国开电大 常微分方程 形考任务作业4答案

经典word整理文档，仅参考，双击此处可删除页眉页脚。本资料属于网络整理，如有侵权，请联系删除，谢谢！4第4章n1.设在方程yp(x)yq(x)y0中，在区间上连续且恒不为零，试证它p(x)I的任意两个线性无关解的朗斯基行列式是在区间上严格单调函数．I，xI,w(x)00且xI,有w(x)=w(x)e－x，p(x)(x)exp(t).又因为p(x)在区0xw(x)000xIp(x)0p(x)0间上连续且恒不为零,从而对,或,所以,在上恒w(x)II正或恒负,即w(x)为严格单调函数.个不为零的常数．证明：设两个线性的解组的朗斯基行列式分别为xp(t)，w(x)w(x)exp(t)w(x)w(x)e00，且w(x)0,w(x)0，1102201020w(x)1w(x)1所以有w(x)w(x)0.0220113.已知方程x)y的一个解，求其通解．ylnxyy0xx21解：由通解公式：1ycycyep(x)dxdx*y112，，11yx,p(x)1xx)得通解为：11exx)dx]ycycyep(xdxy[cc**21(lnx)211y1lnx1xy[ccdx]y(cc)clnxcx*(lnx)2lnx1112124.在方程()()0中，当系数满足什么条件时，其基本解组的朗斯ypxyqxy基行列式等于常数．解：由刘维尔公式W(x)W(x)expxpt)dt，0x0可知：其基本解组的朗斯基行列式等于常数当且仅当()0.pt得：ep(x)dx常数5.试求下列阶常系数线性齐次方程的通解n（1）9200（2）yy0yyy(4)yy'y0（3）y9200）:2:4,5ee,4x:5x12:ycece4x5x.1210）:422i,221,2i:22223,422x,e22x,e222222x,esinsin2x:e2xxxx222222x)e222x).22:ye2(cxcsin(cxcsinxx22221234（3）通解为:6.试求下述各方程满足给定的初始条件的解：（1）440，(2)4，(2)0yyyyy（2）0，(0)2，(0)5yyyy（1）解：特征方程为:440.2特征根为:2，方程通解为:()ye2xccx1,2122cc012由初始条件有:,解得.ce4121ccee44212所以方程的初值解为:ye(12eex).2x44（2）解：特征方程为:0.2特征根为:0,1，方程通解为:ycce2x121cc2,解得c7由初始条件有:.121c5c522所以方程的初值解为:y7e.x7.求下列阶常系数线性非齐次方程的通解：n（1）y8y7y3x7x82（2）x6x13xe(tt2)t2（3）210cos2yxxyy（1）解：由于270，1,7，12故齐次方程的通解为ycece7x.x12由于0不是特征根，故已知方程有形如的特解.yC213将它代入原方程，得,,,，ABC737所求通解为ycecex2x.x7x12（2）通解为（3）解：由于212,12，2ii12ye(c2xc2x).x12因为2不是特征根，故已知方程有形如iiy(AxB)cos2x(AxB)sin2x11121的特解．将上式代入原方程，可得311，A,B,A,B1122所求通解为32x(x12x.1ye(c2xc2x)(xx128.一质量为m速度成正比，求此质点的运动规律。解：设液体的反作用与质点速度的比例系数为k则指点的运动满足方程：mxkxmg即k）xxgmk则(*)所对应的齐次方程的通解为：x-mt又=0是齐次方程的特征根,故特解形式为：xAtB