2022-2023学年浙江省绍兴市越城区建功中学教共体九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年浙江省绍兴市越城区建功中学教共体九年级（上）期中数学试卷题号一二三四总分得分第I卷（选择题）一、选择题（共10小题，共40.0分.）1.抛物线y=−(x−2)2−3的顶点坐标是A.(2,−3) B.(−2,−3) C.(2,3) D.(−2,3)2.下列事件是必然事件的是(

)A.明天会下雨 B.抛一枚硬币，正面朝上

C.若a是实数，则|a|≥0 D.打开电视，正在播放新闻3.如图，点A，B，C在⊙O上，若∠BOC=72°，则∠BAC的度数是(

)A.72° B.36° C.18° D.54°4.若点A(4,y1)，B(2,y2)，C(−2,y3)是抛物线y=(x−2)A.y3>y1>y2 B.5.下列说法中，正确的是(

)A.同一条弦所对的两条弧一定是等弧 B.弦的中垂线一定经过圆心

C.圆心角相等的两条弧一定相等 D.平分弦的直径一定垂直于该弦6.已知二次函数y=−x2+2x+4，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是A.图象的开口向上 B.图象的顶点坐标是(1,3)

C.当x<1时，y随x的增大而增大 D.图象与x轴有唯一交点7.已知抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，则nA.

−2 B.

−4 C.

2 D.

48.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，以AC为直径作⊙O，设线段CD的中点为P，则点P与⊙O的位置关系是(

)A.点P在⊙O内 B.点P在⊙O上 C.点P在⊙O外 D.点P不在⊙O内9.晚自习时，小敏和小聪在讨论一道题目：“已知点O为△ABC的外心，∠BOC=126°，求∠A.”小敏的解答为：画△ABC以及它的外接圆O，连结OB，OC，如图．由∠BOC=2∠A=126°，得∠A=63°.而小聪说：“小敏考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”，下列判断正确的是(

)A.小敏求的结果不对，∠A应得54° B.小聪说的不对，∠4就得63°

C.小聪说的对，且∠A的另一个值是117° D.两人都不对，∠A应有3个不同值10.已知抛物线y=12x2+bx与直线y=2x交于点O(0,0)，A(a,12)，点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E、以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为(m,n)，则m，A.m=116n2−14n

第II卷（非选择题）二、填空题（共6小题，共30.0分）11.已知二次函数y=ax2+bx+c中x与y的部分对应值如表，则m=______x−3−201235y70−8−9m−57

12.如图，△ABC的外接圆的圆心坐标为______．13.廊桥是我国古老的文化遗产，如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y=−281x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______

14.如图，一块直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，点D对应的刻度是58°，则∠ACD的度数为____．

15.如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点A、B，顶点为C，对称轴为直线x=1，给出下列结论：①abc<0；②若点C的坐标为(1,2)，则△ABC的面积可以等于2；③M(x1,y1)，N(x2,y2)是抛物线上两点(x1<x16.如图，抛物线y=x2−2x−3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点．点D是抛物线上的一个点，作DE//AB交抛物线于D、E两点，以线段DE为对角线作菱形DPEQ，点P在x轴上，若PQ=12DE时，则菱形对角线三、计算题（共1小题，共8.0分）17.二次函数的图象经过点A(0,−3)，B(2,−3)，C(−1,0)．

(1)求此二次函数的关系式；

(2)求此二次函数图象的顶点坐标．四、解答题（共7小题，共72.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.(本小题8.0分)

一个不透明的纸箱里有分别标有汉字“热”“爱”“祖”“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先摇匀再摸球．

(1)若从中任取一个球，求摸出球上的汉字刚好是“国”字的概率；

(2)小红从中任取球，不放回，再从中任取一球，请用树状图或列表法，求小红取出的两个球上的汉字恰好能组成“爱国”或“祖国”的概率．19.(本小题8.0分)

已知：如图，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．

求证：AB=CD．20.(本小题8.0分)

如图，有一座圆弧形拱桥，桥下水面宽度AB为12m，拱高CD为4m．

(1)求拱桥的半径．

(2)有一艘宽为7.8m的货船，船舱顶部为长方形，并高出水面3m，则此货船是否能顺利通过此圆弧形拱桥？并说明理由．21.(本小题10.0分)

已知关于x的二次函数y=ax2+2ax−3a(a≠0)．

(1)若该二次函数的图象经过(1,3)，(−1,4)，(−3,−10)三点中的一点，求a的值；

(2)当−3<x<0时，y有最小值−4，若将该二次函数的图象向右平移m(m>1)个单位长度，平移后的图象所对应的函数y在−3≤x≤0的范围内有最小值−3，求a，m22.(本小题12.0分)

商店以每件40元的价格购进一种商品，经市场调查发现：在一段时间内，该商品的日销售量y(件)与售价x(元/件)成一次函数关系，其对应关系如表．售价(元/件)455060日销售量(件)11010080(I)求y关于x的函数表达式．

(2)求售价为多少时，日销售利润w最大，最大利润是多少元．

(3)该商店准备搞节日促销活动，顾客每购买一件该商品奖m元(m>0)，要想在日销售量不少于(件时的日销售最大利润是1360元，若日销售量与售价仍然满足(1)中的函数关系，求m的值．(每销售利润=售价−进价)23.(本小题12.0分)

已知△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，交AC于E，连结BE．

(1)如图①，若∠BAC=40°，求∠CBE的度数；

(2)如图②，当∠A为锐角时，证明∠BAC=2∠CBE；

(3)若②中的边AB不动，边AC绕点A按逆时针旋转，当∠BAC为钝角时，如图③，CA的延长线与⊙O交于E，请问：∠BAC与∠CBE的关系是否与(2)中关系相同？若相同，请加以证明，若不同，请找出其它关系，并证明．

24.(本小题14.0分)

如图，抛物线y=−x2+bx+c经过A(−1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴DE交x轴于点E，连接BD．

(1)求经过A，B，C三点的抛物线的函数表达式；

(2)点Q在该抛物线的对称轴上，若△BCQ是以BC为直角边的直角三角形，求点Q的坐标；

(3)若P为BD的中点，过点P作PF⊥x轴于点F，G为抛物线上一动点，M为x轴上一动点，N为直线PF上一动点，当以F、M、N、G为顶点的四边形是正方形时，请求出点M的坐标．

答案和解析1.【答案】A

解：∵抛物线y=−(x−2)2−3，

∴该抛物线的顶点坐标是(2,−3)，

故选：A．

根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．2.【答案】C

解：A、明天会下雨是随机事件；

B、抛一枚硬币，正面朝上是随机事件；

C、若a是实数，则|a|≥0是必然事件；

D、打开电视，正在播放新闻是随机事件，

故选：C．

根据事件发生的可能性大小判断相应事件．

本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

3.【答案】B

【解析】【分析】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．

由点A，B，C在⊙O上，∠BOC=72°，直接利用圆周角定理求解即可求得答案．

【解答】

解：∵点A，B，C在⊙O上，∠BOC=72°，

∴∠BAC=12∠BOC=36°．

故选：

4.【答案】A

解：y=(x−2)2+1，

∵a=1>0，

∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=2，

∵C(−2,y3)离直线x=2的距离最远，B(2,y2)在直线x=2上，

∴y3>y15.【答案】B

解：A、如果弦不是直径，那么同一条弦所对的两条弧一条是优弧，另外一条是劣弧，故本选项不符合题意；

B、弦的中垂线一定经过圆心，故本选项符合题意；

C、在同圆或等圆中，圆心角相等的两条弧一定相等，故本选项不符合题意；

D、平分弦(弦不能是直径)的直径一定垂直于该弦，故本选项不符合题意．

故选：B．

根据等弧的定义、垂径定理进行分析，解答即可．

本题主要考查圆的相关知识，关键在于熟练掌握等弧的定义，圆心角、弧、弦的关系、垂径定理．

6.【答案】C

解：∵y=−x2+2x+4=−(x−1)2+5，

∴抛物线的图象开口向下，顶点坐标为(1,5)，

抛物线的对称轴为直线x=1，当x<1时，y随x的增大而增大，

令−x2+2x+4=0，解得x1=1+5，x2=1−5，

∴抛物线与x轴有两个交点．

故选：C．

先利用配方法得到解析式y=−(x−1)2+5，可以根据二次函数的性质可对A、B、C7.【答案】B

【解析】【分析】

本题考查二次函数图象上点的坐标，二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象上点的对称性是解题的关键．

根据(−2,n)和(4,n)可以确定函数的对称轴x=1，再由对称轴是x=b2即可求解b，最后代入坐标求出n．

【解答】

解：抛物线y=−x2+bx+4经过(−2,n)和(4,n)两点，

可知函数的对称轴x=1，

∴b2=1，

∴b=2；

∴y=−x2+2x+4，8.【答案】A

解：∵AC=6，AB=10，CD是斜边AB上的中线，

∴AD=5，

∵点O是AC中点，点P是CD中点，

∴OP是△CAD的中位线，OC=OA=3，

∴OP=12AD=2.5，

∵OP<OA，

∴点P在⊙O内，

故选：A．

本题可先由勾股定理等性质算出点与圆心的距离d，再根据点与圆心的距离与半径的大小关系，即当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d<r时，点在圆内，即可求解．

本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当d>r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上，当9.【答案】C

解：如图所示：∠A还应有另一个不同的值∠A′与∠A互补．

故∠A′=180°−63°=117°．

故选：C．

直接利用圆内接四边形的性质结合圆周角定理得出答案．

此题主要考查了三角形的外接圆，正确分类讨论是解题的关键．

10.【答案】A

解：∵点A(a,12)在直线y=2x上，

∴12=2a，

解得：a=6，

又∵点A是抛物线y=12x2+bx上的一点，

将点A(6,12)代入y=12x2+bx，可得b=−1，

∴抛物线解析式为y=12x2−x．

∵直线OA的解析式为：y=2x，

点D的坐标为(m,n)，

∴点E的坐标为(12n,n)，点C的坐标为(m,2m)，

∴点B的坐标为(12n,2m)，

把点B(12n,2m)代入y=12x2−x，可得m=116n2−14n，

11.【答案】−8

解：根据抛物线的对称性，观察表格可知，

抛物线的对称轴为x=−3+52=1，

∴x=2和x=0时，y=−8，即m=−8；

故答案为：−8．

当y=7时，x=−3或5，根据抛物线的对称性可知，抛物线的对称轴为x=−3+52=1，故x=212.【答案】(6,2)

解：设圆心坐标为(x,y)；

依题意得，

A(4,6)，B(2,4)，C(2,0)

则有

(4−x)2+(6−y)2=(2−x)2+(4−y)2=(2−x)2+(−y)2，

即13.【答案】18

解：由“在该抛物线上距水面AB高为8米的点”，

可知y=8，

把y=8代入y=−281x2+10得：

8=−281x2+10，

解得x=±9，

∴由两点间距离公式可求出EF=18(米)．

故答案为：18．

由题可知，E、F两点纵坐标为814.【答案】61°

解：连接OD，

∵直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，

∴点A，B，C，D共圆，

∵点D对应的刻度是58°，

∴∠BOD=58°，

∴∠BCD=12∠BOD=29°，

∴∠ACD=90°−∠BCD=61°．

故答案为：61°．

首先连接OD，由直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径恰好重合，可得点A，B，C，D共圆，又由点D对应的刻度是58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD的度数，继而求得答案．15.【答案】①④

解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab<0，而c>0，故abc<0，正确，符合题意；

②△ABC的面积=12AB⋅yC=12×AB×2=2，解得：AB=2，则点A(0,0)，即c=0与图象不符，故②错误，不符合题意；

③函数的对称轴为x=1，若x1+x2>2，则12(x1+x2)>1，则点N离函数对称轴远，故y1>y2，故③错误，不符合题意；

④抛物线经过点(3,−1)，则16.【答案】1+652或解：如图，由抛物线的解析式可知，抛物线y=x2−2x−3的对称轴为直线x=1，

设四边形DPEQ是菱形，则PQ⊥DE，PM=12PQ，

∵点D是抛物线上的一个点，且DE//AB，由抛物线的对称性，不妨设点D在对称轴的左侧，且点D的横坐标为t，

∴D(t,t2−2t−3)，

∵DE//AB，

∴点D，点E关于对称轴对称，即点P和点Q在对称轴上，

∴E(2−t,t2−2t−3)，

∴DE=(2−2t)，PM=|t2−2t−3|，

∴PQ=2PM=2|t2−2t−3|，

∵PQ=12DE，

∴2|t2−2t−3|=12(2−2t)，解得t=5−654，t=5+654(舍去)，t=3−654，t=3+654(舍去)，

∴DE=2−2t=1+6517.【答案】解：(1)设二次函数解析式为y=ax2+bx+c，

根据题意得c=−34a+2b+c=−3a−b+c=0，解得a=1b=−2c=−3，

所以二次函数解析式为y=x2【解析】(1)设一般式y=ax2+bx+c，再把三个点的坐标分别代入得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c的值，从而得到二次函数解析式；

(2)先把(1)中的解析式配成顶点式，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与18.【答案】解：(1)若从中任取一个球，则摸出球上的汉字刚好是“国”字的概率为14；

(2)画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中取出的两个球上的汉字恰好能组成“爱国”或“祖国”的有4种结果，

所以取出的两个球上的汉字恰好能组成“爱国”或“祖国”的概率为412=【解析】(1)直接利用概率公式计算可得；

(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了勾股数．

19.【答案】证明：∵∠ABD=∠CDB，

∴AD=BC，

∴AD+AC=BC【解析】由∠ABD=∠CDB，根据圆周角定理得到AD=BC，则AB=CD，由此得到AB=CD20.【答案】解：(1)如图，连接ON，OB．

∵OC⊥AB，

∴D为AB中点，

∵AB=12m，

∴BD=12AB=6m．

又∵CD=4m，

设OB=OC=ON=rm，则OD=(r−4)m．

在Rt△BOD中，根据勾股定理得：r2=(r−4)2+62，

解得r=6.5．

∴拱桥的半径为6.5m；

(2)∵CD=4m，船舱顶部为长方形并高出水面3m，

∴CE=4−3=1(m)，

∴OE=r−CE=6.5−1=5.5(m)，

在Rt△OEN中，EN2【解析】(1)根据垂径定理和勾股定理求解；

(2)连接ON，OB，根据勾股定理即可得到结论．

此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．

21.【答案】解：(1)∵y=ax2+2ax−3a=a(x−1)(x+3)，

∴抛物线过点(1,0)，(−3,0)，

∴抛物线不过点(1,3)，(−3,−10)，

把点B(−1,4)代入y=ax2+2ax−3a得a=−1；

(2)∵抛物线过点(1,0)，(−3,0)，

∴抛物线的对称轴为直线x=−1，

∵当−3<x<0时，y有最小值−4，

∴当x=−1

时，y=−4，

∴a−2a−3a=−4，

∴a=1，

∴y=x2+2x−3经过点(0,−3)．

∵抛物线向右平移m(m>1)个单位后y′的对称轴直线x>0，

又∵y′在−3≤x≤0的范围内有最小值−3，

∴y′也经过点(0,−3)，【解析】(1)当x=1时，y=0；x=−3时，y=0；所以抛物线过点A；

(2)根据题意当x=−1

时，y=−4，代入y=ax2+2ax−3a求得a=1，得到抛物线为y=x2+2x−3经过(0,−3)，进而得出将该二次函数图象向右平移m(m>1)个单位后也经过(0,−3)，根据二次函数的对称性即可求得平移前的对应点为(−2,3)22.【答案】解：(1)设y与x的函数关系式为y=kx+b，

由题意得50k+b=10060k+b=80，

解得k=−2b=200，

∴y与x的函数关系式是y=−2x+200(40<x<100)；

(2)日销售利润w=(x−40)y

=(x−40)(−2x+200)

=−2(x−70)2+1800，

∴当售价是70元/件时，日销售利润最大，最大利润是1800元；

(3)由题意得−2x+200≥68，

∴x≤66，

日销量利润w=(−2x+200)(x−40)−m(−2x+200)

=−2x2+(2m+280)x−8000−200m

∵m>0，

∴对称轴为直线x=m+1402>70．

∵−2<0，

∴抛物线开口向下．

∵x≤66<70，

∴w随x的增大而增大，

∴当x=66时，【解析】(1)根据题中所给的表格中的数据，利用待定系数法可得其关系式；

(2)根据利润等于每件的利润乘以件数，再利用配方法求得其最值；

(3)根据题意列出w关于x的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m的方程，求解即可．

本题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有一次函数解析式的求解，二次函数的应用，在解题的过程中，注意正确找出等量关系是解题的关键，属于基础题目．

23.【答案】解：(1)∵AB为直径，

∴∠AEB=90°，

∵∠BAC=40°，

∴∠ABE=50°，

又∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=70°，

∴∠EBC=∠ABC−∠ABE=20°；

(2)证明：连接AD，

∵AB为直径，

∴AD⊥BC，

又∵AB=AC，

∴∠1=∠2．

又∵∠2=∠CBE，

∴∠BAC=2∠CBE．

(3)相同．理由如下：

连接AD．

∵AB为直径，

∴AD⊥BC，

又∵AB=AC，

∴∠1=∠2，

∵∠CAD是圆内接四边形AEBD的外角，

∴∠2=∠CBE，

∴∠CAB=2∠CBE．

【解析】(1)根据直径所对的圆周角是直角