二次根式与勾股定理讲义

《二次根式》（一）判断题：（每小题1分，共5分）TOC\o"1-5"\h\z1.£（一2上ab=—2xab. （ ）2爲—2的倒数是\；3+2.（ ）、：（x—1）2=（、.：x—1）2.…（ ）1 2-a、；ab、 a3b、— 是同类二次根式•…（3 x\b5.J8x, ,\；9+x2都不是最简二次根式.（ ）3（二）填空题：（每小题2分，共20分）1 时，式子 有意义.x5.J8x, ,\；9+x2都不是最简二次根式.（ ）3（二）填空题：（每小题2分，共20分）1 时，式子 有意义.x一315卫亠互8 27飞12a36.7.化简一8.9.10a—\：'a2—1的有理化因式是J当1VxV4时，lx—41+Jx2—2x+1=.方程恋2（x—1）=x+1的解是 ab—c2d211.已知a、b、c为正数，d为负数，化简ab+\c2d2（三）选择题：（每小题3分，共15分）12.已知\：'x3+3x2=—xv/x+3，贝y(A)xWO (B)xW—3 (C)x^—3 (D)—3WxW013.若xVyVO，贝卩丫x2—2xy+y2+Jx2+2xy+y2 (A)2x14.若OVxV1,B)2y (C)—2x (D)—2yI~~1 I1贝X(x——)2+4—■(x+—)2—4等于 x x2 2(A) (B)— (C)—2x (D)2xx x—a315.化简 (aVO)得 a(A)、：一a (B)—xa (C)—v—a (D)、：'a勾股定理经典例题类型一：勾股定理的直接用法1、在RtAABC中，ZC=90°（1）已知a=6，c=1O，求b，（2）已知a=40，b=9，求c；（3）已知c=25，b=15,求a.举一反三【变式】：如图ZB=ZACD=90°,AD=13,CD=12,BC=3,则AB的长是多少?类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在丛吕匸中，山=60°,貝U=,卫£=30.求：bc的长.A求证:举一反三【变式1】如图，已知：zc=90BP2=AP2+BC2求证:【变式2】已知：如图，ZB=ZD=90°,ZA=60°,AB=4,CD=2。求：四边形ABCD的面积。类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了5血屁到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。（1） 求A、C两点之间的距离。（2） 确定目的地C在营地A的什么方向。

举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图的某工厂,问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？f\D\Ii\—琳—-1（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方案，如图实线部分•请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.

类型四：利用勾股定理作长为庞的线段5、作长为血、乔、厉的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于血,直角边为血和1的直角三角形斜边长就是,类似地可作厉。作法：如图所示IC（1） 作直角边为1（单位长）的等腰直角△ACB，使AB为斜边；（2） 以AB为一条直角边，作另一直角边为1的直角"网。斜边为月』；（3） 顺次这样做下去，最后做到直角三角形曲廻，这样斜边曲、朋1、曲2、朋孑的长度就是、 、 、 o举一反三【变式】在数轴上表示航的点。解析：可以把履看作是直角三角形的斜边，（伍为了有利于画图让其他两边的长为整数，而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。作法：如图所示在数轴上找到A点，使OA=3，作AC丄OA且截取AC=1，以OC为半径,以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为航类型五：逆命题与勾股定理逆定理写出下列原命题的逆命题并判断是否正确以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为航类型五：逆命题与勾股定理逆定理写出下列原命题的逆命题并判断是否正确原命题：原命题：原命题：原命题：6、1.2.3.4.猫有四只脚.（正确） -对顶角相等（正确）线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫（不正确）逆命题：相等的角是对顶角（不正确）逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（正确）

逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果△ABC的三边分别为a、b、c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断△ABC的形状。举一反三【变式1】四边形ABCD中，ZB=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求四边形ABCD的面积。【变式2】已知:AABC的三边分别为m2—n2,2mn,m2+n2（m,n为正整数，且m>n）,判断△ABC是否为直角三角形.1【变式3】如图正方形ABCD,E为BC中点，F为AB上一点，且BF=^AB。请问FE与DE是否垂直?请说明。decdec经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3：4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。举一反三【变式1】等边三角形的边长为2,求它的面积。【答案】如图，等边△ABC,作AD丄BC于D

（注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为4a）。【变式2】直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（）A、8，15，17B、4，5，6C、5，8，10D、8，39，40类型二：勾股定理的应用2、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且ZQPN=30°，点A处有一所中学，AP=160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”在花园内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路（假设2步为1m），却踩伤了花草。

类型三：数学思想方法（一）转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.3、如图所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC,D是斜边BC的中点，E