeterminateStructures1结构位移计算概述

一、结构的位移(DisplacementofStructures)AFP线位移，角位移，相对线位移、角位移等统称广义位移线位移角位移相对线位移CDFP相对角位移制造误差等铁路工程技术规范规定:

二、计算位移的目的引起结构位移的原因(1)刚度要求如：荷载、温度改变

T、支座移动c、在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。（3）理想联结(IdealConstraint)。三、本章位移计算的假定

(2)超静定、动力和稳定计算(3）施工要求叠加原理适用（principleofsuperposition)(1)线弹性(LinearElastic),(2)小变形(SmallDeformation),返首2变形体虚功原理

(PrincipleofVirtualWork)一、功(Work)、实功(RealWork)和虚功(VirtualWork)两种状态力状态位移状态FPFP/2FP/2（虚）力状态（虚力状态）（虚位移状态）无关（虚）位移状态q注意：（3）位移状态与力状态完全无关；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（1）属同一体系；一些基本概念：实功：广义力在自身所产生的位移上所作的功功：力×力方向位移之总和广义力：功的表达式中，与广义位移对应的项功：广义力×广义位移之总和虚功：广义力与广义位移无关时所作的功W=FP×Δ/2W=FP1×Δ11/2orW=FP2×Δ22/2W=FP1×Δ12orW=FP2×Δ21变力功（1）质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：二、变形杆件的虚功原理Σfiδri=0→→.对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。也即（2）刚体系的虚功原理

去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：

对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力(主动力)所做虚功之和为零。FPΔPΔB-FPΔP+FB

ΔB=0原理的表述：任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移时所作的总虚功δWe，恒等于变形体所接受的总虚变形功δWi。也即恒有如下虚功方程成立δWe=δWi（3）变形体的虚功原理变形体虚虚功原理理的证明明外力总总虚功功=各部分分外力力总虚虚功的的总和和变形体体虚功功原理理的证证明虚位移移是光光滑、、连续续的，，相邻邻分割割面虚虚位移相相同。。计算各各部分分外力力总虚虚功有有两种种方案案方案一一：外外力区区分，，虚位位移不不区分分各部分分外力力总虚虚功总总和=外荷载载总虚虚功δW=δWe分割面面内力力虚功功相互互抵消消各部分分上的的外力力区分分为：：外荷荷载和和分割割面内力力两类类，相相邻分分割面面内力力互为为作用用与反作用用关系系。虚虚位移移区分分虚位位移区区分变形体体虚功功原理理的证证明变形体体是平平衡的的，其其各部部分也也必然然平衡衡。因此，，各部部分上上的外外力是是平衡衡力系系。方案二二：各各部分分外力力不区区分，，虚位位移区区分δW=δWi根据刚刚体虚虚位移移原理理，外外力在在刚体体虚位位移上的总总虚功功等于于零。。因此此各部分分外力力总虚虚功=外力在在变形形虚位位移上上的总总虚功功两方案案计算算同一一内容容，因因此δWe=δWi各部分分的虚虚位移移区分分为：：刚体体虚位位移和和变形虚位位移两两类。。但必须注注意，虚位位移是是光滑滑连续的的，可可刚体体和变变形虚虚位移移在分分割面面处一一般是不不光滑滑、连连续的的。需要强强调的的几个个问题题原理的的证明明表明明，原原理适适用于于任何力力学行行为(线性和和非线线性)的变形形体，适用用于任何结结构。虚功原原理里里存在在两个个状态态：力状态态必须须满足足平衡衡条件件；位位移状状态必必须满满足协协调条条件。。因此此原理理仅是是必要性性命题题。由于外外力在在变形形虚位位移上上所作作的功功相对对分割割面内内力的的虚变变形功功为高高阶小小量，，因此此许多多文献献上称δWi为内力力总虚虚功。原理可可有两两种应应用：：实际待待分析析的平平衡力力状态态，虚虚设的的协调调位移移状态态，将将平衡问问题化化为几几何问问题来来求解解。需要强强调的的几个个问题题实际待待分析析的协协调位位移状状态，，虚设设的平平衡力力状态态，将将位移分分析化化为平平衡问问题来来求解解。第一种种应用用一些些文献献称为为“虚位位移原原理””，而将将第二二种应应用称称为“虚力力原理理”。更确切切的说说法为为，两种应应用的的依据据是上上述两两原理理的必必要性性命题题。上述述两原原理都都是充充分、、必要要性命命题，，它们和和虚功功原理理是有有区别别的。质点系是一个离散化体系，变形体是一个连续体。我们认为，所谓将质点系虚位移原理()“应用于变形体”是不妥当的。Σfiδri=0→→.当变形形体为为杆件件体系系时，，如：：ABCDq(s)ijp(s)m(s)取任一单元δWe的计算算:当无结结点荷荷载时时,δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθθ]ds当有结结点荷荷载时时δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i结点荷载结点位移δWi的计算算:微段拉伸微段剪切微段弯曲δWi=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθθ]ds取微段段,其受力力如下下对于直直杆体体系，，由于于变形形互不不耦连连，所所以变形可可看成成有如如下几几部分分微段受力微段扭转杆系结结构虚虚功方方程根据上上述推推证，，可得得杆系系结构构虚功功方程程如下下δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθθ]ds=δWi以上结结论与与材料料物理理性质质及具具体结结构无无关，，因此此，虚虚功原原理虚虚功方方程既既适用用于一一切线线性结结构，，也适适用于于一切切非线线性结结构。希望能能很好好理解解，尽尽可能能达到到掌握握！三、虚虚功原原理的的两种种应用用1）虚功功原理理用于于虚设的的协调位位移状状态与实际的的平衡力力状态态之间。。例.求A端的支支座反反力(ReactionatSupport)。FPABaC(a)b解：去去掉A端约束束并代代以反反力X，构造相相应的的虚位位移状状态如如图(b)、(c)待分析平衡的力状态X(b)FP由外力力虚功功总和和为零零，即即：(c)直线虚设协调的位移状态通常取取单位位移法(Unit-DisplacementMethod)(1)对静定定结构构，这这里实实际用用的是是刚体体虚位位移原原理，，实质质上是是实际受受力状状态的的平衡衡方程程，即几点说说明：：(3)求解时时关键键一步步是找找出虚虚位移移状态态的位位移关关系。。(2)虚位移移与实实际力力状态态无关关,故可设设特点:用几何何法来来解静静力平平衡问问题。例.求A端支座座发生生竖向向位移移c时引起起C点的竖竖向位位移.(a)ABaCbc2）虚功功原理理用于于虚设的的平衡力力状态态与实际的的协调位位移状状态之间。。解：首首先构构造出出相应应的虚虚设力力状态态。即即，在在拟求求位移移之点点（C点）沿沿拟求求位移移方向向（竖竖向））设置置单位荷荷载。1ABC(b)由求得：虚功方方程为为：这便是是单位荷荷载法法(Dummy-UnitLoadMethod)它是Maxwell,1864和Mohr,1874提出，，故也也称为为Maxwell-MohrMethod几点说说明：：(1)所建立的虚功方程,实质上是几何方程。(3)求解时关键一一步是找出虚虚力状态的静静力平衡关系系。(2)虚设的力状态态与实际位移移状态无关，，故可设单位位广义力P=1总的来讲，必必须非常清楚楚的是：单位位移法的虚功方程平衡方程特点:是用静力平衡衡法来解几何何问题。单位荷载法的虚功方程几何方程返回首页3单位荷载法一、位移计算算的一般公式式(GeneralFormulaofDisplacements)将虚功原理用用于实际协调位移移和虚设平衡力状状态间已介绍过——单位荷载法。。下面从虚功方方程入手，讨讨论杆系结构构位移计算的的一般公式。。杆系结构虚虚功方程为δWe=Σ∫[pδu+qδv+mδθ]ds+Σ[FPxδu+FPyδv+Mδθ]i=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi设待求的实际际广义位移为Δ设仅在广义力力P作用下，与之之平衡的轴力力、剪力、扭扭矩和弯矩分分别为FN、FQ、Mx和M。实际位移状态FPABC虚设的力状态PABCFN、FQ、Mx和M，与Δ对应的广义力为P。又设与内力FN、FQ、Mx和M对应的微段实实际变形分别别为δε、δγ、δφ和δθ。若结构有已知知支座位移为为ci实际位移状态FPABC虚设的力状态PABCFN、

FQ、Mx和Mδε、δγ、δφ和δθFRc，与其对应的由由广义力P引起的支座反反力为FRi则杆系结构虚虚功方程为δWe=ΣFRici+PΔ=Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds=δWi虚功方程等式两边同除广义力P，并记单位广义力(P/P=1)作用下，与之平衡的轴力、剪力、扭矩和弯矩分别为FN、

FQ、Mx和M。单位广义力引起的，与已知位移对应的反力为FRi。则杆系结构虚虚功方程改写写为Δ=-ΣFRici+Σ∫[FNδε+FQδγ+Mxδφ+Mδθ]ds位移计算的一一般公式一般公式的普普遍性表现在在：2.结构类型：梁梁、刚架、桁桁架、拱、组组合结构；静定和超超静定结构；；1.位移原因：荷荷载、温度改改变、支座移移动等；3.材料性质：线线性、非线性性；4.变形类型：弯弯曲变形、拉拉(压)变形、剪切变形；5.位移种类：线线位移、角位位移；相对线线位移和相对角位移移。BA(b)试确定指定广广义位移对应应的单位广义义力。A(a)P=1P=1P=1ABCd(c)ABC(d)试确定指定广广义位移对应应的单位广义义力。AB(e)P=1P=1C(f)左右=？P=1P=1试确定指定广广义位移对应应的单位广义义力。P=1(g)A(h)ABP=1P=1试确定指定广广义位移对应应的单位广义义力。二、荷载作作用下位移计计算的一般公公式在仅荷载作用用时的位移计计算一般公式式对于由线弹性直杆组成的结构，，有：扭转项式中：E弹性模量；G

剪切模量；A

横截面积；I

截面惯性矩；k

截面形状系数。如：对矩形截面k=6/5;圆形截面k=10/9。IP

截面极惯性矩；轴向剪切弯曲扭转例1：求刚架A点的竖向位移。解：构造虚设设状态（实际状态）分别列出实际际状态和虚拟拟状态中各杆杆的内力方程程（或画出内内力图），如如：（虚拟状态）qxxqlqlx荷载内力图xxlx11单位内力图内力的正负号号规定如下：：轴力以拉力为正；剪力使微段顺时针转动者为正；弯矩只规定乘积的正负号。使杆件同侧纤维受拉时，其乘积取为正。将内力方程代代入公式讨论：轴向剪切弯曲，有：引入符号问题：的取值范围是什么？设杆件截面为bh的矩形截面杆杆，有：因此,对受弯细长杆杆件,通常略去FN,FQ的影响。取：，，有：即：三、几点讨论论（只有荷载载作用）：一般来说，剪剪切变形影响响很小，通常常忽略不计。。1.对梁和刚架：：2.对桁架：3.对组合结构：：例2：求曲梁B点的竖向位移和水平位移。(EI、EA、GA已知)ROBAFP解：构造虚设设的力状态如如图示FP=1RθFP

=1RθFPRθ同理有：将内力方程代代入位移计算算公式,可得三铰拱的分析析同此类似，但但一般要考虑轴力对对位移的贡献献，也即例3：求对称桁架D点的竖向位移。图中右半部各括号内数值为杆件的截面积A，设E=210GPa。FN解：构造虚虚拟状态并求求出实际和虚虚拟状态中各各杆的内力代入公式得：：返章菜单FN已有基础：1.静定结构的内内力计算；2.利用位移计算算公式求静定定结构的位移移；3.杆件结构在荷荷载作用下的的位移计算公公式,即:4.图乘法及其应应用(GraphicMultiplicationMethodanditsApplications)这部分主要内内容：2.几种常见图形形的面积和形形心位置的确确定方法；3.注意事项；4.应用举例。1.图乘法；C一、图乘法必须注意适用条件图乘法是Vereshagin于1925年提出的，他他当时为莫斯斯科铁路运输输学院的学生生。二、几种常见见图形的面积积和形心位置置的确定方法法顶点指曲线切线与与杆轴重合或或平行Ch三、注意事项项：1.图乘法的应用用条件：（1）等截面直杆杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个个是直线；（3）应取自直线图中。2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。3.如图形较复杂杂，可分解为为简单图形.(1)曲-折组合例如(2)梯-梯同侧组合(3)梯-梯异侧组合ABCDabcd图图bc取负值(4)阶梯形截面杆杆I1I2I3四、应用举例例例1.设EI为常数，求和。解：作荷载内内力图和单位位荷载内力图图BAq图CABFP=1图对吗？应分段！CAB图1（

）BAq图例2.已知EI为常数，求刚架C、D两点距离的改变。解：作荷载内内力图和单位位荷载内力图图2p117例3.已知EI为常数，求刚架A点的竖向位移，并绘出刚架的变形曲线。FP解：作荷载内内力图和单位位荷载内力图图在图求面积，在图取竖标，有：图EI2EI图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4绘制变形图时时，应根据弯弯矩图判断杆杆件的凹凸方方向，注意反反弯点的利用用。如：图FPl/2FPl/2FPl/2FPl/4FPFPl/4FP例4.已知：E、I、A为常数，求。ABCFPaD解：作荷载内内力图和单位位荷载内力图图请对计算结果果进行适当讨论论！ABCFPaDABC1aD讨论:如果B支座处为刚度度k的弹簧，该如如何计算？ABCkFP=1ABCFPk显然，按弹簧刚度定义，荷载下弹簧变形为。因此，弹簧对位移的贡献为。由此可得有弹簧支座的一般情况位移公式为例5.已知EI为常数，求。ABCq解：作荷载内内力图和单位位荷载内力图图ABC图A1图一种算法：ABC结果正确否？？?解法一、AqAABC图qABC解法二、A1图A解法三ABC图A1图例6.已知CD、BD杆的和AC杆的为常数，求。FPABCDaaa+11aFP+FPFPa解：作荷载和和单位荷载的的内力图例7.已知EI为常数，求。解：作荷载和和单位荷载的的内力图温度MPM分解返回5.静定结构温度度变化时的位位移计算(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbyTemperatureChanges)本节目的：给出的具体计算方法。一般公式荷载位移公式温度位移公式图示结构，设外侧温度升高，内侧温度升高，求K点的竖向位移。设温度沿杆件截面厚度为线性分布，杆轴温度与上、下边缘的温差为：另外，温度变变化时，杆件件不引起剪应应变，微段轴轴向伸长和截截面转角为：：线膨胀系数FP=1FNFN

图面积对等截面直杆

图面积将温度引起的的变形代入公公式，可得上式中的正、、负号：若温度以升高高为正，则轴轴力以拉为正正；若和使杆件的同一边产生拉伸变形，其乘积为正。对梁和刚架：：对桁桁架：：几种情况：温度引起的轴轴向变形影响不能能少。问题：当桁架有制造误差时,如何求位移？例：刚架施工时温度为20，试求冬季外侧温度为-10，内侧温度为0时A点的竖向位移。已知l=4m,,各杆均为矩形截面杆，高度h=0.4m实际状态解：构造虚拟拟状态虚拟状态单位荷载内力力图为：图图6.静定结构支座座移动时的位位移计算(AnalysisofDisplacementsinaStaticallyDeterminateStructuresInducedbySupportMovement)K实际位移状态态虚拟力状态1K静定结构由于于支座移动并并不产生内力力，材料（杆杆件）也不产产生变形，只只发生刚体位位移。（该位位移也可由几几何关系求得得）。有例1：求CBAFP=1虚拟力状态解：构造虚设设力状态实际位移状态CBAll解：构造虚设设力状态()FAyFAx例2：已知l=12m,h=8m,,求例3：求实际位移状态CBAllFP=1解：构造虚设设力状态CBA虚拟力状态FP=1同时考虑荷载载、温度和制制作位移的影影响等于0温度支座问题：试给出多因素素下的位移计计算一般公式式返章菜单7.线弹性结构的的互等定理（ReciprocalTheoryinLinearStructures)一、线性杆系系结构的变形形能根据能量守恒恒，对线弹性性、小变形结结构，外力所所做的功恒等等于储存于体体内的应变能能。由第一节所复复习的材料力力学知识可知知或者Vε的性质：(1)总为正;(3)内力或位移的的二次式;(4)叠加原理不适适用;(2)与路径无关,是状态的函数数。二、线弹性结