2022-2023学年广东省梅州市五华县桥江中学七年级（下）开学数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省梅州市五华县桥江中学七年级（下）开学数学试卷一、单选题。本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（）A．2 B．3 C．4 D．52．设，利用等式（n≥3），则与A最接近的正整数是（）A．18 B．20 C．24 D．253．若a，b，c均为正数，则a+b﹣c，b+c﹣a，c+a﹣b这三个数中出现负数的情况是（）A．不可能有负数 B．必有一个负数 C．至多有一个负数 D．可能有两个负数4．如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的长方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第10个图案中黑色瓷砖的个数是（）A．28 B．29 C．30 D．315．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（）A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣16．一个正方形和四个全等的小正方形按图①②两种方式摆放，若把图②中未被小正方形覆盖部分（图②中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子，则此长方体盒子的体积为（）A． B． C． D．7．如图，将一刻度尺放在数轴上．①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1cm对应数轴上的点表示的数是2；②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3；③若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1；④若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣1和1，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣0.5．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④8．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，那么，所有A的和为（）A．4m B．4m+4n C．4n D．4m﹣4n9．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，那么可列方程为（）A．2x+3（100﹣x）＝100 B．x+x＝100 C．3x+（100﹣x）＝100 D．3x+（100﹣x）＝10010．当x＝3时，代数式px3+qx+1的值为2，则当x＝﹣3时，px3+qx+1的值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1二、填空题。本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．已知|x|＝5，y2＝1，且＞0，则x﹣y＝．12．观察下面的一列单项式：2x；﹣4x2；8x3；﹣16x4，…根据你发现的规律，第n个单项式为．13．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是．14．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示﹣2的点重合…），则数轴上表示﹣2013的点与圆周上表示数字的点重合．15．如图，用含a、b的代数式表示图中阴影部分的面积．16．在数轴上，点P表示的数是a，点P1表示的数是，我们称“点P1是点P的相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4，这样依次得到点A1、A2、A3、A4、，…，An．若点A1在数轴表示的数是，则点A2019在数轴上表示的数是．17．如果用平面截掉一个长方体的一个角（即切去一个三棱锥），则剩下的几何体最多有顶点，最少有条棱．三、解答题。第18，19，20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。18．先化简，再求值：x﹣2（x﹣）+（﹣），其中x＝﹣1，y＝19．合并同类项：（1）3a2﹣2a+4a2﹣7a．（2）3（x﹣3y）﹣2（y﹣2x）﹣x．20．某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历（1）用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为，．（2）用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形．（3）用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出来，不存在说明理由．（4）第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断．21．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝°；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝∠AOE，求∠BOD的度数？22．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，AB＝BC＝20．（1）点A对应的数是，点B对应的数是．（2）动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．①用含t的代数式表示点P对应的数是，点Q对应的数是；②当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值．23．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为F（n）．例如n＝135时，F（135）＝1+3+5＝9．（1）对于“相异数”n，若F（n）＝6，请你写出一个n的值；（2）若a，b都是“相异数”，其中a＝100x+12，b＝350+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：，当F（a）+F（b）＝18时，求k的最小值．24．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a＝，b＝，c＝（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．25．如图将一条数轴在原点O，点B，点C，点D处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示﹣8，点B表示8，点C表示16，点D表示24，点E表示28，我们称点A和点E在数轴上相距36个长度单位．动点P从点A出发，以4单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点Q从点E出发，以2单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，两点上坡时速度均变为初始速度的一半，下坡时速度均变为初始速度的两倍，平地则保持初始速度不变．当点P运动至点E时则两点停止运动，设运动的时间为t秒．问：（1）动点P从点A运动至E点需要秒，此时点Q对应的点是；（2）P，Q两点在点M处相遇，求出相遇点M所对应的数是多少？（3）求当t为何值时，P，B两点在数轴上相距的长度与Q，D两点在数轴上相距的长度相等．

参考答案一、单选题。本大题共10小题，每小题3分，共30分。1．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p＝|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的值恒为一常数，则此值为（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】若P为定值，则化简后x的系数为0，由此可判定出x的取值范围，然后再根据绝对值的性质进行化简．解：∵P为定值，∴P的表达式化简后x的系数为0；由于2+3+4+5+6+7＝8+9+10；∴x的取值范围是：1﹣7x＞0且1﹣8x＜0，即＜x＜；所以P＝（1﹣2x）+（1﹣3x）+…+（1﹣7x）﹣（1﹣8x）﹣（1﹣9x）﹣（1﹣10x）＝6﹣3＝3．故选：B．【点评】能够根据P为常数的条件判断出x的取值范围，是解答此题的关键．2．设，利用等式（n≥3），则与A最接近的正整数是（）A．18 B．20 C．24 D．25【分析】利用等式（n≥3），代入原式得出数据的规律性，从而求出．解：利用等式（n≥3），代入原式得：＝48×（++…+﹣）＝12×（1﹣+﹣+﹣+…+）＝12×[（1++…+）﹣（+…+）]＝12×（1+）而12×（1+）≈25故选：D．【点评】此题主要考查了数的规律，关键是运用已知发现规律，题目规律性比较强．3．若a，b，c均为正数，则a+b﹣c，b+c﹣a，c+a﹣b这三个数中出现负数的情况是（）A．不可能有负数 B．必有一个负数 C．至多有一个负数 D．可能有两个负数【分析】本题可采用假设法，当a＝1，b＝1，c＝3时有（1+1）﹣3＜0，1+3﹣1＞0，1+3﹣1＞0，这样有一个负数，排除A，当a＝b＝c＝1时，没有负数，故B错误，再假设有两个负数，则设a+b＜c①，b+c＜a②，得出结果矛盾与已知条件，排除D，采用排除法选出答案．解：显然当a＝1，b＝1，c＝3时有（1+1）﹣3＜0，1+3﹣1＞0，1+3﹣1＞0，所以排除A．当a＝b＝c＝1时，没有负数，故B错误，对于D，若假设有两个负数，则不防设：a+b＜c①，b+c＜a②由①+②可得：b＜0，矛盾于已知条件，∴假设错误，不可能有两个负数，同理a+b﹣c，a+c﹣b，b+c﹣a中不可能有3个负数，故选：C．【点评】本题考查有理数的加减法法则，属于基础题，难度不大，注意细心进行判断．4．如图，用若干大小相同的黑白两种颜色的长方形瓷砖，按下列规律铺成一列图案，则第10个图案中黑色瓷砖的个数是（）A．28 B．29 C．30 D．31【分析】观察图形，发现：黑色纸片在4的基础上，依次多3个；根据其中的规律，用字母表示即可．解：第个图案中有黑色纸片3×1+1＝4张第2个图案中有黑色纸片3×2+1＝7张，第3图案中有黑色纸片3×3+1＝10张，…第n个图案中有黑色纸片＝3n+1张．当n＝10时，3n+1＝3×10+1＝31故选：D．【点评】此题主要考查学生对图形的变化类的知识点的理解和掌握，考查学生分析总结规律的能力．此题的关键是注意发现前后图形中的数量之间的关系．5．小学时候大家喜欢玩的幻方游戏，老师稍加创新改成了“幻圆”游戏，现在将﹣1、2、﹣3、4、﹣5、6、﹣7、8分别填入图中的圆圈内，使横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，老师已经帮助同学们完成了部分填空，则图中a+b的值为（）A．﹣6或﹣3 B．﹣8或1 C．﹣1或﹣4 D．1或﹣1【分析】由于八个数的和是4，所以需满足两个圈的和是2，横、竖的和也是2．列等式可得结论．解：设小圈上的数为c，大圈上的数为d，﹣1+2﹣3+4﹣5+6﹣7+8＝4，∵横、竖以及内外两圈上的4个数字之和都相等，∴两个圈的和是2，横、竖的和也是2，则﹣7+6+b+8＝2，得b＝﹣5，6+4+b+c＝2，得c＝﹣3，a+c+4+d＝2，a+d＝1，∵当a＝﹣1时，d＝2，则a+b＝﹣1﹣5＝﹣6，当a＝2时，d＝﹣1，则a+b＝2﹣5＝﹣3，故选：A．【点评】本题考查了有理数的加法．解决本题的关键是知道横竖两个圈的和都是2．6．一个正方形和四个全等的小正方形按图①②两种方式摆放，若把图②中未被小正方形覆盖部分（图②中的阴影部分）折成一个无盖的长方体盒子，则此长方体盒子的体积为（）A． B． C． D．【分析】由题意可：折成一个无盖的长方体盒子的长、宽为b，高为，由此列式得出答案即可．解：长方体盒子的体积为：b•b•＝．故选：C．【点评】此题考查列代数式，掌握长方体的体积计算公式是解决问题的关键．7．如图，将一刻度尺放在数轴上．①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1cm对应数轴上的点表示的数是2；②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3；③若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1；④若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣1和1，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣0.5．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①② B．②④ C．①②③ D．①②③④【分析】数轴上单位长度是统一的，利用图象，根据两点之间单位长度是否统一，判断即可．解：①若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和5，则1cm对应数轴上的点表示的数是2，故①说法正确；②若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为1和9，则1cm对应数轴上的点表示的数是3，故②说法正确；③若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣2和2，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣1，故③说法正确；④若刻度尺上0cm和4cm对应数轴上的点表示的数分别为﹣1和1，则1cm对应数轴上的点表示的数是﹣0.5，故④说法正确；故选：D．【点评】本题主要考查数轴，明确数轴上的单位长度要统一，能确定出每个单位长度代表几是解决此题的关键．8．有四个有理数1，2，3，﹣5，把它们平均分成两组，假设1，3分为一组，2，﹣5分为另一组，规定：A＝|1+3|+|2﹣5|，已知，数轴上原点右侧从左到右有两个有理数m、n，再取这两个数的相反数，那么，所有A的和为（）A．4m B．4m+4n C．4n D．4m﹣4n【分析】（1）数轴上一个数所对应的点与原点的距离就叫该数的绝对值．（2）正数的绝对值大于零，负数的绝对值是它的相反数．解：依题意，m，n（m＞n）的相反数为﹣m，﹣n，则有如下情况：m，n为一组，﹣m，﹣n为一组，有A＝|m+n|+|（﹣m）+（﹣n）|＝2m+2nm，﹣m为一组，n，﹣n为一组，有A＝|m+（﹣m）|+|n+（﹣n）|＝0m，﹣n为一组，n，﹣m为一组，有A＝|m+（﹣n）|+|n+（﹣m）|＝2n﹣2m所以，所有A的和为2m+2n+0+2n﹣2m＝4n故选：C．【点评】此题运用分类讨论的思想，每一个情况都要考虑周到，同时要特别要注意绝对值的运算，正数的绝对值大于零，负数的绝对值是它的相反数．9．我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，那么可列方程为（）A．2x+3（100﹣x）＝100 B．x+x＝100 C．3x+（100﹣x）＝100 D．3x+（100﹣x）＝100【分析】设大马有x匹，则小马有（100﹣x）匹，根据题意可得等量关系：大马拉瓦数+小马拉瓦数＝100，根据等量关系列出方程．解：设大马有x匹，则小马有（100﹣x）匹，由题意，得3x+（100﹣x）＝100．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，关键找到大小马的总数和大小马拉的瓦总数两个等量关系，难点是会用小马总数来表示拉瓦总数．10．当x＝3时，代数式px3+qx+1的值为2，则当x＝﹣3时，px3+qx+1的值是（）A．2 B．1 C．0 D．﹣1【分析】把x＝3代入代数式得27p+3q＝1，再把x＝﹣3代入，可得到含有27p+3q的式子，直接解答即可．解：当x＝3时，代数式px3+qx+1＝27p+3q+1＝2，即27p+3q＝1，所以当x＝﹣3时，代数式px3+qx+1＝﹣27p﹣3q+1＝﹣（27p+3q）+1＝﹣1+1＝0．故选：C．【点评】此题考查了代数式求值；代数式中的字母表示的数没有明确告知，而是隐含在题设中，首先应从题设中获取代数式27p+3q的值，然后利用“整体代入法”求代数式的值．二、填空题。本大题共7小题，每小题4分，共28分。11．已知|x|＝5，y2＝1，且＞0，则x﹣y＝±4．【分析】直接利用绝对值以及平方根的定义得出符合题意的x，y的值，进而得出答案．解：∵|x|＝5，y2＝1，∴x＝±5，y＝±1，∵＞0，∴x＝5时，y＝1，x＝﹣5时，y＝﹣1，则x﹣y＝±4．故答案为：±4．【点评】此题主要考查了绝对值以及平方根的定义，正确得出x，y的值是解题关键．12．观察下面的一列单项式：2x；﹣4x2；8x3；﹣16x4，…根据你发现的规律，第n个单项式为（﹣1）n+1•2n•xn．【分析】先根据所给单项式的次数及系数的关系找出规律，再确定所求的单项式即可．解：∵2x＝（﹣1）1+1•21•x1；﹣4x2＝（﹣1）2+1•22•x2；8x3＝（﹣1）3+1•23•x3；﹣16x4＝（﹣1）4+1•24•x4；第n个单项式为（﹣1）n+1•2n•xn，故答案为：（﹣1）n+1•2n•xn．【点评】本题考查了单项式的应用，解此题的关键是找出规律直接解答．13．大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，23＝3+5，33＝7+9+11，43＝13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是45．【分析】根据m＝2、3、4、5时分裂后首项奇数的规律，得到m3分裂后的首项奇数（用m的式子表示），然后找出分裂后首项奇数最接近2013且小于2013的m，以及分裂后首项奇数最接近2013且大于2013的m，就可解决问题．解：当m＝2时，分裂后的首项奇数为3＝2+1＝2×1+1；当m＝3时，分裂后的首项奇数为7＝6+1＝3×2+1；当m＝4时，分裂后的首项奇数为13＝12+1＝4×3+1；当m＝5时，分裂后的首项奇数为21＝20+1＝5×4+1；…由此可得：m3分裂后的首项奇数为m（m﹣1）+1；当m＝45时，m（m﹣1）+1＝1981；当m＝46时，m（m﹣1）+1＝2071；因而当m＝45时，m3分裂成的奇数和中有一个奇数是2013．故答案为45．【点评】本题考查的是数的规律探究，利用熟悉的一列数2、6、12、20…的规律是解决本题的关键．14．如图，圆的周长为4个单位长，数轴每个数字之间的距离为1个单位，在圆的4等分点处分别标上0、1、2、3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示﹣1的点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上（如圆周上表示数字3的点与数轴上表示﹣2的点重合…），则数轴上表示﹣2013的点与圆周上表示数字0的点重合．【分析】此题注意寻找规律：每4个数一组，分别与0、3、2、1重合，所以需要计算2013÷4，看是第几组的第几个数．解：∵2013÷4＝503…1，∴表示﹣2013的点是第504组的第一个数，即是0．故答案为：0【点评】此题是借助数轴的一道规律题，寻找规律是关键．15．如图，用含a、b的代数式表示图中阴影部分的面积ab﹣πb2．【分析】根据阴影部分面积＝长方形的面积﹣扇形的面积列式即可；解：阴影部分面积＝ab﹣＝ab﹣．故答案为：ab﹣πb2．【点评】本题考查了列代数式，比较简单，观察出阴影部分的面积表示方法是解题的关键．16．在数轴上，点P表示的数是a，点P1表示的数是，我们称“点P1是点P的相关点”，已知数轴上A1的相关点为A2，点A2的相关点为A3，点A3的相关点为A4，这样依次得到点A1、A2、A3、A4、，…，An．若点A1在数轴表示的数是，则点A2019在数轴上表示的数是﹣1．【分析】先根据已知求出各个数，根据求出的数得出规律，即可得出答案．解：∵点A1在数轴表示的数是，∴A2＝＝2，A3＝＝﹣1，A4＝＝，A5＝＝2，A6＝﹣1，…，2019÷3＝673，所有点A2019在数轴上表示的数是﹣1，故答案为：﹣1．【点评】本题考查了数轴和有理数的计算，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．17．如果用平面截掉一个长方体的一个角（即切去一个三棱锥），则剩下的几何体最多有10顶点，最少有12条棱．【分析】当截面截取由三个顶点组成的面时可以得到三角形，剩下的几何体有7个顶点、12条棱、7个面；当截面截取一棱的一点和两底点组成的面时可剩下几何体有8个顶点、13条棱、7个面；当截面截取由2条棱中点和一顶点组成的面时剩下几何体有9个顶点、14条棱、7个面；当截面截取由三棱中点组成的面时，剩余几何体有10个顶点、15条棱、7个面．解：剩下的几何体可能有：7个顶点、12条棱、7个面；或8个顶点、13条棱、7个面；或9个顶点、14条棱、7个面；或10个顶点、15条棱、7个面．如图所示：则剩下的几何体最多有10顶点，最少有12条棱，故答案为：10，12．【点评】本题考查了截一个长方体一个角的问题，注意分情况讨论，做到不重复不遗漏，有一定的难度．三、解答题。第18，19，20小题6分，第21，22，23小题9分，第24，25小题10分。18．先化简，再求值：x﹣2（x﹣）+（﹣），其中x＝﹣1，y＝【分析】根据整式的运算法则即可求出答案．解：原式＝x﹣2x+y2﹣x+y2＝﹣3x+y2当x＝﹣1，y＝时，原式＝﹣3×（﹣1）+＝【点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型．19．合并同类项：（1）3a2﹣2a+4a2﹣7a．（2）3（x﹣3y）﹣2（y﹣2x）﹣x．【分析】（1）先找出同类项，再合并即可；（2）先去括号，再合并同类项即可．解：（1）原式＝（3a2+4a2）+（﹣2a﹣7a）＝7a2﹣9a；（2）原式＝3x﹣9y﹣2y+4x﹣x＝（3x+4x﹣x）+（﹣9y﹣2y）＝6x﹣11y．【点评】本题考查了合并同类项，解决此类题目的关键是熟记去括号法则，熟练运用合并同类项的法则，这是各地中考的常考点．20．某公司新研发一种办公室用壁挂式电磁日历，底板是一块长方形磁块，再用31枚圆柱形小铁片标上数字吸附在底板上作为日期，如图1是2007年10月份日历（1）用长方形和正方形分别圈出相邻的3个数和9个数，若设圈出的数的中心数为a，用含a的整式表示这3个数的和与9个数的和，结果分别为3a，9a．（2）用某种图形圈出相邻的5个数，使这5个数的和能表示成5a的形式，请在图2中画出一个这样的图形．（3）用平行四边形圈出相邻的四个数，是否存在这样的4个数使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出来，不存在说明理由．（4）第一次翻动31枚日历铁片，第二次翻动其中的30枚，第三次翻动其中的29枚，……，第31次只翻动其中的一枚，按这样的方法翻动日历铁片，能否使铁板上所有的31枚铁片原来有数字的一面都朝下，试通过计算证明你的判断．【分析】（1）根据日历的特点可列出关于a的方程，求解即可；（2）根据上下左右的数量关系，画图即可．（3）举例拆分即可．（4）根据数字的奇偶性规律验证．解：（1）长方形中中间数为a，上下两数分别为（a﹣7）；（a+7）∴3个数的和为a+（a﹣7）+（a+7）＝3a正方形中中间数为a，那么左右两数分别为（a﹣1）；（a+1）根据以上规律左边三个数的和为3（a﹣1）；中间三个数的和为3a；右边三个数的和为3（a+1）∴9个数的和为3（a﹣1）+3a+3（a+1）＝9a故答案为：3a，9a．（2）如图所示即可（3）存在，∵b＝a+1，c＝a+6，d＝a+7，∴a+b+c+d＝a+a+1+a+6+a+7＝114，解得：a＝25，∴b＝26，c＝31，d＝32．（4）不能，共翻动了31+30+29+28+……+2+1＝（31+1）×31÷2＝496次偶数次而要使一个铁片翻面，需要1次、3次，5次，……奇数次需要翻动的总次数是奇数×31＝奇数次奇数≠偶数所以，不能．【点评】本题考查了一元一次方程在日历等数字问题中的应用，根据题意正确列式并总结规律，是解题的关键．21．以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC＝60°，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：∠DOE＝90°）（1）如图1，若直角三角板DOE的一边OD放在射线OB上，则∠COE＝30°；（2）如图2，将直角三角板DOE绕点O逆时针方向转动到某个位置，若OE恰好平分∠AOC，请说明OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）如图3，将三角板DOE绕点O逆时针转动到某个位置时，若恰好∠COD＝∠AOE，求∠BOD的度数？【分析】（1）代入∠BOE＝∠COE+∠COB求出即可；（2）求出∠AOE＝∠COE，根据∠DOE＝90°求出∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，推出∠COD＝∠DOB，即可得出答案；（3）画出符合的两种图形，再根据平角等于180°求出即可．解：（1）∵∠BOE＝∠COE+∠COB＝90°，又∵∠COB＝60°，∴∠COE＝30°，故答案为：30；（2）∵OE平分∠AOC，∴∠COE＝∠AOE＝COA，∵∠EOD＝90°，∴∠AOE+∠DOB＝90°，∠COE+∠COD＝90°，∴∠COD＝∠DOB，∴OD所在射线是∠BOC的平分线；（3）设∠COD＝x，则∠AOE＝5x．有两种情况：①如图1，OD在∠AOC内部时，∵∠AOE+∠DOE+∠COD+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，∴5x+90°+x+60°＝180°，解得x＝5°，即∠COD＝5°．∴∠BOD＝∠COD+∠BOC＝5°+60°＝65°；②如图2，OD在∠BOC的内部时，如图2，∵∠AOC+∠BOC＝180°，∠DOE＝90°，∠BOC＝60°，∠COD＝x°，∠AOE＝5x°，∴5x+90﹣x+60＝180，解得：x＝7.5，即∠COD＝7.5°，∵∠BOC＝60°，∴∠BOD＝60°﹣7.5°＝52.5°，∴∠BOD的度数为65°或52.5°．【点评】本题考查了角平分线定义和角的计算，能根据图形和已知求出各个角的度数是解此题的关键．22．数轴上从左到右有A，B，C三个点，点C对应的数是10，AB＝BC＝20．（1）点A对应的数是﹣30，点B对应的数是﹣10．（2）动点P从A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点C移动，同时，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向终点C移动，设移动时间为t秒．①用含t的代数式表示点P对应的数是4t﹣30，点Q对应的数是t﹣10；②当点P和点Q间的距离为8个单位长度时，求t的值．【分析】（1）由AB，BC的长度结合点C对应的数及点A，B，C的位置关系，可得出点A，B对应的数；（2）①由点P，Q的出发点、运动方向及速度，可得出运动时间为t秒时点P，Q对应的数；②由①结合PQ＝8，可得出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论．解：（1）∵AB＝BC＝20，点C对应的数是10，点A在点B左侧，点B在点C左侧，∴点B对应的数为10﹣20＝﹣10，点A对应的数为﹣10﹣20＝﹣30．故答案为：﹣30；﹣10．（2）①当运动时间为t秒时，点P对应的数是4t﹣30，点Q对应的数是t﹣10．故答案为：4t﹣30；t﹣10．②依题意，得：|t﹣10﹣（4t﹣30）|＝8，∴20﹣3t＝8或3t﹣20＝8，解得：t＝4或t＝．∴t的值为4或．【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴以及两点间的距离，解题的关键是：（1）根据线段AB，BC的长度，找出点A，B对应的数；（2）①用含t的代数式表示出点P，Q对应的数；②利用两点间的距离公式，找出关于t的一元一次方程．23．对任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”n的各个数位上的数字之和记为F（n）．例如n＝135时，F（135）＝1+3+5＝9．（1）对于“相异数”n，若F（n）＝6，请你写出一个n的值；（2）若a，b都是“相异数”，其中a＝100x+12，b＝350+y（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），规定：，当F（a）+F（b）＝18时，求k的最小值．【分析】（1）由定义可得．（2）根据题意先求出F（a）＝x+3，F（b）＝8+y，代入可得二元一次方程x+y＝7，求出x，y的解代入可得K的值．解：（1）∵F（n）＝6，∴n＝123（2）∵F（a）＝x+1+2＝x+3，F（b）＝3+5+y＝8+y且F（a）+F（b）＝18∴x+3+8+y＝18∴x+y＝7∵x，y是正整数∴，，，，，∵x，y是相异数，∴x≠1，x≠2，y≠3，y≠5∴，，∴k＝＝或或1∴k的最小值为【点评】本题是考查学生阅读理解能力，以及二元一次方程的运用．24．已知：b是最小的正整数，且a、b满足（c﹣5）2+|a+b|＝0，请回答问题（1）请直接写出a、b、c的值．a＝﹣1，b＝1，c＝5（2）a、b、c所对应的点分别为A、B、C，点P为一动点，其对应的数为x，点P在0到2之间运动时（即0≤x≤2时），请化简式子：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|（请写出化简过程）（3）在（1）（2）的条件下，点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t秒钟过后，若点B与点C之间的距离表示为BC，点A与点B之间的距离表示为AB．请问：BC﹣AB的值是否随着时间t的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值．【分析】（1）根据b是最小的正整数，即可确定b的值，然后根据非负数的性质，几个非负数的和是0，则每个数是0，即可求得a，b，c的值；（2）根据x的范围，确定x+1，x﹣3，x+5的符号，然后根据绝对值的意义即可化简；（3）先求出BC＝3t+4，AB＝3t+2，从而得出BC﹣AB＝2．解：（1）∵b是最小的正整数，∴b＝1．根据题意得：c﹣5＝0且a+b＝0，∴a＝﹣1，b＝1，c＝5．故答案是：﹣1；1；5；（2）当0≤x≤1时，x+1＞0，x﹣1≤0，x+5＞0，则：|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝x+1﹣（1﹣x）+2（x+5）＝x+1﹣1+x+2x+10＝4x+10；当1＜x≤2时，x+1＞0，x﹣1＞0，x+5＞0．∴|x+1|﹣|x﹣1|+2|x+5|＝x+1﹣（x﹣1）+2（x+5）＝x+1﹣x+1+2x+10＝2x+12；（3）不变．理由如下：t秒时，点A对应的数为﹣1﹣t，点B对应的数为2t+1，点C对应的数为5t+5．∴BC＝（5t+5）﹣（2t+1）＝3t+4，AB＝（2t+1）﹣（﹣1﹣t）＝3t+2，∴BC﹣AB＝（3t+4）﹣（3t+2）＝2，即BC﹣AB的值不随着时间t的变化而改变．（另解）∵点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，点B以每秒2个单位长度的速度向右运动，∴A、B之间的距离每秒钟增加3个单位长度；∵点B和点C分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，∴B、C之间的距离每秒