高考数学大一轮复习.2平面向量数量积与应用课件

考点一

平面向量的数量积考点清单考向根底1.两向量夹角的定义和范围

3.向量数量积的性质设a,b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量,θ是a与e的夹角,那么(1)e·a=a·e=⑤|a|·cosθ

.(2)当a与b同向时,⑥

a·b=|a||b|

;当a与b反向时,⑦

a·b=-|a||b|

.2.平面向量的数量积特别地,a·a=⑧|a|2

.(3)|a·b|≤|a|·|b|.考向突破考向

平面向量数量积的运算例如图,在正方形ABCD中,AD=4,E为DC上一点,且 =3 ,那么 · =

.

解析解法一:

·

=

·(

+

)=

·

+

·

=0+4×3=12.解法二:以A为原点,AB所在直线为x轴,AD所在直线为y轴建立平面直角

坐标系,则B(4,0),E(3,4).∴

·

=(4,0)·(3,4)=3×4+0×4=12.答案12考点二

平面向量数量积的应用考向根底1.向量数量积的应用a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么(1)证明垂直问题,常用向量垂直的充要条件,a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.(2)求解夹角问题,常利用夹角公式:cosθ= = (其中

θ为a与b的夹角).(3)求线段长度问题,常利用向量的长度公式:|a|= = 或| |=

 .2.向量中常用的结论在△ABC中,∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c.(1)在

=λ

的条件下,存在λ使得I为△ABC的内心;a

+b

+c

=0⇔P为△ABC的内心.(2)|

|=|

|=|

|⇔P为△ABC的外心.(3)

+

+

=0⇔G为△ABC的重心.(4)

·

=

·

=

·

⇔P为△ABC的垂心.考向突破考向一

求向量的模例1

(2021湖南,16,5分)在平面直角坐标系中,O为原点,A(-1,0),B(0, ),C(3,0),动点D满足| |=1,那么| + + |的最大值是

.解析解法一:设D(x,y),则由|

|=1,得(x-3)2+y2=1,从而可设x=3+cosα,y=sinα,α∈R.而

+

+

=(x-1,y+

),则|

+

+

|=

=

= = ,其中sinφ= ,cosφ= .显然当sin(α+φ)=1时,| + + |取得最大值 = +1.解法二: + + = + + + ,设a= + + =(2, ),那么|a|= , + + =a+ ,那么| + + |=|a+ |≤|a|+| |= +1,当a与

同向时,|

+

+

|取得最大值

+1.答案

+1考向二

求向量的夹角例2(1)(2021重庆,6,5分)假设非零向量a,b满足|a|= |b|,且(a-b)⊥(3a+2b),那么a与b的夹角为 ()A. 

B. 

C. 

D.π(2)(2021山东,12,5分)e1,e2是互相垂直的单位向量.假设 e1-e2与e1+λe2的夹角为60°,那么实数λ的值是

.解析(1)∵(a-b)⊥(3a+2b),∴(a-b)·(3a+2b)=0⇒3|a|2-a·b-2|b|2=0⇒3|a|2-|a

|·|b|·cos<a,b>-2|b|2=0.又∵|a|= |b|,∴ |b|2- |b|2·cos<a,b>-2|b|2=0.∴cos<a,b>= .∵<a,b>∈[0,π],∴<a,b>= .选A.(2)由题意不妨设e1=(1,0),e2=(0,1),那么 e1-e2=( ,-1),e1+λe2=(1,λ).根据向量的夹角公式得cos60°= = = ,所以 -λ= ,解得λ= .答案(1)A(2)

考向三

向量垂直的条件例3向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,那么 等于 ()A.- 

B.1

C.2

D. 解析∵a⊥b,∴2m-2=0,∴m=1,则2a-b=(0,5),a+b=(3,1),∴a·(a+b)=1×3+

2×1=5,|2a-b|=5,∴

=

=1,故选B.答案

B方法1

求平面向量的模的方法1.把几何图形放到适当的坐标系中,写出有关向量的坐标,求向量的模.

如假设向量a=(x,y),求向量a的模只需利用公式|a|= 即可.2.当向量的坐标无法表示时,利用向量的线性运算和向量的数量积公式

进行求解,关键是会把向量a的模进行如下转化:|a|= .方法技巧例1平面向量a与b的夹角为45°,a=(1,1),|b|=2,那么|3a+b|等于 ()A.13+6 

B.2 

C. 

D. 解题导引

解析依题意得|a|=

,a·b=

×2×cos45°=2,∴|3a+b|=

=

=

=

,选D.答案

D方法2

求平面向量的夹角的方法1.定义法:利用向量数量积的定义知,cosθ= ,其中两个向量的夹角θ∈[0,π],求解时应求出三个量:a·b,|a|,|b|或找出这三个量之间的关系.2.坐标法:假设a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a,b的夹角,那么cosθ= .3.三角函数法:可以把所求两向量的夹角放到三角形中,利用正、余弦定

理和三角形的面积公式等内容进行求解.例2

(2021重庆,7,5分)非零向量a,b满足|b|=4|a|,且a⊥(2a+b),那么a与

b的夹角为 ()A. 

B. 

C. 

D. 解题导引

解析因为a⊥(2a+b),所以a·(2a+b)=0,所以a·b=-2|a|2,设a与b的夹角为θ,则cosθ=

=

=-

,又0≤θ≤π,所以θ=

,故选C.答案

C方法3

用向量法解决平面几何问题的方法1.用向量法解决平面几何问题的根本步骤:①建立平面几何与向量的联

系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量的

问题;②通过向量运算,研究几何元素之间的关系,如距离、夹角等问题;

③把运算结果转化成几何关系.2.用向量法解平面几何问题,主要是通过建立平面直角坐标系将问题坐

标化,然后利用平面向量的坐标运算求解有关问题,这样可以防止繁杂

的逻辑推理,同时加强了数形结合思想在解题中的应用.例3在△ABC和△AEF中,B是EF的中点,AB=EF=1,BC=6,CA= ,假设 · + · =2,那么 与 的夹角的余弦值为

.解析由题意得

·

+

·

=

·(

+

)+

·(

+

)=2,即

+