第九讲弹性力学基础演示文稿

第九讲弹性力学基础演示文稿当前1页，总共81页。优选第九讲弹性力学基础当前2页，总共81页。当前3页，总共81页。当前4页，总共81页。当前5页，总共81页。当前6页，总共81页。当前7页，总共81页。两组荷载共同作用时产生的应力场、应变场和位移场，等于各自单独作用时引起的相应场之和。叠加原理是由基本方程与边界条件的线性性质所决定，适用于线弹性和小变形情况。对大变形，弹性稳定问题和弹塑性力学问题不适用。叠加原理当前8页，总共81页。当前9页，总共81页。叠加原理的例子1：非均匀应力边界条件的求解当前10页，总共81页。地震断层同震位错反演Shenetal.,NATUREGEOSCIENCE,2009叠加原理的例子2：利用地表GPS变形资料反演地震断层位错当前11页，总共81页。叠加原理的例子3：利用地表GPS同震变形资料反演地震断层地震力当前12页，总共81页。当前13页，总共81页。当前14页，总共81页。当前15页，总共81页。当前16页，总共81页。当前17页，总共81页。当前18页，总共81页。当前19页，总共81页。当前20页，总共81页。几何形状特征：物体沿一个坐标轴（例如z轴）方向的长度很长，且所有垂直于z轴的横截面都相同，即为一等直柱体；位移约束条件或支承条件沿z方向也相同。载荷特征：柱体侧表面承受的表面力以及体积力均垂直于z轴，且分布规律不随z变化。当前21页，总共81页。当前22页，总共81页。当前23页，总共81页。当前24页，总共81页。当前25页，总共81页。当前26页，总共81页。当前27页，总共81页。物理意义：

－－表示物体绕原点的刚体转动。－－表示x，y向的刚体平移，当前28页，总共81页。当前29页，总共81页。当前30页，总共81页。当前31页，总共81页。当前32页，总共81页。当前33页，总共81页。当前34页，总共81页。当前35页，总共81页。当前36页，总共81页。当前37页，总共81页。当前38页，总共81页。当前39页，总共81页。当前40页，总共81页。当前41页，总共81页。平面域A内的基本方程:(2)几何方程(3)物理方程平面应力问题的求解(1)平衡微分方程当前42页，总共81页。应力边界条件

位移边界条件

（在上）（在上）边界条件：

8个未知函数必须，满足上述方程和边界条件。三大方程和边界条件：平面应力问题的定解问题。当前43页，总共81页。平面应力问题的位移解法按位移求解⑵将其他未知函数用u,v表示：

应变用u,v表示─几何方程;

应力先用形变来表示（物理方程），再代入几何方程，用u,v表示:⑴取u,v为基本未知函数；当前44页，总共81页。当前45页，总共81页。⑶在A中导出求u,v的基本方程─将式(a)

代入平衡微分方程，上式是用u,v表示的平衡微分方程。当前46页，总共81页。位移边界条件

（在上）(d)（在上）(c)应力边界条件─将式(a)代入应力边界条件，⑷在S上的边界条件当前47页，总共81页。归纳：(c)(d)

按位移求解时，u,v必须满足A内的方程(b)和边界条件(c)、(d)。式(b)，(c)，(d)－－是求解u,v的条件;也是校核u,v是否正确的全部条件。当前48页，总共81页。

按位移求解（位移法）的优缺点：适用性广─可适用于任何边界条件。求函数式解答困难，但在近似解法（变分法，差分法，有限单元法）中有着广泛的应用。当前49页，总共81页。例1

考虑两端固定的一维杆件。图(a)，只受重力作用，。试用位移法求解。当前50页，总共81页。解：为了简化，设位移按位移求解，位移应满足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然满足，第二式成为当前51页，总共81页。均属于位移边界条件，代入v，得得解出当前52页，总共81页。在处，代入v，并求出形变和应力，当前53页，总共81页。（1）取为基本未知函数；平面应力问题的应力解法（2）其他未知函数用应力来表示:应变用应力表示（物理方程）。位移用应变─应力表示，须通过积分，不仅表达式较复杂，而且包含积分带来的未知项，因此位移边界条件用应力分量来表示时既复杂又难以求解。故在按应力求解时，只考虑全部为应力边界条件的问题,即。当前54页，总共81页。⑶在A内求解应力的方程(b)从几何方程中消去位移u,v，得相容方程（形变协调条件）：

补充方程─从几何方程，物理方程中消去位移和形变得出:平衡微分方程（2个）。(a)平面应力问题的应力解法当前55页，总共81页。代入物理方程，消去形变，并应用平衡微分方程进行简化，便得用应力表示的相容方程：其中

(4)应力边界条件－－假定全部边界上均为应力边界条件。平面应力问题的应力解法当前56页，总共81页。（1）A内的平衡微分方程；（2）A内的相容方程；（3）边界Sσ上的应力边界条件.（1）-（3）也是校核应力分量是否正确的全部条件。按应力求解平面应力问题，应力必须满足下列条件：归纳：当前57页，总共81页。⑴相容方程(a)1.常体力情况下按应力求解的条件(b)⑵平衡微分方程常体力情况下的简化应力函数⑶应力边界条件(c)当前58页，总共81页。在⑴-⑶条件下求解的全部条件(a)，(b)，(c)中均不包含弹性常数，故与弹性常数无关。2.在⑴常体力,⑵单连体,⑶全部为应力边界条件（）下的应力特征：当前59页，总共81页。结论：①不同材料的应力()的理论解相同，用试验方法求应力时，也可以用不同的材料来代替。②两类平面问题的应力解相同，试验时可用平面应力的模型代替平面应变的模型。在⑴常体力,⑵单连体,⑶全部为应力边界条件当前60页，总共81页。

3.常体力下按应力求解的简化对应的齐次微分方程的通解，艾里已求出为非齐次微分方程(b)的任一特解，如取（1）常体力下平衡微分方程的通解是：

非齐次特解+齐次通解。当前61页，总共81页。所以满足平衡微分方程的通解为:(g)为艾里应力函数。当前62页，总共81页。如果，则A，B均可用一个函数表示，即说明：a.导出艾里（Airy）应力函数，是应用偏导数的相容性，即当前63页，总共81页。d.由再去求应力（式（g））,必然满足平衡微分方程，故不必再进行校核。c.仍然是未知的。但已将按应力求解转变为按应力函数求解，从3个未知函数减少至1个未知函数。b.导出应力函数的过程，也就证明了的存在性，故可以用各种方法去求解。当前64页，总共81页。（2）应力应满足相容方程（a），将式（g）代入（a），得（3）若全部为应力边界条件（），则应力边界条件也可用表示。当前65页，总共81页。（1）A内相容方程（h）；（2）上的应力边界条件；求出后，可由式（g）求得应力。在常体力下求解平面问题，可转变为按应力函数求解，应满足:归纳：当前66页，总共81页。例1如图所示的简支梁只承受自重的作用，设材料的密度为，给出函数可以作为应力函数的条件，并求出表达式和应力分量，其中，的形式为：解：将应力函数代入相容方程,得到这就是作为应力函数必须满足的条件此时：

按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解当前67页，总共81页。当前68页，总共81页。当前69页，总共81页。当前70页，总共81页。例2如图所示，右端固定悬臂梁，长为l，高为h，在左端面上受分布力作用（其合力为FS）。不计体力，试求梁的应力分量解：1、用凑幂次不同的双调和多项式函数的半逆解法来求解。显然，应力函数所对应的面力，在梁两端与本题相一致，只是该函数在上、下边界面上多出了一个大小为的剪应力，为了抵消它，在应力函数上再添加一个与纯剪应力对应的应力函数 ：按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解当前71页，总共81页。当前72页，总共81页。当前73页，总共81页。例3图示的墙高度为h,宽度为b,两侧受均布剪力作用，用已知应力函数求解应力分量

解：给出的应力函数显然满足相容方程，于是得到应力分量表达式

下面验证边界条件

按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解当前74页，总共81页。当前75页，总共81页。按应力函数和应力方法求解弹性问题解析解例4：三角形悬梁臂只受重力作用，如图所示，使用纯三次式应力函数求解。当前76页，总共81页。当前77页，总共81页。例5试用纯三次式应力函数，求解楔形体受重力和侧向液体压力的应力场。当前78页，总共81页。YanHuandKelinWang,Bending-likebehaviorofthinwedge-shapedelasticfaultblocks,JOURNALOFGEOPHYSICALRESEARCH,VOL.111,B06409,doi:10.1029/2005JB003987,2006例6利用应力函数法求解楔形体的应力场当前79页，总共81页。上顶界：y=0YanHuandKelinWang,Bending-likebehaviorofthinwedge-shapedelasticfaultblocks,JOURNALOFGEOPHYSICAL