高三数学课题数学归纳法(公开课讲解)

课题：数学归纳法【三维目标】：一、知识与技术1．认识数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。2．抽象思想和归纳能力进一步获得提升．二、过程与方法经过数学归纳法的学习，领会用不完好归纳法发现规律，用数学归纳法证明是解决问题的一种重要门路，用数学归纳法进行证明时，“归纳奠定”与“归纳递推”两个步骤缺一不行，而要点的第二步，其实质是证明一个递推关系。三、感情，态度与价值观领会数学归纳法是用有限步骤解决无穷问题的重要方法，提升归纳、猜想、证明能力。【教课要点与难点】：要点：是认识数学归纳法的原理及其应用。难点：是对数学归纳法的原理的认识，要点是弄清数学归纳法的两个步骤及其作用。【课时安排】：2课时第一课时【教课思路】：（一）、创建情形，揭露课题问题1：P71中的例1.在数列｛an｝中，a1＝1，an+1＝an（n∈N+），1an先计算a2，a3，a4的值，再推断通项an的公式．生：a2＝1，a3＝1，a4＝1．由此获得：an＝1（n∈N+）．234n问题2：经过计算下边式子，你能猜出1351n2n1的结果吗？证明你的结论？生：上边四个式子的结果分别是：2，-3，4，-5，所以猜想：1351n2n11nn（*）如何证明它呢？问题3：我们先从多米诺骨牌游戏提及，这是一种码放骨牌的游戏，码放时保证随意相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则必定致使后一块骨牌也倒下。只需推倒第一块骨牌，因为第一块骨牌倒下，便可致使第二块骨牌倒下;而第二块骨牌倒下，便可以导至第三块骨牌倒下最后，不论有多少块，都能所有倒下。（二）、研探新知原理解析：问题3：能够看出，使所有骨牌都倒下的条件有两个：1）第一块骨牌倒下；2）随意相邻的两块骨牌，前一块倒下.必定致使后一块倒下。能够看出，条件（2）事实上给出了一个递推关系：当第k块倒下时，相邻的第k+1块也倒下。这样只需第1块骨牌倒下，其他所有的骨牌便可以接踵倒下。事实上，不论有多少块骨牌，只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌必定能够所有倒下。问题2：解析：这个问题的特色是：要证不等式（*）在n为任何正整数时都成立，固然我们能够考证n=1，2，3，4，5，甚至n=1000，10000，时这个等式成立。可是正整数是无穷多个，我们没法对它们一一考证，所以考证的方法没法达成证明。要证明这个问题，一定找寻一种有限个步骤，便可以办理完无穷多个对象的方法。类比多米骨牌游戏，我们假想将所有正整数由小到大挨次排列为无穷长一队1，2，3，4，k，k+1，能够考证（1）当n=1时，等式（*）的左右两边都等于-1。即这时等式（*）成立能够想象（2）若从“n=k时等式（*）成立”能推出n=k+1时等式（*）也成立，则能够成立一种多米诺骨牌那样的由前到后的自到递推关系综合（1）（2），就自然地想到一种证明这个等式的方法：第一证明（1）n=1时等式（*）成立而后证明（2）中的递推关系达成以上两步后，便可由n=1时等式（*）成立为起点，递推出n=2时等式（*）成立，再由n=2时等式（*）成立，递推出n3时等式（*）成立这样持续自动递推下去，便可以说：关于随意正整数n，等式（*）成立下边依据上述思路详细的证明等式（*）证明：（1）当

n=1

时，式（

*）左右两边都等于

-1

，即这时等式（*）成立。（2）假定当

n=

k

(k

≥

1)

时等式（

*

）式成立，即13

5

1

k

2n

1

1

k

k

在这个假定下，再考虑

n=k+1

时式（*）的左右两边。左侧=1351k2n11k12k11(1)k1k2(k1)1(1)k1(k1)右侧。所以当n=k+1时等式（*）成立。由（1），（2）可知1351n2n11nn(nN)总结上述过程，我们用了两个步骤：第一步，证明n=1时命题成立，进而确立了命题成立的一个起点；第二步，先作归纳假定，而后证明由前后的递推关系由这两步保证：关于从起点由前向后的所有正整数nN,命题都成立。一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤进行：（1）（归纳奠定）证明当

n取第一个值

n0

(n0

N*)时命题成立；（2）（归纳递推）假定

n=k

(n0

N*)时命题成立，证明当

n=k+1时命题也成立。只需达成这两个步骤，便可以判定数题对从

n0开始的所有正整数

n都成立。这种证明方法叫做数学归纳法（mathematicalinduction）.思虑：联合上边的证明，你以为数学归纳法的基本思想是什么？在数学归纳法的两个步骤中，第一步是奠定，第二步是假定与递推。这两步都是特别重要，缺一不行。第一步确立了n=n0时命题成立，n=n0成为后边递推的出发点，没有它递推就成无源之水；第二步确认一种递推关系，借助它，命题成立的范围就能从正整数n0开始，向后一个数一个数无穷传达到n0此后的每一个正整数，进而达成证明，所以，递推是实现从有限到无穷的飞腾的关键，没有它我们就只好逗留在对有限状况的掌握上。以上就是数学归纳法的基来源理。下边的框图表示了数归纳法的基本过程若n=k(k=n0)时命题成立，考证n=n0时证明n=k+1时命题也成立。命题成立。归纳奠定归纳递推命题对从n0开始所有的正整数n都成即刻命题成立。问题：数学归纳法合用于证明什么的命题呢？关于一些与无穷多个正整数有关的命题，假如不易有从前所学习过的方法证明，用数学归纳法可能收到较好的成效。思虑：假如要用数学归纳法证明某命脉题关于全体正整数都能立，应取n0为何值？为何？（三）、例题解析例1：（教材第94页例1）例2：（教材第94页例2）（四）、稳固深入，反应改正（教材第95页练习1、2）第二课时【教课思路】：（一）、复习回首一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按以下步骤进行：（1）（归纳奠定）证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立;（2）（归纳递推）假定nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。--------------数学归纳法（二）、例题解析：例1．用数学归纳法证明：(3n1)7n1(nN)能被9整除.证明：（1）当n=1时，（3+1）×7－1=27能被9整除，命题成立（2）假定当n=k时命题成立，即(3k1)7k1(nN)能被9整除那么，当n=k+1时，由归纳假定(3k1)7k1(nN)能被9整除及(18k27)7k是9的倍数所以[(3k1)7k1](18k27)7k能被9整除即n=k+1时，命题成立由（1）（2）知命题对随意的nN均成立例2．若n为大于1的自然数，用数学归纳法证明：11113n1n22n24证明：(1)当n=2时，1217132121224(2)假定当n=k时成立，即111131k22k24k由(1)、(2)知原不等式对全部大于2的自然数都成立。例3．已知an12233nnn(nN*)求证：an1(n1)证明：(1)当n=1时，a1=1＜1，不等式成立.2（2）假定n=k(k≥1)时，不等式成立，即ak=12233kk＜(k1)k1亦即1+22+33++kk＜(k+1)k当n=k+1时ak+1=122331)kk(k1)k1(k1)k(k1)k1[(k1]k1(k2)k1=(k1)k(k2)=(k1)k＜1.∴n=k+1时，不等式也成立.(k2)k1k2由（1）、（2）知,对全部n∈N*，不等式都成立.例4．用数学归纳法证明等式对所有n∈N*均成立．证明：i)当n=1时，左式=111，右式=111，∴左式=右式，2212等式成立．假定当n=k(k∈N)时等式成立，即111111111，2342k12kk1k22k则当n=k+1时，即n=k+1时，等式也成立，由i)ii)可知，等式对n∈N均成立．小结：在利用归纳假定论证n=k+1等式成即刻，注意解析n=k与n=k+1的两个等式的差异．n=k+1时，等式左侧增添两项，右侧增添一项，并且右式的首项由1变成1．所以在证明1应与-1k1k2中，右式中的归并，才能获得所证式．因此，k12k2在论证从前，把n=k+1时等式的左右两边的构造先作一解析是有效的．由例1能够看出，数学归纳法的证明过程中，要掌握好两个关键之处：一是

f(n)

与n的关系；二是

f(k)

与

f(k+1)

的关系．（三）、稳固深入，反应改正

（教材第

95页练习

1、2）（四）、归纳整理，整体认识1．用数学归纳法证明，要达成两面个步骤，这两个步骤是缺一不可的，但从证题的难易来解析，证明第二步是难点和要点，要充分利用归纳假定，做好命题从n=k到n=k+1的转变，这个转变要求在变化过程中构造不变。2．数学归纳法常办理的几类问题①证明有关整除问题②证明不等式③证明数列有关问题。3．运用数学归纳法时易犯的错误：①对项数估量错误，特别是