三等分角问题

三等分角问对于古典时期的希腊人来说二等分角是一件易事可是当他们在成功地用直尺和圆规作出圆内接正五边形后试图作出边数更多的正多边形时可避免地遇到了如何按给定比将角分成两部分的问题。在正九边形的情形，这个比为2:1于是三等分角问题产生了•希腊人以尺规来解该问题的尝试一次又一次地以失败告终他们渐渐意识到光靠直线和圆是不顶用的必须借助于其它复杂的曲线才能成功。第一个意识到这一点的希腊人是希皮亚（•他是伯罗奔尼撒的厄里城人，生于公元前年左右，是苏格拉底Socrates）的同代人。希皮亚斯为解三等分角问题发明了一种称作割圆曲线的新曲线图所示ABCD为一正方形，

是以A为圆心的四分之一圆弧。假设半径绕A从AB置匀速转动到AD置，而在相同时间内直线BCBC置匀速平移到AD置（端点B终沿BA运动）。则平动直线与转动半径的交点轨迹就是割圆曲线。其性质是：BAD:EAD＝:＝:FH。设FAD＝，AF＝，AB＝，则割圆曲线的极坐标方程为：。有了割圆曲线，就可以轻而易举地三等分任意角了。如图，•要三等分，只需取的三等分点F，过F作BC平行于AD，交割圆曲线于L，连接AL，交

于N，易证。

因此AN三等分。实际上，利用割圆曲线可以将角任意等分。图4-2-1图4-2-2希皮亚斯利用割圆曲线过线段三等分来完成角的三等分受此启发，170多年后大数学家阿基米德发明了另一种后人以其名字命名的新曲线——阿基米德螺线。它是这样产生的：一条射线OA从一起始位置出发绕固定端点O匀速转动而在射线开始转动的同时一个点从O出发沿着它作匀速运动则该点的运动轨迹就是阿基米德螺线。其极坐标方程是。如图4-2-2示。利用该曲线的第一圈来三等分角AOB时，只需以角的一边OA为原始位置，以O为固定端点，作一螺线交OB于P。取三等分点，以O为圆心，半径作圆交螺线于R，则OR等分AOB。

希腊人还巧妙地将三等分角问题作了转化如图所示设是须三等分的锐角，AC⊥。作矩形ACBF，延长，而E是这样的点：若连接BEACD，则DE＝2AB。取的中点G，连AG，则DG＝＝AG＝AB。因此ABG＝＝2＝2DBC，DE三等分ABC。这样问题转化图4-2-3图4-2-4为：在AE和AC间插入长为2AB的线段，使ED斜向B点。这就是希腊人所谓的斜向问题。阿基米德的同代人尼可米（约前280～前210为解决上述斜向问题，•发明了一种称作蚌线（或蜗线）的新曲线。它是通过一种机械装置画出来的，如图4-2-4所示。AB一直尺，其上有平行于尺长方向的狭孔，FE是垂直固定在AB的第二把直尺，其上固定一钉子。第三把直尺PCP尖端，其上也有平行于尺长方向的狭孔，钉C可沿狭孔自由移动。是•上一固定的钉子，与狭孔同在一线上，且D可沿AB的狭孔自由移动。移动，•则尖端P画出了蚌线。尼可米德称AB为“直尺”，固定点C为“极点”，不

变长度PD“距离”。设PD＝a，CF＝，＝，则尼可米德蚌线的极坐标方程为。若在图4-2-3中以B为极点，直尺，长度2AB距离作蚌线，交FA延长线于E，则BE即为的三等分线。希腊人对于三等分角问题的转化是意犹未尽的阿基米德便是其中一例如图4-2-5所示，将须三等分的作为圆O的圆心角延长BOC，AC交圆OD。如果CD＝，那么，AOB＝A＋＝＋C＝C＋＝3。于是过O且平行于CA直线OE即为的三等分线此三等分角问题又转化为：在BO长线和圆周之间插入线段CD，使它与半径等长且斜向A。这是另一种斜向问题。图4-2-5图4-2-6

到了中世纪，意大利数学家、天文学家坎伯努斯（1220～1296）在《几何原本的拉丁文译本中给出了一种斜向法图所示设是须三等分的圆心角，OB。A作圆的弦OC于E，使得•＝OA，则A＝。过ODA的平行线OF，为的三等分线。易证坎伯努斯的方法与阿基米德斜向法是一样的。坎伯努斯以前的约当努斯（Jordanus,?～1237）其实已在他的著作中给出过同样的方法。正如尼可米德为解斜向问题而发明了后人以其名字命名的蚌线一样，在他1800年后的法国数学家、著名数学家帕斯卡之父埃廷内·帕斯卡（É.Pascal,1588～1651为解决上述阿基米德斜向问题而发明了另一种蚌线今称帕斯卡蜗线。如图4-2-7所示，A是圆O图4-2-7

图4-2-8

图4-2-9一点，从A•向圆周上任一点P引射线，并在射线上的P点两侧截取PQ＝PQ＝（常数则Q和Q的轨迹即为帕斯卡蜗线A称为极点设圆半径为R则帕斯卡蜗线的极坐标方程为。为解决阿基米德斜向问题，只须在图4-2-5中作以A为极点a＝R帕斯卡蜗线（又称三等分角线），BO长线于C，连得＝。

1860年，斐尔科斯基（）给出无限次尺规作图法。如图4-2-8，是要三等分的角出OT„„平分AO