专题2.6 有理数的乘方-重难点题型（教师版含解析）2022年七年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题2.6有理数的乘方-重难点题型【浙教版】【知识点1有理数乘方的概念】求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂．即有：.在中，叫做底数，n叫做指数.【题型1有理数乘方的概念】【例1】（2020秋•甘井子区期末）（-23）A．（-23）×（-23）×（-23） C．-2×2×23 D【解题思路】根据题目中的式子和有理数乘方的意义，可以解答本题．【解答过程】解：（-23）3表示的意义是（-23）×（故选：A．【变式1-1】把-(-2A．-243 B．-(23)4 【解题思路】根据幂的意义即可得出答案，求n个相同因数积的运算，叫做乘方．【解答过程】解：-23当底数的时候，要加括号，故底数是-23，故在最前面有一个负号，故C选项错误；原式写成乘方的形式是﹣（-23）4，故故选：D．【变式1-2】（2020秋•安居区期中）关于（﹣5）4的说法正确的是（）A．﹣5是底数，4是幂 B．﹣5是底数，4是指数，625是幂 C．﹣5是底数，4是指数，﹣625是幂 D．5是底数，4是指数【解题思路】利用乘方的意义判断即可．【解答过程】解：关于（﹣5）4的说法正确的是﹣5是底数，4是指数，625是幂．故选：B．【变式1-3】（2020秋•浑源县期中）将写成幂的形式，正确的是（）A．2m3n B．2m3n C．2m【解题思路】根据有理数的乘方解答即可．【解答过程】解：将写成幂的形式为：2m故选：A．【知识点2有理数乘方的运算】（1）正数的任何次幂都是正数；（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；（3）0的任何正整数次幂都是0；（4）有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样，首先应确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值．【题型2有理数乘方的运算】【例2】（2020秋•含山县期末）下列各式结果相等的是（）A．﹣22与（﹣2）2 B．233与（23C．﹣（﹣2）与﹣|﹣2| D．﹣12021与（﹣1）2021【解题思路】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答过程】解：A、﹣22＝﹣4，（﹣2）2＝4，不相等，不符合题意；B、233=83，（C、﹣（﹣2）＝2，﹣|﹣2|＝﹣2，不相等，不符合题意；D、﹣12021＝﹣1，（﹣1）2021＝﹣1，相等，符合题意．故选：D．【变式2-1】（2020秋•镇平县期中）下列各对数中，数值相等的是（）A．﹣（﹣3）2与﹣（﹣2）3 B．﹣32与（﹣3）2 C．﹣3×23与﹣32×2 D．﹣23与（﹣2）3【解题思路】根据乘方的定义分别求解可得．【解答过程】解：A．﹣（﹣3）2＝﹣9，﹣（﹣2）3＝8，不相等；B．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，不相等；C．﹣3×23＝﹣24，﹣32×2＝﹣18，不相等；D．﹣23＝﹣8，（﹣2）3＝﹣8，相等；故选：D．【变式2-2】（2020春•西湖区校级月考）下列说法中正确的是（）A．﹣an和（﹣a）n一定是互为相反数 B．当n为奇数时，﹣an和（﹣a）n相等 C．当n为偶数时，﹣an和（﹣a）n相等 D．﹣an和（﹣a）n一定不相等【解题思路】根据有理数的乘方的定义，分n是奇数和偶数两种情况讨论求解即可．【解答过程】解：当n为奇数时，﹣an和（﹣a）n相等，当n为偶数时，﹣an和（﹣a）n一定互为相反数．故选：B．【变式2-3】（2020秋•涞水县期末）设n是自然数，则(-1)A．1或﹣1 B．0 C．﹣1 D．0或1【解题思路】分n为奇数和偶数两种情况，根据有理数乘方运算法则计算可得．【解答过程】解：若n为奇数，则n+2也是奇数，此时(-1)n若n为偶数，则n+2也为偶数，此时(-1)n故选：A．【知识点3偶次乘方的非负性】任何一个数的偶次幂都是非负数，即a2【题型3偶次乘方的非负性】【例3】（2021春•沙坪坝区期中）已知（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，则（x﹣y）2021＝．【解题思路】由非负数的意义求出x、y的值，再代入计算即可．【解答过程】解：∵（2x﹣4）2+|x+2y﹣8|＝0，∴2x﹣4＝0，x+2y﹣8＝0，解得，x＝2，y＝3，∴（x﹣y）2021＝（2﹣3）2021＝（﹣1）2021＝﹣1，故答案为：﹣1．【变式3-1】（2020秋•崇川区校级期中）若a、b为整数，且|a﹣2|+（b+3）2020＝1，则ba＝．【解题思路】先利用绝对值和乘方的意义得到a＝1或3，b＝﹣3或a＝2，b＝﹣4或﹣2，然后利用的意义进行计算．【解答过程】解：∵|a﹣2|≥0，（b+3）2020≥0，而a、b为整数，∴|a﹣2|＝1，（b+3）2020＝0或|a﹣2|＝0，（b+3）2020＝1，∴a＝1或3，b＝﹣3或a＝2，b＝﹣4或﹣2，当a＝1，b＝﹣3时，ba＝﹣3；当a＝3，b＝﹣3时，ba＝（﹣3）3＝﹣27；当a＝2，b＝﹣4，ba＝（﹣4）2＝16；当a＝2，b＝﹣2时，ba＝（﹣2）2＝4；综上所述，ba＝（﹣3）3＝﹣27；的值为﹣3或﹣27或4或16．故答案为﹣3或﹣27或4或16．【变式3-2】（2020秋•衡水期中）对于|a﹣1|﹣3及﹣（b+3）2+2，佳佳和音音提出了两个观点佳佳的观点：|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为3音音的观点：﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2对于以上观点，则（）A．佳佳和音音均正确 B．佳佳正确，音音不正确 C．佳佳不正确，音音正确 D．佳佳和音音均不正确【解题思路】根据有理数的平方、绝对值的定义解答即可．【解答过程】解：因为|a﹣1|≥0，所以|a﹣1|﹣3有最小值，最小值为﹣3；因为（b+3）2≥0，所以﹣（b+3）2≤0，所以﹣（b+3）2+2有最大值，最大值为2，所以佳佳不正确，音音正确，故选：C．【变式3-3】（2020秋•蓬溪县期中）若a、b有理数，下列判断：①a2+（b+1）2总是正数；②a2+b2+1总是正数；③9+（a﹣b）2的最小值为9；④1﹣（ab+1）2的最大值是0其中错误的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解题思路】直接利用偶次方的性质分别分析得出答案．【解答过程】解：①a2+（b+1）2总是非负数，故此选错误；②a2+b2+1总是正数，正确；③9+（a﹣b）2的最小值为9，正确；④1﹣（ab+1）2的最大值是1，故此选项错误．故选：B．【知识点4含乘方的混合运算】有理数混合运算的顺序：(1)先乘方，再乘除，最后加减；(2)同级运算，从左到右进行；(3)如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行．【题型4含乘方的混合运算】【例4】（2021春•金山区期末）计算：-3【解题思路】利用有理数混合运算的法则运算：先做乘方，再做乘除，最后做加减，有括号的先做括号里面的．【解答过程】解：原式＝﹣9÷（4﹣1）+（23-＝﹣9÷3+（23×24-＝﹣3+（16﹣6）＝﹣3+10＝7．【变式4-1】（2020秋•郯城县期末）计算：[2+（﹣5）2]÷3×13-|﹣【解题思路】先算乘方，再算乘除，最后算加减．同级运算，从左往右计算．【解答过程】解：原式＝[2+25]÷3×1＝27÷3×1＝9×1＝3﹣4+8＝7．【变式4-2】（2021春•奉贤区期中）计算：-1【解题思路】先算乘方，再算乘法，最后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；如果有括号，要先做括号内的运算．注意乘法分配律的灵活运用．【解答过程】解：-＝﹣1﹣（2﹣9）-118×24-＝﹣1+7﹣33﹣56+90＝7．【变式4-3】（2021春•浦东新区月考）计算：(-1)【解题思路】根据有理数的乘方、有理数的乘除法和加减法可以解答本题．【解答过程】解：(-1＝（﹣1）+12×43×（﹣4）﹣（﹣4＝（﹣1）﹣64﹣5＝﹣70．【题型5乘方的应用规律】【例5】（2020秋•卢龙县期末）一根1m长的绳子，第一次剪去绳子的23，第二次剪去剩下绳子的23，如此剪下去，第A．(13)99m B．(23)【解题思路】根据有理数的乘方的定义解答即可．【解答过程】解：∵第一次剪去绳子的23，还剩13第二次剪去剩下绳子的23，还剩13……∴第100次剪去剩下绳子的23后，剩下绳子的长度为（13）100故选：C．【变式5-1】（2021春•松北区期末）某种细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，每次一分为二，若这种细菌由一个分裂到16个，那么这个过程要经过分钟．【解题思路】根据细菌在培养过程中，每半小时分裂1次，则n小时后，分裂到22n个，从而列方程求解．【解答过程】解：设经过n小时，根据题意，得22n＝16，2n＝4，n＝2．2小时＝120分钟，故答案为：120．【变式5-2】看过西游记的同学都知道：孙悟空会分身术，他摇身一变就变成2个悟空；这两个悟空摇身一变，共变成4个悟空；这4个悟空再变，又变成8个悟空…假设悟空一连变了30次，那么会有多少个孙悟空？【解题思路】根据有理数乘方的定义，可推断出变化30次，孙悟空的个数2×2×...×2（30个2相乘）＝230（个）．【解答过程】解：变化一次，孙悟空的个数为2＝21（个）；变化两次，孙悟空的个数为2×2＝22＝4（个）；变化三次，孙悟空的个数为2×2×2＝23＝8（个）；变化四次，孙悟空的个数为2×2×2×2＝24＝16（个）；..．以此类推，变化30次，孙悟空的个数2×2×...×2（30个2相乘）＝230（个）．∴悟空一连变了30次，会有230个孙悟空．【变式5-3】（2020秋•农安县期中）有一种纸的厚度为0.1毫米，若拿两张重叠在一起，将它对折一次后，厚度为22×0.1毫米．（1）对折2次后，厚度为多少毫米？（2）对折6次后，厚度为多少毫米？【解题思路】（1）根据对折规律确定出所求厚度即可；（2）根据对折规律确定出所求厚度即可．【解答过程】解：（1）根据题意得：2×22×0.1＝0.8（毫米）；（2）根据题意得：25×22×0.1＝12.8（毫米）．【题型6乘方应用中的新定义问题】【例6】（2021•永州）定义：若10x＝N，则x＝log10N，x称为以10为底的N的对数，简记为lgN，其满足运算法则：lgM+lgN＝lg（M•N）（M＞0，N＞0）．例如：因为102＝100，所以2＝lg100，亦即lg100＝2；lg4+lg3＝lg12．根据上述定义和运算法则，计算（lg2）2+lg2•lg5+lg5的结果为（）A．5 B．2 C．1 D．0【解题思路】根据题意，按照题目的运算法则计算即可．【解答过程】解：（lg2）2+lg2•lg5+lg5＝lg2（lg2+lg5）+lg5＝lg2+lg5＝1g10＝1．故选：C．【变式6-1】（2020秋•驿城区校级期中）请认真阅读下面材料，并解答下列问题．如果a（a＞0，a≠1）的b次幂等于N，即指数式ab＝N，那么数b叫做以a为底N的对数，对数式记作：logaN＝b．例如：①因为指数式22＝4，所以以2为底4的对数是2，对数式记作：log24＝2；②因为指数式42＝16，所以以4为底16的对数是2，对数式记作：log416＝2．（1）请根据上面阅读材料将下列指数式改为对数式：①62＝36；②43＝64；（2）将下列对数式改为指数式：①log525＝2；②log327＝3；（3）计算：log232．【解题思路】（1）根据对数的定义求解；（2）利用对数的定义写成幂的形式；（3）先利用乘方的意义得到25＝32，然后根据对数的定义求解．【解答过程】解：（1）①62＝36；对数式记作：log636＝2；②43＝64；对数式记作：log464＝3；（2）①log525＝2；指数式为52＝25，②log327＝3；指数式为33＝27；（3）∵25＝32，log232＝5．【变式6-2】（2020秋•宁化县月考）（1）计算下面两组算式：①（3×5）2与32×52；②[（﹣2）×3]2与（﹣2）2×32；（2）根据以上计算结果猜想：（ab）3等于什么？（直接写出结果）（3）猜想与验证：当n为正整数时，（ab）n等于什么？请你利用乘方的意义说明理由．（4）利用上述结论，求（﹣4）2020×0.252021的值．【解题思路】（1）根据题意计算出结果即可（2）根据（1）的计算结果写出猜想即可．（3）当n为正整数时，写出猜想的结果，然后根据乘方的意义说明理由即可．（4）利用（3）的结论计算出值即可．【解答过程】解：（1）计算下面两组算式：①（3×5）2＝225；32×52＝9×25＝225．②[（﹣2）×3]2＝36；（﹣2）2×32＝4×9＝36．（2）根据（1）计算结果猜想：（ab）3＝a3b3．（3）当n为正整数时，（ab）n＝anbn．理由：当n为正整数时．（ab）n=ab⋅ab⋯ab⋅ab︸n个ab的乘积=即：当n为正整数时，（ab）n＝anbn．（4）（﹣4）2020×0.252021＝（﹣4）2020×0.252020×0.25＝（﹣4×0.25）2020×0.25＝0.25．【变式6-3】（2020秋•聊城期中）概念学习：规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）等，类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）记作（﹣3）④，读作“﹣3的圈4次方”，一般地，把n个a（a≠0）a÷a÷a÷⋯⋯÷a︸n个a，记作aⓝ，读作“初步探究：直接写出计算结果：2③＝，(-12)③深入思考：例如（﹣3）④＝（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）÷（﹣3）=(-3)×(-（1）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式．5⑥＝；(-12)⑥（2）算一算：22÷(-13)【解题思路】（1）利用新定义求解；（2）先把除方运算转化为乘方运算进行计算，然后进行乘除运算．【解答过程】解：2③=12，(-（1）5⑥=(15)4，（2）22÷(-13=2=4×1=7故答案为：12；﹣2；（1）(15)4；24【知识点5科学记数法的表示】（1）科学记数法：把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法．【科学记数法形式：a×10n，其中1≤a＜10，n为正整数．】

（2）规律方法总结：

①科学记数法中a的要求和10的指数n的表示规律为关键，由于10的指数比原来的整数位数少1；按此规律，先数一下原数的整数位数，即可求出10的指数n．

②记数法要求是大于10的数可用科学记数法表示，实质上绝对值大于10的负数同样可用此法表示，只是前面多一个负号．【题型7科学记数法的表示】【例7】（2021春•浦东新区期末）如图，是津巴布韦于2009年发行的一张面值为100万亿的津元，但这一张100万亿津元还抵不上1美元的价值，在当地，一张这样的钞票也就顶多能买一个面包．“100万亿”可以用科学记数法表示（）A．1×1010 B．1×1012 C．1×1013 D．1×1014【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答过程】解：100万亿＝100×104×108＝100000000000000＝1×1014．故选：D．【变式7-1】（2021•深圳模拟）2020年12月17日，嫦娥5号经历了往返76万千米的长途跋涉，顺利回家并在我国内蒙古着陆，同时将在月球采集的土壤样本带回了地球，这标志着我国探月工程嫦娥5号的任务获得了圆满的成功．其中76万千米用科学记数法可表示为（）A．760000米 B．7.6×108米 C．7.6×107米 D．7.6×109米【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【解答过程】解：76万千米＝760000000＝7.6×108米．故选：B．【变式7-2】（2021•包头）据交通运输部报道，截至2020年底，全国共有城市新能源公交车46.61万辆，位居全球第一，将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于（）A．6 B．5 C．4 D．3【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数．【解答过程】解：因为46.61万＝466100＝4.661×105，所以将46.61万用科学记数法表示为4.661×10n，则n等于5．故选：B．【变式7-3】（2021•雨花区模拟）据中国政府网报道，截至2021年4月5日，31个省（自治区、直辖市）和新疆生产建设兵团累计报告接种新冠病毒疫苗14280.2万剂次．下列说法不正确的是（）A．14280.2万大约是1.4亿 B．14280.2万大约是1.4×108 C．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×104 D．14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108【解题思路】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．【解答过程】解：A、14280.2万大约是1.4亿，故本选项不合题意；B、14280.2万大约是1.4×108，故本选项不合题意；C、14280.2万用科学记数法表示为1.42802×108，故本选项符合题意；D、14280.2万＝142802000＝1.42802×108．故本选项不合题意；故选：C．【知识点7近似数的表示】

“精确到第几位”和“有几个有效数字”是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对